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专题训练2---三角函数(Word有详解答案)


2015 级高三文科专题测试(三角函数、解三角形、平面向量)
一、选择题 4 1.已知角 α 的终边经过点 P (m,-3),且 cos α=- ,则 m 等于( 5 A.- 11 4 B. 11 4 C.-4 D.4 ) )

2.(海淀区期中)若向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则 a· b 的值为( A.- 1 2 B. 1 2 C.-1 D.1

π 3π 3.(榆林一中模拟)下列函数中,周期为 π,且在区间[ , ]上单调递增的函数是( 4 4 A.y=s in2x B. y=cos2x C.y=-sin2x D.y=-cos2x )

)

x π x 4.要得到函数 y=cos( - )的图象,只需将函数 y=sin 的图象( 2 4 2 π A.向左平移 个单位长度 2 π C.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 2 π D.向右平移 个单位长度 4 5 π ,则 cos( -2θ)的值为( 3 2 4 D.- 9 )

5.(文)(德阳市二诊)若 cos θ+sinθ=- A. 4 9 B. 2 9 2 C.- 9

)

→ → → 6.在△ABC 中,若AB· (AB-2AC)=0,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形

D.等腰直角三角形 )

7.(重庆一中月考)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行,则 tan2α 的值为( A. 4 5 B. 3 4 4 C. 3 D. 2 3

π 8.(文)(保定市一模)设函数 f (x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|< )的部 2 分图象如右图所示,则函数 f (x)的表达式为( π A.f (x)=sin(2x+ ) 4 ) π D.f (x)=sin(4x- ) 4

π 3π B.f (x)=sin(2x- )C.f (x)=sin(4x+ ) 4 4

9.(新课标Ⅰ文,10)已知锐角△ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c, 23cos2 A +cos2A =0,a =7,c=6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 )[来源:学. 科.

→ → → 10.(文)已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的 边 BC 上的动点,则AP· (AB+AC)( 网 Z.X.X.K]A.最大值为 8 B.是定值 6 C.最小值为 2

D.与 P 的位置有关 )

11.(湖南)在锐角△ABC 中,角 A ,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB = 3b,则角 A 等于( A. π 12 B. π 6 π C. 4 D. π 3

x → → 12.(文)设 F 1 、F 2 是椭圆 +y2 =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,当△F 1PF 2 的面积为 1 时,PF 1· PF 2的 4 值为( ) A.0 B.1 1 C. 2 D.2

2

二、填空题 cosA b 3 13.(2013· 北京西城一模)在△ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边长分别为 a,b,c,且 = = . cosB a 4 若 c=10,则△ABC 的面积是________. π 14.(文)(北京东城区模拟)函数 f (x)=sin(x- )的图象为 C,有如下结论: 3 5π ①图象 C 关于直线 x= 对称; 6 4π ②图象 C 关于点( ,0)对称; 3

π 5π ③函数 f (x)在区间[ , ]内是增函数. 其中正确的结论序号是________.(写出所有正确结论序号) 3 6 → → 15.(2013· 重庆一中月考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足AP=2PM,则 → → → PA· (PB+PC)等于________. 16.(文)关于平面向量 a、b、c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则?λ∈R,使 b=λa; ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;

③存在不全为零的实数 λ,μ,使得 c=λa+μb; ④若 a· b=a· c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题序号是________.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)[来源:学, 科, 网 Z,X,X,K] 4 17.(本小题满分 12 分) (天津六校联考)△ABC 中,已知 A =45° ,cosB = . 5 (1)求 sinC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 AB 、CD 的长.

π 18.(本小题满分 12 分)(文)(德阳市二诊)函数 f(x)=sinωxcos φ-cos ωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点( , 6 π 0),且相邻两条对称轴间的距离为 . 2 1 1 (1)求 f(x)的表达式; (2)试求函数 y=f 2 ( x)+ 的单调增区间. 2 2

3π 19.(本小题满分 12 分)西城已知函数 f(x)=sinx+acosx 的一个零点是 . 4 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f (x)]2 -2sin2 x,求 g(x)的单调递增区间.

20(保定市一模)已知向量 a=(sin

ωx 1 ωx 1 , ),b=(cos ,- )(ω>0,x≥0),函数 f (x)=a· b 的第 n(n∈N* ) 2 2 2 2

个零点记作 xn (从左向右依次计数),则所有 xn 组成数列{xn }. 1 (1)若 ω= ,求 x2 ;(2)若函数 f (x)的最小正周期为 π,求数列{xn}的前 100 项和 S100. 2

20.(本小题满分 12 分)(江西八校联考)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB =AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若 AC= 3DC,求 β.

21.(本小题满分 12 分)(2013· 惠州质检)已知向量 m=(1,cos A),n=(sinA cosB ,sinB ),m· n=sin2C, 且 A 、B 、C 分别是△ABC 的三边 a、b、c 所对的角. → → → (1)求角 C 的大小; (2)设 sinA 、sinC、sinB 成等比数列,且CA · (AB-AC)=8,求边 c 的值.

22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 江西师大附中、鹰潭一中联考)已知点 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 )是函数 f (x) π π =sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )图象上的任意两点,若|y1 -y2 |=2 时,|x1 -x2|的最小值为 ,且函数 f (x)的图象经 2 2 1 过点(0, ).(1)求函数 f (x)的解析式; 2 (2)在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c,且 2sinAsinC+cos2B =1,求 f (B)的取值范围.

2015 级高三数学(文科)测试答题纸
班级 姓名

一. 1—6 二. 1 3 15

7----12 14 16

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
4 17. (本小题满分 12 分 ) (天津六校联考 )△ ABC 中,已知 A= 45° , cos B= . 5 (1)求 sinC 的值; (2)若 BC= 10, D 为 AB 的中点,求 AB、 CD 的长.

18. (本小题满分 12 分)(文 )(德阳市二诊 )函数 f(x)= sinωxcos φ- cos ωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点 π π ( , 0),且相邻两条对称轴间的距离为 . 6 2 间. (1)求 f(x)的表达式; 1 1 (2)试求函数 y= f 2 ( x)+ 的单调增区 2 2

3π 19. (本小题满分 12 分 )西城已知函数 f(x)=sinx+ acosx 的一个零点是 . 4 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)= [f(x)]2- 2sin2 x,求 g(x)的单调递增区间.

