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2019年最新-101二重积分的概念和性质-精选文档_图文

第十章

重 积 分

一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
1
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第一节 二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性

第十章

三、二重积分的性质

2
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引例 1.曲顶柱体的体积

3
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回忆:曲边梯形的面积 的求法

A f( ? ? x A ? A f( ? ? x i? i) i, ? ? i? i) i,
A?lim f( ?)? x, ? ? max{ ? x , ? x , ? , ? x }, ? ?
1 2 n
? 0

n

n

i? 1

i? 1

n

x ) dx ? lim f( ? ) ? x? A ? ? f( ?
b a ? 0 i ? 1 i i
4
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n

i? 1

i

i

5
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曲顶柱体的体积

z ? f (x, y) (x, y) ? D f (x, y) ? 0
曲顶柱体的体积: V

6
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平顶柱体
柱体体积 ? 底面积 ? 高
V?h ?

7
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任意划分区域 D:

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任意取点 ( ? ? i, i ),

V f( ? ? ? ? i? i, i) i

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V f( ? ? ? ? i? i, i) i
V ? V f( ? ? ? ? ? ? i? i, i) i
i? 1 i? 1 n n

10
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图形的直径 :

11
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? ?i的直径 di

? ? max{ d , d , ? d } 1 2 n

12
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V?lim f( ? ? ? ? ? i, i) i
? ? 0
i? 1

n

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逼近曲顶柱体的 过程
V ? lim f( ? ,? ) ? ? ? k k k
? ? 0 k ? 1
n

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引例 2.平面薄板的质量
回忆:细棒的质量

线密度: ??? (x )

M ? ( ? ? x i? i) i
M ?? ?(?i )? xi
i? 1 n

M?lim ? ( ? ? x ? i) i?
? ? 0
i? 1

n

?

b

a

f (x)dx
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引例 2.平面薄板的质量
n

面密度: ?? ? ( x ,y )

M?? ? ( ? ,? )? ? i i i M ? ? ( ? , ? ) ? ? i i i i
i? 1

任意取一点

任意划分薄板

M ? lim ? ( ? ? ? ? ? i, i) i
? ? 0
i? 1
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n

曲顶柱体 的体积
平面薄板 的质量

V?lim f( ? ? ? ? ? i, i) i
? ? 0
i? 1

n

M ? lim f( ? ? ? ? ? i, i) i
? ? 0
i? 1

n

推导过程和形式 完全一样
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二、二重积分的定义及可积性

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f(x ,y )是定义在有界区域 D上的有界函数 , 定义: 设
将区域 D 任意分成 n 个小区域 ? ( k ? 1 , 2 , ? , n ), k

? , ? ) ? ? ? , 任取一点 ( 若存在一个常数 I , 使 k k k
记作 I? lim f ( ? , ? ) ? ? ?k k k

?

n

则称 f( x ,y )可积 , 称 I 为 f( x ,y ) 在D上的二重积分.
积分和 积分域

? ? 0 k ? 1

f (x ,y )d ? ?? D
积分表达式

f (x ,y )d ? ?? D
被积函数

x , y 称为积分变量
面积元素
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在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D,

y

D
o
x

则面积元素为 d ??dxdy 故二重积分可写为

f ( x ,y ) d ? ? f ( x ,y ) dxdy ?? ?? D D

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体积的积分模型:

薄板质量的积分模型:

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二重积分的几何意义:

二重积分的物理意义:

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?? y d ? ? ?ax
2 2 2 D

利用二重积分的几何意义求二重积分:

D : x ?? ya
2 2 2


2 2 2 2 2 2 z ? ax ?? yx , ( ?? ya )

为上半球面。

??
D

2 a ?x ?y d ?= ? a 3 3
2 2 2

1 4 3 =上半球体的体积 = ? ? a 2 3
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三、二重积分的性质
由于二重积分的定义类似于定积分的定义 因此二重积分具有与定积分相类似的性质

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1 .?? k f( x ,y ) d ? ? k x ,y ) d ? ( k 为常数) ??f(
2 . [ f ( x , y ) ? g ( x , y )] d ? ??
D
D

D

D

? f ( x , y ) d ? g ( x , y ) d ?? ??
D
1 2

?D

?

f ( x , y ) d ? ? f ( x , y ) d ? 3 .??f( x ,y ) d ?? ?? ?? D D

( D ? D ? D ,D ,D 无公共内点 ) 1 2 1 2

? 为D 的面积, 则 4 . 若在 D 上 f ( x , y ) ? 1 ,

? ? 1 ? d ? ? d ? ?? ?? D D
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, y)? ? ( x ,y ) ,则 5. 若在D上 f (x
f (x ,y )d ? ? ? ( x ,y )d ? ?? ?? D D
特别, 由于 ? f ( x , y ) ? f ( x , y ) ? f ( x , y )

?