ωx 1 ωx 1 20(保定市一模 )已知向量 a=(sin , ), b= (cos ,- )(ω>0, x≥ 0),函数 f(x)= a· b 的第 n(n∈ N* ) 2 2 2 2 个零点记作 xn(从左向右依次计数 ),则所有 xn 组成数列 { xn}. 1 (1)若 ω= ,求 x2; (2)若函数 f(x)的最小正周期为 π,求数列 { xn}的前 100 项和 S100 . 2

21. (本小题满分 12 分 )(江西八校联考 )如图, D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点, AB= AD,记∠ CAD=α,∠ ABC= β. (1)证明:sinα+ cos2β= 0; (2)若 AC= 3DC,求 β.

22 . (本小题满分 12 分 )(2013· 惠州质检 )已知向量 m = (1, cos A), n= (sinAcos B, sinB), m · n= sin2C,且 A、 B、 C 分别是△ ABC 的三边 a、 b、 c 所对的角. (1)求角 C 的大小; → → → (2)设 sinA、sinC、 sinB 成等比数列,且CA · (AB -AC )= 8,求边 c 的值.

反馈练习 1 已知在△ ABC 中, cos A= (1)求 tan2A 的值; 6 , a、 b、c 分别是角 A、 B、 C 所对的边. 3

π 2 2 (2)若 sin( + B)= , c= 2 2,求△ ABC 的面积. 2 3

2 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a、 b、 c,且 bcos C= (3a- c)cos B. (1)求 cosB 的值; → → (2)若BA · BC = 2,且 b= 2 2,求 a 和 c 的值.

3 已知 A(3,0), B(0,3), C(cos α, sinα). π → → (1)若AC · BC =- 1,求 sin(α+ )的值; 4 → → → → (2)O 为坐标原点,若 |OA- OC|= 13,且 α∈ (0, π),求OB与OC的夹角. 4.在△ ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边,若 m= (2b- c, cos C),n=(a, cos A),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; π ? (2)记 B= x,作出函数 y= 2sin2 x+ cos? ?3 - 2x?的图象.

5(本小题满分 14 分 )(文 )(2013· 江西师大附中、鹰潭一中联考 )已知点 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )是函数 f(x)= π π sin(ωx+ φ)(ω>0,0<φ< )图象上的任意两点,若 |y1 - y2 |= 2 时, |x1- x2 |的最小值为 ,且函数 f(x)的图象经过点 2 2 1 (0, ). (1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)在△ ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c,且 2sinAsinC+ cos2B= 1,求 f(B)的取值范围. 2 3 6(江西八校联考 )已知向量 a= (sinωx, 2cos ωx), b= (cos ωx,- cos ωx)(ω>0),函数 f(x)= a· ( 3b+ a)- 1, 3 π 且函数 f(x)的最小正周期为 . 2 (1)求 ω 的值; (2)设△ ABC 的三边 a、 b、 c 满足: b = ac,且边 b 所对
2

的角为 x,若方程 f(x)=k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

7.已知函数 f (x )=x 2 +2aln x . (1)若函数 f (x )的图象在(2,f (2))处的切线斜率为 1,为求实数 a 的值; 2 (2)若函数 g(x )= +f (x )在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x a 8.(2014· 北京西城区一模)已知函数 f (x )=ln x - ,其中 a∈R . x (1)当 a=2 时,求函数 f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程; (2)如果对于任意 x ∈(1,+∞),都有 f (x )>-x +2,求 a 的取值范围. 1 9 已知 f (x )=2ax - -(2+a)ln x (a≥0). x (1)当 a=1 时,求 f (x )的极值;(2)当 a>0 时,讨论 f (x )的单调性.

三角和向量参考答案
CACADB 24
三. 17 18 19 7 2 (1) . 10 (1)

CADBDA 1 2 3
CD= 37.

[答案]

4 - 9

1

4

(2) BD=7,

π 1 1 π 5π f (x)=sin(2x- ).(2)∴y=f 2 ( x)+ 的增区间为[k π+ ,k π+ ],(k ∈Z). 3 2 2 3 6 3π π (2)g(x)的单调递增区间为[k π- ,k π+ ](k ∈Z). 8 8 ωx ωx 1 1 1 cos - = sinωx- . 2 2 4 2 4

a=1.

20[解析] f (x)=a· b=sin

1 1 1 1 (1)当 ω= 时,f(x)= sin( x)- , 2 2 2 4 π 5π 5π 令 f (x)=0,得 x=4k π+ 或 x=4k π+ (k ∈Z,x≥0),取 k =0,得 x2 = . 3 3 3 1 1 (2)因为 f(x)最小正周期为 π,则 ω=2,故 f(x)= sin2x- , 2 4 π 5π 令 f (x)=0 得 x=k π+ 或 x=k π+ (k ∈Z,x≥0), 12 12
49 49 π 5π π π 所以 S100 = ? [(k π+ )+(k π+ )]= ? (2k π+ )=2π(0+1+2+…+49)+50× 12 12 2 2 k= 0 k= 0

=50×49π+25π=2475π. 20.[解析] (1)证明:∵AB =AD,∠ABC=β,∠CAD=α,

π π ∴2β= +α,∴sinα+cos2β=sinα+cos( +α)=sinα-sinα=0. 2 2 (2)在△ABC 中,∵AC= 3DC,∴sinβ= 3sinα, ∴sinβ= 3sinα=- 3cos2β=2 3sin2 β- 3. π 3 π ∵β∈(0, ),∴sinβ= ,∴β= . 2 2 3 π 21.C= . 3 (2)∵sinA ,sinC,sinB 成等比数列,∴sin2 C=sinA · sinB . → → → → → 根据正弦 定理得,c2 =ab. ∵CA · (AB-AC)=CA · CB =8,∴bacos C=8. ∴ab=1 6,∴c2 =16,∴c=4. 22.[解析] T π (1)由题意知 = ,∴T=π, 2 2

2π 又 T= ,∴ω=2, ω 1 π π ∵f (0)=sinφ= 且 φ∈(0, ),∴φ= , 2 2 6 π 从而 f (x)=sin(2x+ ). 6 (2)∵2sinA sinC+cos2B =1, ∴2sinA sinC=1-cos2B =2sin2 B ,即 sinA sinC=sin2 B , ∴ac=b2 , a2 +c2 -b2 a2 +c2 -ac 2ac-ac 1 π 由 cos B = = ≥ = ,得 B ∈(0, ]. 2ac 2ac 2ac 2 3 π π 5π π 1 ∴2B + ∈( , ],从而 f (B)=sin(2B + )的取值范围为[ ,1]. 6 6 6 6 2 23 [解析] (1)∵f (x)=a· ( 3b+a)-1

=(sinωx, 2cos ωx)· (sinωx+ 3cos ωx, 0)-1 = 3 1 1 sin2ωx- co s2ωx- 2 2 2

π 1 =sin(2ωx- )- . 6 2 2π π ∵T= = ,∴ω=2. 2ω 2 π 1 (2)由(1)知,f(x)=sin(4x- )- , 6 2 a2 +c2 -b2 2ac-ac 1 ∵在△ABC 中,cos x= ≥ = , 2ac 2ac 2 π π π 7π ∴0<x≤ ,∴- <4x- ≤ . 3 6 6 6 π 1 1 ∴f(x)=sin(4x- )- =k 有两个不同的实数解时,k 的取值范围是(-1, ). 6 2 2

[解析]

T π (1)由题意知 = ,∴T=π, 2 2

2π 又 T= ,∴ω=2, ω 1 π π ∵f (0)=sinφ= 且 φ∈(0, ),∴φ= , 2 2 6 π 从而 f (x)=sin(2x+ ). 6 (2)∵2sinA sinC+cos2B =1, ∴2sinA sinC=1-cos2B =2sin2 B ,即 sinA sinC=sin2 B ,

∴ac=b , a +c -b a +c -ac 2ac-ac 1 π 由 cos B = = ≥ = ,得 B ∈(0, ]. 2ac 2ac 2ac 2 3 π π 5π π 1 ∴2B + ∈( , ],从而 f (B)=sin(2B + )的取值范围为[ ,1]. 6 6 6 6 2 2 3 (理)(2013· 江西八校联考) 已知向量 a=(sinωx, 2cos ωx),b=(cos ωx,- cos ωx)(ω>0),函数 f(x)= 3 π a· ( 3b+a)-1,且函数 f (x)的最小正周期为 . 2 (1)求 ω 的值; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足:b =ac,且边 b 所对的角为 x,若方程 f(x)=k 有两个不同的实数 解,求实数 k 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=a· ( 3b+a)-1
2 2 2 2 2 2

2

=(sinωx, 2cos ωx)· (sinωx+ 3cos ωx, 0)-1 = 3 1 1 sin2ωx- co s2ωx- 2 2 2

π 1 =sin(2ωx- )- . 6 2 2π π ∵T= = ,∴ω=2. 2ω 2 π 1 (2)由(1)知,f(x)=sin(4x- )- , 6 2 a +c -b 2ac-ac 1 ∵在△ABC 中,cos x= ≥ = , 2ac 2ac 2 π π π 7π ∴0<x≤ ,∴- <4x- ≤ . 3 6 6 6 π 1 1 ∴f (x)=sin(4x- )- =k 有两个不同的实数解时,k 的取值范围是(-1, ). 6 2 2
2 2 2

一、选择题 5π 1.(文)(2013· 天津十二区县联考)将函数 y=cos(x- )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 6 π 坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位,则所得函数图象对应的解析式是( 3 x π A.y=cos( - ) 2 4 C.y=sin2x π B. y=cos(2x- ) 6 x 2π D.y=cos( - ) 2 3 )

[答案] [解析]

D 5π 各点横坐标 1 5π 向左平移 x 2π y=cos(x- )伸长到原来的 ― ― → 2倍y=cos( x- ) π― ― → y=cos( - ). 6 2 6 3个单位 2 3

π (理)(2013· 眉山市二诊)将函数 y=cos(x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再 3 π 向左平移 个单位,所得函数的最小正周期为( 6 A.π C.4π [答案] [解析] B.2π D.8π C π 各点的横坐标 x π 向左平移 x 5π y=cos(x+ )伸长到原来的 ― ― → 2倍y=cos( + ) π― ― → y=cos( + ). 3 2 3 6个单位 2 12 )

2π ∴最小正周期为 T= =4π. 1 2 2.(文)已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a· b 等于( A.-10 C.0 [答案] [解析] B.-6 D.6 A 由 a∥b 得 2x=-4,x=-2,a· b=(1,2)· (-2,-4)=-10,故选 A. )

1 (理)(2012· 河南豫北六校精英联考)已知向量 a=(1,1-cos θ)且 b=(1+cos θ, ),a∥b,则锐角 θ 等于 2 ( )[来源:学。科。网 Z。X。X。K] A.30° C.60° [答案] [解析] B 1 本题主要考查向量平行的概念及特殊角的三角函数值.由两向量平行可得 =1-cos 2 θ, 2 B.45° D.75°

2 ∴cos θ=± , 2 又 θ 为锐角,∴θ=45° ,故选 B. 5 3 3.在△ABC 中,已知 cos A = ,sinB = ,则 cos C 的值为( 13 5 A. C. 16 65 16 56 或 65 65 A 5 12 3 由 cos A = >0 得 A 为锐角,且 sinA = ,sinB = ,sinA >sinB ,因此 B 为锐角,于是 cosB 13 13 5 B. 56 65 D.- 16 56 或 65 65 )

[答案] [ 解析]

4 16 = ,cos C=cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=sinA sinB -cos Acos B = ,选 A. 5 65 4.(文)(2013· 大兴区模拟)函数 f(x)= π π A.在(- , )上递增 2 2 π π B.在(- ,0]上递增,在(0, )上递减 2 2 π π C.在(- , )上递减 2 2 π π D.在(- ,0]上递减,在(0, )上递增 2 2 [答案] D 1-cos2 x ( cos x )

?tanx, ?sinx>0? , |sinx| ? [解析] f (x)= =? ∴选 D. cos x ? ?-tanx, ?sinx<0?.