? f( x ,y )d ? f(x ,y ) d ? ?? ?? D D
D D

6. 设 M ? max f ( x , y ), m ? min f ( x , y ), D 的面积为? , 则有

m ? ? f ( x , y ) d ? ? M ? ??
D

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7.(二重积分的中值定理) 设函数 f( x ,y )在闭区域D上
连续, ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 ( ? , ? ) ? D ,使

f ( x , y ) d ? ? f ( ? , ? ) ? ?? D

证: 由性质6 可知, 1 min f ( x , y ) ? f ( x , y ) d ? max f ( x , y ) ??
D

使 ? , ? ) ? D 由连续函数介值定理, 至少有一点 ( 1 f( ? , ? ) ? ?? f( x ,y ) d ? 因此

?

D

?

D

?D f ( x , y ) d ? ? f ( ? , ? ) ? ?? D

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例1. 比较下列积分的大小:
D

2 3 ( x ? y ) d ? , ( x ? y ) d ? ?? ?? D 2

y

2 其中 D : ( x ? 2 ) ? ( y ? 1 )? 2

1

D

解: 积分域 D 的边界为圆周
2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1 ) ? 2

O 1 2 3 x x?y? 1

它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 x?y? 1 相切 .

? y ? 1 ,从而 而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x
2 3 ( x ? y ) ? ( x ? y )
2 3 ? ( x ? y ) d ? ? ( x ? y ) ? ?? ?? d D D
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例2. 估计下列积分之值 d x d y I ? D : x ? y ? 10 ?? 2 2 100 ? cos x ? cos y D y 10 2 解: D 的面积为 ? ? ( 10 2 ) ? 200 D 由于 ?10 O 10 x 1 1 1 ? ? 2 2 102 100 ? cos x ? cos y 100 ?10
积分性质5

200 200 ?I ? 102 100

即: 1.96 ? I ? 2
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, y)在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 8. 设函数 f (x y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 则 ( 1 ) f ( x , ? y ) ? f ( x , y ), D1 2 f( x ,y )d ? OD x f(x ,y )d ??
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 有类似结果. 2 2 在第一象限部分, 则有 例如 , D 为圆域 D : x ? y ? 1 1
2 2 2 2 ? 4 ( x y) d x d y ( x ? y ) d x d y ?? ?? ?
D

?? D ( 2 ) f ( x , ? y ) ? ? f ( x , y ), x ,y ) d ? ? 0 则 ?? f( D

?? D

1

( x ? y ) d x d y ? 0 ?? D

D 1

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内容小结
1. 二重积分的定义

f( ? ? ? ? f (x ,y )d ? ?lim ? ? d x d y ) ? i, i) i (d ?? D ? ? 0 i? 1
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)

n

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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:

I 1?

2 2 x ? y ? 1

?? xy dxdy
1 1 ? 1? 1

I2 ?

x?y? 1

?? xy dxdy
y

I3 ? ? ? xy dxdy
解: I , I2, I3 被积函数相同, 且非负, 1

1 1
x

由它们的积分域范围可知

I ? I ? I 2 1 3

O

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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则

yxd ? , I3 ??? I1 ???yx3d?, I2 ???
2 3

1 y 2x3d?

的大小顺序为 ( D ) ( A ) I ? I ? I ; 1 2 3

D

D

D

( B ) I ? I ? I ; 2 1 3 ( D ) I ? I ? I . 3 1 2
1 ?y?y 2 ;

( C ) I ? I ? I ; 3 2 1
提示: 因 0 < y <1, 故 y
2

y

1

3 又因 x ? 0 , 故在D上有
1 3 3 23 2 y x? y x? yx

D
O x
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3. 证明:

2 2 其中D 为 1 ? ( sin x ? cos y ) d ? ? 2 , ?? D y 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 . 1 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有 D
2 2 ( sin x ? cos y ) d ? ?? D

2 2 2 2 1 ? ? ? ( sin x ? cos y ) d ? ( sin y ? co x ) d ?? ?? 2 D D

? ? ? ? ? ( sin x ? cos x ) d ? ? ( sin y ? co y ) d ? ?? ??
2 1 2 D
2 D

O

1x

2

2 D

2

故结论成立 .

D 2 2 π 1 ? 0 ? x ? 1 , ? ? sin( x ? ) ? 1 , 又D 4 2

2 π ? ( sin x ? cos x ) d ? ? 2 sin( x ? ) d ? ?? ?? 4
2

的面积为 1 ,
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作业
P136 1,4(2,4),5(2,4)

35
第二节 目录 上页 下页 返回 结束