π (理)函数 f(x)=tan( -x)的单调递减区间为( 4 A.(k π- 3π π ,k π+ ),k ∈Z 4 4

)

π 3π B.(k π- ,k π+ ),k ∈Z 4 4 π π C.(k π- ,k π+ ),k ∈Z 2 2 D.(k π,(k +1)π),k ∈Z [答案] B

π π [解析] f (x)=tan( -x)=-tan(x- ), 4 4 所以 f (x)的单调递减区间满足不等式 π π π - +k π<x- < +k π,k ∈Z,即 2 4 2 π 3π - +k π<x< +k π,k ∈Z,故选 B. 4 4 5.(2013· 江西八校联考)设 f1 (x)=cos x,定义 f n +1 (x)为 f n (x)的导数,即 f n +1 (x)=f n ′(x),n∈N+,若△ ABC 的内角 A 满足 f 1(A)+f 2 (A )+…+f 2013(A)=0,则 sinA 的值是( A.1 C. 2 2 B. D. A 3 2 1 2 )

[答案]

[解析] f 1 (x)=cos x,f 2 (x)=f1 ′(x)=-sinx,f 3 (x)=f 2 ′(x)=-cos x,f 4 (x)=f3 ′(x)=sinx,f 5 (x)=f4 ′(x) =cos x,…可见 f n (x)关于 n 呈周期出现,周期为 4.且 f 1(x)+f 2(x)+f 3 (x)+f 4 (x)=0,

∴f 1(A)+f 2 (A )+…+f2013 (A)=503×0+f 2013 (A )=f1 (A)=cos A =0, ∴sinA =1. 故选 A. 3 6.(2013· 苍南求知中学月考)已知定义在 R 上的函数 f (x)是周期为 3 的奇函数,当 x∈(0, )时,f (x) 2 =sinπx,则函数 f (x)在区间[0,5]上的零点个数为( A.9 C.7 [答案] [解析] D 3 3 由条件知,当 x∈(- , )时,f (x)=sinπx. 2 2 B.8 D.6 )

∴f (-1)=f (0)=f (1)=0. 又 f (x)的周期为 3, ∴f (2)=f (3)=f (4)=f(5)=0. ∴f (x)在区间[0,5]上有 6 个零点. 7.函数 y=sinx(3sinx+4cos x)(x∈R)的最大值为 M,最小正周期为 T,则有序数对(M,T)为( A.(5,π) C.(-1,2π) [答案] [解析] 4,T= B 依题意得 y=3sin x+2sin2x=
2

)

B.(4,π) D.(4,2π)

3?1-cos2x? 5 3 3 +2sin2x= sin(2x-θ)+ (其中 tanθ= ),所以 M= 2 2 2 4

2π =π,结合各选项知,选 B. 2 )

8.(文)若向量 a、b 满足 a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角等于( A.45° C.120° [答案] [解析] D 依题意得 b=(a+b)-a=(1,-3). B.60° D.135°

设 a、b 的夹角为 θ,则 1-6 a· b 2 cos θ= = =- . |a||b| 2 5× 10 又 0° ≤θ≤180° ,因此 θ=135° ,选 D. (理)(2012· 新疆维吾尔自治区检测)已知向量|a|=2,|b|=3,a、b 的夹角为 120° ,那么|a-b|等于( A.19 C.7 [答案] [解析] B. 19 D. 7 B ∵|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=120° ,∴a· b=|a|· |b|· cos120° =-3,∴|a-b|2 =|a|2 +|b|2 -2· a· b= )

4+9-2×(-3)=19,∴|a-b|= 19.

→ → → → → 9.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC= ( ) A.(-6,21) C.(6,-21) [答案] [解析] B.(-2,7) D.(2,-7)

A[来源:学|科|网 Z|X|X|K] → → → → → → → → → → → 由题意得BC=3 PC=3(PA+ AC)=3(PA+2 AQ)=3[PA+2(PQ-PA)]=-3PA+6PQ ,代入已

→ 知量有BC=(-6,21),故选 A. 5 10.(文)在△ABC 中,若 tanA =- ,则 cosA =( 12 A.- C. 5 13 12 13 D. A sinA 5 π tanA = =- <0,又因为 A 为△ABC 的内角,所以 <A <π,所以 sinA >0,cos A<0. cosA 12 2 12 13 B.- 5 13 )

[答案] [解析]

12 2 2 再根据 sin A +cos A =1,可知 cos A =- ,选 A. 13 (理)若△ABC 的角 A ,B ,C 对边分别为 a,b,c,且 a=1,∠B =45° ,S△ABC=2,则 b=( A.5 C. 41 [答案] [解析] B.25 D.5 2 A 1 解法 1:由 S△ABC= acsin45° =2?c=4 2, 2 )

再由余弦定理可得 b=5. 解法 2:作三角形 ABC 中 AB 边上的高 CD, 在 Rt△BDC 中求得高 CD= AB =4 2,AD= 2 ,结合面积求得 2

7 2 ,从而 b= AD2 +CD2 =5. 2 )

11.(文)在△ABC 中,若 2cosB · sinA =sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 [答案] [解析] C 解法 1:∵C=π-(A +B ), B.直角三角形

D.等边三角形

∴sinC=sin(A +B )=sinA cos B +cos AsinB =2cos BsinA . ∴sinA cosB -cos A sinB =0,即 sin(A -B )=0.

∵-π<A -B <π,∴A -B =0,即 A =B. a +c -b a c 解法 2:由正弦定理 sinA = ,sinC= ,cos B = , 2R 2R 2ac a2 +c2 -b2 a c 代入条件式得 2· · = , 2ac 2R 2R ∴a =b .故 a=b. A (理)(2012· 东北三省四市第二次联考)在△ABC 中,cos = 2 A.等腰三角形 B.直角三角形 D.无法确定 1+cosB ,则△ABC 一定是( 2 )
2 2 2 2 2

C.等腰直角三角形 [答案] [解析] A A 由 cos = 2

1+cosB 2A 及 2cos -1=cosA 得,cosA =cos B ,∴A =B ,故选 A. 2 2

12.在△ABC 中,∠A =60° ,最大边和最小边恰为方程 x2 -7 x+11=0 的两根,则第三边的长是 ( ) A.3 C.5 [答案] [解析] B 设最大边为 x1 ,最小边为 x2 ,且 x1 +x2 =7,x1 x2 =11. 而 a 边不是最大边和最小边,故 a2 =x2 1 B.4 D.6

+x2 cos A =(x1 +x2 )2 -2x1 x2 -2x1 x2cosA =(x1 +x2)2 -3x1 x2 =72 -3×11=16,∴a=4. 2 -2x1 x2 · 二、填空题 13.(2012· 新疆维吾尔自治区检测)角 α 的顶点在坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边落在直线 x+3y =0 上,则 sin2α 的值等于________. [答案] [ 解析 ] 3 - 5 在角 α 终边上任 取一点 P ( - 3,1) , |OP | = 10 ,∴ sin α = 1 10 , cos α = -3 10 ,∴ sin2α =

3 2sinαcos α=- . 5 14.(文)(2012· 河南新乡、平顶山、许昌三调)设向量 a,b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1), 则 cos θ=________. [答案] [解析] 3 10 10 a· b 9 3 10 ∵a=(3,3),2b-a=(-1,1),∴b=(1,2),∴cos θ= = = . |a|· |b| 3 2× 5 10

→ → (理)在正三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的点,若 AB =3,BD=1,则AB· AD=________. [答案] 15 2

→ → → → → →2 → → [解析] AB· AD=AB(AB+BD)=AB +AB· BD 3 15 =32 +3×1×cos120° =9- = . 2 2 15.(2012· 河南豫北六校精英联考)已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A 、B 、C 的对边,若 c= 2,b= 3,A +C=3B ,则 sinC=________. [答案] [解析] 6 3 π c 6 本题主要考查正弦定理及应用.由 A + C=3B 得 B = ,由正弦定理知,sinC= sinB = . 4 b 3

π? 16.(文)函数 f (x)=3sin? . ?2x- 3? 的图象为 C,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编 号 ). .

11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12 2π ? ②图象 C 关于点? ? 3 ,0?对称; ③函数 f (x)在区间? ?- π 5π? , 内是增函数; 12 12?

π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 [答案] [解析] ①②③ 11 11 π ①∵f? π?=3sin ? π- ? ?12 ? ?6 3?

3 11 =3sin π=-3,∴x= π 为对称轴. 2 12 2π 4 π ②∵f? ?=3sin? π- ?=3sinπ=0, ?3 ? ?3 3? 2π ∴? ,0?为 f (x)的图象的对称中心. ?3 ? ③由- π 5π π π π <x< ?- <2x- < , 12 12 2 3 2

π π 由于函数 y=3sinx 在?- , ?内单调递增, ? 2 2? 故函数 f (x)在? ?- π 5π? , 内单调递增. 12 12?

π π 2π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=3sin2 ?x- ? =3sin ?2x- ? 的图象,故答案 ? 3? ? 3 3? 为①②③. (理)定义一种运算:(a1 ,a2 )?(a3 ,a4 )=a1 a4 -a2 a3 ,将函数 f(x)=( 3,2sinx)?(cos x,cos2x)的图象向 左平移 n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为________. [答案] 5π 12

π [解析] f (x)= 3cos2x-2sinxcos x= 3cos2x-sin2x=2cos(2x+ ),将 f (x)的图象向左平移 n 个单位长 6 π π π 度对应的函数解析式为 f(x)=2cos[2(x+n)+ ]=2cos(2x+2n+ ),要使它为偶函数,则需要 2n+ =k π(k 6 6 6 kπ π 5π ∈Z),所以 n= - (k ∈Z),因为 n>0,所以当 k =1 时,n 有最小值 . 2 12 12 三、解答题 17.(2012· 河南商丘模拟)在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a、b、c,且 bcos C=(3a-c)cosB . (1)求 cosB 的值; → → (2)若BA· BC=2,且 b=2 2,求 a 和 c 的值. [解析] (1)由正弦定理得,sinB cos C=3sinA cos B -sinCcos B ,

∴sin(B +C)=3sinA cos B , 可得 sinA =3sinA cos B. 1 又 sinA ≠0,∴cos B = . 3 → → (2)由BA· BC=2,可得 accosB =2. 1 又 cos B = ,∴ac=6. 3 由 b =a +c -2accosB ,及 b=2 2, 可得 a2 +c2 =12, ∴(a-c) =0,即 a=c. ∴a=c= 6. 18.已知在△ABC 中,cosA = (1)求 tan2A 的值; π 2 2 (2)若 sin( +B )= ,c=2 2,求△ABC 的面积. 2 3 6 ,a、b、c 分别是角 A 、B 、C 所对的边. 3
2 2 2 2

[解析]

(1)因为 cosA =

6 ,A ∈(0,π), 3

所以 sinA =

3 2 ,则 tanA = . 3 2

2tanA 所以 tan2A = =2 2. 1-tan2 A π 2 2 2 2 (2)由 sin( +B )= ,得 cos B = , 2 3 3 1 又 B ∈(0,π),所以 sinB = . 3 则 sinC=sin(A +B )=sinA cosB +cosA sinB = 由正弦定理知 a= 1 2 2 S= acsinB = . 2 3 19.已知 A (3,0),B (0,3),C(cos α,sinα). π → → (1)若AC· BC=-1,求 sin(α+ )的值; 4 → → → → (2)O 为坐标原点,若|OA -OC|= 13,且 α∈(0,π),求OB 与OC的夹角. [解析] → (1)AC=(cos α-3,sinα), 6 . 3

csinA =2,所以△ABC 的面积为 sinC

→ BC=(cos α,sinα-3), → → 所以AC· BC=(cos α-3)· cos α+sinα(sinα-3)=-1, 得 sin2 α+cos2 α-3(sinα+cos α)=-1, π 2 所以 sin(α+ )= . 4 3 → → (2)因为|OA -OC|= 13, 所以(3-cos α)2 +sin2 α=13, 1 所以 cos α=- , 2 2π 3 因为 α∈(0,π),所以 α= ,sinα= , 3 2 1 3 → → 3 3 所以 C(- , ),所以OB · OC= , 2 2 2 → → 设OB 与OC的夹角为 θ, → → OB · OC 3 则 cos θ= = , → → 2 |OB ||OC|

π 因为 θ∈(0,π),所以 θ= 为所求. 6 20.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A 、B 、C 的对边,若 m=(2b-c,cos C),n=(a,cosA ),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; π (2)记 B =x,作出函数 y=2sin2 x+cos? -2x? 的图象. ?3 ? [解析] (1)由 m∥n 得,(2b-c)· cosA -acos C=0,

由正弦定理得:2sinB cosA -sinCcosA -sinAcos C=0, ∴2sinB cosA -sin(A +C)=0,∴2sinB cos A -sinB =0, 1 π ∵A ,B ∈(0,π),∴sinB ≠0,cos A = ,∴A = . 2 3 π 1 3 1 3 π (2)y=2sin2 x+cos( -2x)=2sin2 x+ cos2x+ sin2x=1- cos2x+ sin2x=sin(2x- )+1, 3 2 2 2 2 6 2π ∵B =x,∴由(1)知 x∈(0, ). 3

列表: x y 0 1 2 π 12 1 π 3 2 7π 12 1 2π 3 1 2

π 函数 y=2sin2 x+cos( -2x)的图象如图所示. 3 π π (理)已知向量 m=1,sinωx+ ,n=?2,2sin ?ωx- ??(其中 ω 为正常数). ? ? 3 6?? π 2π? (1)若 ω=1,x∈? ?6, 3 ?,求 m∥n 时 tanx 的值; π π (2)设 f(x)=m· n-2,若函数 f (x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 ,求 f (x)在区间? 0, ? 上的最小 ? 2 2? 值. [解析] π? ? π? (1)m∥n 时,sin? ?x- 6? =sin?x+ 3?,

π π π π sinxcos -cos xsin =sinxcos +cos xsin , 6 6 3 3 则 ∴ 3 1 1 3 sinx- cos x= sinx+ cos x. 2 2 2 2 3-1 3+1 3+1 sinx= cos x,所以 tanx= =2+ 3. 2 2 3-1

π? ? π? (2)f (x)=2sin? ?ωx-6?sin?ωx+3? π ? ?? π? π? =2sin? ?ωx-6 ?cos?? ωx+3?-2? π π π =2sin?ωx- ?cos?ωx- ?=sin?2ωx- ?. ? ? ? ? ? 6 6 3? π? ? π? (或 f (x)=2sin? ?ωx-6?sin?ωx+3? =2? 3sinωx-1cos ωx? ?1sinωx+ 3cos ωx? ?2 ? ?2 ? 2 2 =2

? 3 2 3 2 1 ? ? 4 sin ωx- 4 cos ωx+2sinωxcos ωx?
3 1 π? sin2ωx+ sin2ωx=sin ? ?2ωx-3?.) 2 2

=-

π ∵函数 f (x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 , 2 ∴f (x)的最小正周期为 π,又 ω 为正常数, ∴ 2π π =π,解得 ω=1. 故 f(x)=sin? 2x- ? . ? 2ω 3?

π? π π 2π 因为 x∈? ?0,2?,所以-3≤2x-3≤ 3 . π 3 故当 x=- 时,f(x)取最小值- . 3 2 π 21.(文)(2013· 湖南文,16)已知函数 f(x)=cos x· cos(x- ). 3 2π (1)求 f( )的值; 3 1 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 4 [解析] 2π 2π π (1)f( )=cos · cos 3 3 3

π π 1 1 =-cos · cos =-( )2 =- . 3 3 2 4 π (2)f (x)=cos x· cos(x- ) 3 1 3 =cos x· ( cos x+ sinx) 2 2

1 2 3 = cos x+ sinxcos x 2 2 1 3 = (1+cos2x)+ sin2x 4 4 1 π 1 = cos(2x- )+ . 2 3 4 1 1 π 1 1 f (x)< 等价于 cos(2x- )+ < , 4 2 3 4 4 π π π 3π 5π 11π 1 即 cos(2x- )<0. 于是 2k π+ <2x- <2k π+ ,k ∈Z,解得 k π+ <x<k π+ ,k ∈Z. 故使 f (x)< 成立 3 2 3 2 12 12 4 5π 11π 的 x 的取值集合为{x|k π+ <x<k π+ ,k ∈Z}. 12 12 π π x (理)(2013· 湖南理,17)已知函数 f(x)=sin(x- )+cos(x- ),g(x)=2sin2 . 6 3 2 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f (α)= ,求 g(α)的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. π π [解析] f (x)=sin(x- )+cos(x- ) 6 3 = 3 1 1 3 sinx- cos x+ cos x+ sinx 2 2 2 2

= 3sinx, x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α)= 得 sinα= . 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2 α =1- = . 5 5 (2)f (x)≥g(x)等价于 3sinx≥1-cos x,即 3sinx+cos x≥1. π 1 于是 sin(x+ )≥ . 6 2 π π 5π 从而 2k π+ ≤x+ ≤2k π+ ,k ∈Z, 6 6 6 2π 即 2k π≤x≤2k π+ ,k ∈Z. 3 2π 故使 f (x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2k π≤x≤2k π+ ,k ∈Z}. 3 22.(2013· 湖北理,17)在△ABC 中,角 A ,B ,C 对应的边分别是 a,b,c. 已知 cos2A -3cos(B +C) =1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinB sinC 的值.

[解析]

(1)由 cos2A -3cos(B +C)=1,得 2cos A +3cos A -2=0.

2

1 即(2cos A -1)(cosA +2)=0,解得 cos A = 或 cos A =-2(舍去) 2 π 因为 0<A <π,所以 A = 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsinA = bc· = bc=5 3,得 bc=20,又 b=5,所以 c=4, 2 2 2 4 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA =25+16-20=21,故 a= 21, b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sinB sinC= sinA ·sinA = 2 sin2 A = × = . a a a 21 4 7
2 2 2

专题综合检测二 时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 4 1.(文)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 cos α=- ,则 m 等于( 5 A.- 11 4 B. 11 4 )

C.-4 [答案] [解析] C

D.4

由题意可知,cos α=

4 =- , 5 m +9
2

m

又 m<0,解得 m=-4,故选 C. 3 13 (理)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P (x, 2)是角 θ 终边上一点,且 cos θ= , 13 则 x 的值为( A.± 3 C.3 [答案] C
2

) B.-3 D.± 13

? ? x =3 13, 13 [解析] P 到原点的距离|PO|= x +4,由三角函数的定义及题设条件得, ? x2 +4 ? ?x>0,

解之

得 x=3. 2.(2013· 海淀区期中)若向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则 a· b 的值为( A.- 1 2 B. 1 2 )

C.-1 [答案] [解析] A

D.1

∵|a|=|b|=|a+b|,∴〈a,b〉=120° ,

1 ∴a· b=1×1×cos120° =- . 2 π 3π 3.(2013· 榆林一中模拟)下列函数中,周期为 π,且在区间[ , ]上单调递增的函数是( 4 4 A.y=s in2x C.y=-sin2x [答案] C ) B. y=cos2x D.y=-cos2x )

x π x 4.(文)(2012· 邯郸市模拟)要得到函数 y=cos( - )的图象,只需将函数 y=sin 的图象( 2 4 2 π A.向左平移 个单位长度 2 π B.向右平移 个单位长度 2 π C.向左平移 个单位长度 4 π D.向右平移 个单位长度 4 [答案] [解析] 的图象. A

x π x x π 1 π π π x π ∵y=sin =cos( - )=cos( - )=cos[ (x- )- ]向左平移 个单位长度,即得 y=cos( - ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

π (理)(2013· 天津六校联考)若把函数 y=sinωx 的图象向左平移 个单位,则与函数 y=cos ωx 的图象重 3 合,则 ω 的值可能是( A. C. 1 3 2 3 B. 3 2 1 2 )

D. B

[答案] [答案]

T π 4π 由条件知, = ,∴T= ,[来源:Zxxk.Com] 4 3 3

2π 3 又 T= ,∴ω= . ω 2

5.(文)(2013· 德阳市二诊)若 cos θ+sinθ=- A. 4 9 B. 2 9 D.- D 将 cosθ+sinθ=- 5 两边平方得, 3 4 9

5 π ,则 cos( -2θ)的值为( 3 2

)

2 C.- 9 [答案] [解析]

4 sin2θ=- , 9 π 4 ∴cos( -2θ)=sin2θ=- . 2 9 π π (理)(2013· 苍南求知中学月考)函数 y=cos2 (2x- )的图象向左平移 个单位,所得的图象对应的函数是 3 6 ( ) A.值域为[0,2]的奇函数 B.值域为[0,1]的奇函数 C.值域为[0,2]的偶函数 D.值域为[0,1]的偶函数 [答案] D π 2 y=cos (2x- )= 3 1+cos?4x- 2 2π ? 3 π 1 1 ,左移 个单位后为 y= + cos4x 为偶函数,值域为[0,1], 6 2 2

[解析] 故选 D.

→ → → 6.(2013· 常德市模拟)在△ABC 中,若AB· (AB-2AC)=0,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等边三角形 [答案] [解析] B → → → → → → ∵AB· (AB-2AC)=AB· (CB -AC) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

)

→ → → =AB· (CA +CB )=0, → → → → ∴(CB -CA )· (CB +CA )=0, → → ∴|CB |2 =|CA |2 , → → ∴|CA |=|CB |,故选 B. 7.(2013· 重庆一中月考)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行,则 tan2α 的值为( A. 4 5 B. 3 4 )

C.

4 3

D. C

2 3

[答案] [解析]

1 2tanα 4 ∵tanα= ,∴tan2α= = . 2 1-tan2 α 3

π 8.(文)(2013· 保定市一模)设函数 f (x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|< )的部分图象如右图所示,则函 2 数 f (x)的表达式为( )

π A.f (x)=sin(2x+ ) 4 π B.f (x)=sin(2x- ) 4 C.f (x)=sin(4x+ 3π ) 4

π D.f (x)=sin(4x- ) 4 [答案] [解析] A 3π π π π 周期 T=4( - )=π,故 ω=2,又点( ,1)在图象上,代入可得 φ= ,故选 A. 8 8 8 4

π π (理)函数 y=tan( x- )(0<x<4)的图象如图所示,A 为图象与 x 轴的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图 4 2 → → → 象交于 B 、C 两点,则(OB +OC)· OA 等于( )

A.-8 B.-4

C.4 D.8 [答案] D

→ [解析] A 点坐标为(2,0),即OA =(2,0), π π 由 y=tan( x- )的图象的对称性知 A 是 BC 的中点. 4 2 → → → ∴OB +OC=2OA , → → → → → ∴(OB +OC)· OA =2OA · OA → =2×|OA |2 =8. 故选 D. 9.(2013· 新课标Ⅰ文,10)已知锐角△ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c, 23cos2 A +cos2A = 0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 [答案] [解析] B.9 D.5 D 本题考查了倍角公式、余弦定理.由倍角公式得 23cos A +cos2A =25 cos A -1=0,cos A =
2 2 2

)

1 1 12 2 2 2 2 2 ,△ABC 为锐角三角形 cos A = ,由余弦定理 a =b +c -2bccos A ,得 b - b-13=0,即 5b -12b 25 5 5 -65=0,解方程得 b=5. → → → 10.(文)已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点,则AP· (AB+AC)( Z.X.X.K] A.最大值为 8 C.最小值为 2 [答案] [解析] B B.是定值 6 D.与 P 的位置有关 )[来源:学. 科. 网

→ → → → 如图,∵AB+AC=AD=2AO,△ABC 为正三角形, → → → → → → → ∴四边形 ABDC 为菱形,BC⊥AO,∴AP在向量AD上的投影为AO,又|AO|= 3,∴AP· (AB+AC)= → → |AO|· |AD|=6,故选 B.

AM (理)(2013· 榆林一中模拟)如图,已知△ABC 中,点 M 在线段 AC 上,点 P 在线段 BM 上且满足 = MC MP → → → → =2,若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=120° ,则AP· BC的值为( PB )

A.-2 C. 2 3

B.2 D.- A → 2→ → 1 → → → 由条件知AM= AC,BP= BM,AB· AC=2×3cos120° =-3, 3 3 11 3

[答案] [解析]

→ → → → → → 1→ → ∴AP· BC=(AB+BP)· BC=(AB+ BM)· BC 3 → 1 → 1→ → =(AB+ AM- AB)· BC 3 3 2→ 1 2 → → =( AB+ ·AC)· BC 3 33 2→ 2 → → → =( AB+ AC)· (AC-AB) 3 9 4→ → 2 → 2 2 → 2 = AB· AC- |AB| + |AC| =-2. 9 3 9 11.(2013· 湖南理,3)在锐角△ABC 中,角 A ,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB = 3b,则角 A 等 于( A. C. ) π 12 π 4 B. π 6 π 3

D. D

[答案] [解析]

a b 3 π 由 = ,得 sinA = ,∵△ABC 为锐角三角形.∴A = . sinA sinB 2 3

x2 → → 12.(文)设 F 1 、F 2 是椭圆 +y2 =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,当△F 1PF 2 的面积为 1 时,PF 1· PF 2的 4 值为( A.0 C. 1 2 ) B.1 D.2 A

[答案]

[解析]

设 P (x,y),F1 (- 3,0),F 2 ( 3,0),

→ → 则PF 1· PF 2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=x2 +y2 -3. 1 → 1 ∵△F 1 PF 2 的面积 S= |F 1 F2||y|= · 2 3· |y|= 3|y|=1, 2 2 1 ∴y2 = . 由于点 P 在椭圆上, 3 x2 2 8 2 ∴ +y =1. ∴x = . 4 3 8 1 → → ∴PF 1· PF 2=x2 +y2 -3= + -3=0. 故选 A. 3 3 x2 y2 (理)(2013· 内江市模拟)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0),F (c, 0)是右焦点,经过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 a b → → → → → → 交于点 A 、B ,且FA· FB=0,|OA -OB |=2|OA -OF |,则该椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 2 D. 3-1 D → → → → → → → → → → ∵|OA -OB |=|AB|,|OA -OF |=|AF|,且|OA -OB |=2|OA -OF |, )

C. 2-1 [答案] [解析]

→ → ∴AB =2AF ,∵FA· FB=0,∴FA ⊥FB ,

c 3 ∴OF =OA =AF ,∴A ( ,- c)在椭圆上, 2 2 ∴ ∴ c 3c + =1, 4a2 4b2 c 3c 1 3 + =1,∴ e2 + =1, 4a2 4a2 -4c2 4 4 2 -4 e
2 2 2 2

∵0<e<1,∴e= 3-1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填写在题中横线上.)

13.(2013· 北京西城一模)在△ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边长分别为 a,b,c,且 =10,则△ABC 的面积是________. [答案] [解析] 24 cosA b 由 = 得 acosA =bcos B , cosB a

cosA b 3 = = .若 c cosB a 4

由正弦定理得 sin2A =sin2B , 由 cosA 3 = 知 A ≠B ,∴2A =π-2B , cosB 4

π π ∴A +B = ,∴C= , 2 2 b 3 1 又 = ,c=10,∴b=6,a=8,S= ab=24. a 4 2 π 14.(文)(2013· 北京东城区模拟)函数 f(x)=sin(x- )的图象为 C,有如下结论: 3 5π ①图象 C 关于直线 x= 对称; 6 4π ②图象 C 关于点( ,0)对称; 3 π 5π ③函数 f (x)在区间[ , ]内是增函数. 3 6 其中正确的结论序号是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①②③

(理)(2013· 江西八校联考)已知函数 f(x)=cos xsinx,给出下列四个结论: ①若 f (x1 )=-f(x2 ),则 x1 =-x2 ; ②f (x)的最小正周期是 2π; π π ③f (x)在区间[- , ]上是增函数; 4 4 3π ④f (x)的图象关于直线 x= 对称. 4 其中正确的结论是________. [答案] [解析] ③④ 1 kπ π 3π π f (x)= sin2x 最小正周期 T =π,对称轴 x= + ,k ∈Z,令 k =1 得 x= ;由 2k π- 2 2 4 4 2

π π π π π ≤2x≤2k π+ 得,k π- ≤x≤k π+ ,取 k =0 知,f(x)在区间[- , ]上为增函数,f(x)为奇函数,当 x1 = 2 4 4 4 4 -x2 时,有 f (x1 )=f(-x2 )=-f(x2 ),但 f (x1 )=-f(x2 )时,由周期性知不一定有 x1 =-x2 ,故正确选项为③ ④. → → 15.(2013· 重庆一中月考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足AP=2PM,则 → → → PA· (PB+PC)等于________.

[答案] [解析]

4 - 9 1 → → → 2 → AM=1,AP=2PM,∴|PA|= ,|PM|= , 3 3

2 1 4 → → → → → ∴PA· (PB+PC)=PA· (2PM)=-2× × =- . 3 3 9 16.(文)关于平面向量 a、b、c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则?λ∈R,使 b=λa; ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0; ③存在不全为零的实数 λ,μ,使得 c=λa+μb; ④若 a· b=a· c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题序号是________. [答案] [解析] ①④ 逐个判断.由向量共线定理知①正确;若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,所以②错误;在

a,b 能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数 λ, μ 使得 c=λa+μb,所以③错误;若 a· b=a· c,则 a· (b-c)=0,所以 a⊥(b-c),所以④正确.故正确命题序号是①④. (理)(2012· 浙江宁波模拟)在△ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a、b、c,若 A 、B 、C 成等差数 列,且 b=1,则△ABC 面积的最大值为________. [答案] [解析] 3 4 a2 +c2 -b2 1 π 本题考查解三角形的相关知识.由题意得 B = ,根据余弦定理 cosB = = , 3 2ac 2

∴a2 +c2 -1=ac?a2 +c2 =1+ac≥2ac,∴ac≤1. 1 3 3 S= acsinB = ac≤ . 2 4 4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)[来源:学, 科, 网 Z,X,X,K] 4 17.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 天津六校联考)△ABC 中,已知 A =45° ,cos B = . 5 (1)求 sinC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 AB 、CD 的长. [解析] 4 (1)∵三角形中,cos B = ,所以 B 为锐角, 5 3 5

∴sinB =

所以 sinC=sin(A +B )=sinA cosB +cosA sinB = 7 2 . 10

AB BC (2)三角形 ABC 中,由正弦定理得 = , sinC sinA ∴AB =14, 又 D 为 AB 中点,所以 BD=7, 在三角形 BCD 中,由余弦定理得 CD =BC +BD -2BC· BD· cosB =37,∴CD= 37. 4 (理)设△ABC 的内角 A 、B 、C 所对应的边分别为 a、b、c,cos B = ,b=2 . 5 π (1)当 A = 时,求 a 的值; 6 (2)当△ABC 面积为 3 时,求 a+c 的值. [解析] 4 π (1)∵B 是△ABC 的内角,且 cosB = ,(0<B < ), 5 2
2 2 2 2

∴sinB = 1-cos B=

42 3 1-? ? = . 5 5

a b 由正弦定理得: = , sinA sinB bsinA 5 ∴a= = = . sinB 3 3 5 1 (2)由题意得:S= acsinB , 2 ∴ 3 ac=3,ac=10, 10 2× 1 2

又由余弦定理得:b2 =a2 +c2 -2accos B , 8 8 ∴a2 +c2 - ac=b2 ,∴a2 +c2 =b2 + ac=20, 5 5 ∴(a+c)2 =a2 +c2 +2ac=40, ∴a+c=2 10. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 德阳市二诊)函数 f(x)=sinωxcos φ-cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过 π π 点( ,0),且相邻两条对称轴间的距离为 . 6 2 (1)求 f(x)的表达式; 1 2 1 (2)试求函数 y=f ( x)+ 的单调增区间. 2 2 [解析] (1)由题意 y=sin(ωx-φ),

π ∵相邻两条对称轴间的距离为 , 2 ∴T=π= 2π ,∴ω=2, ω

故 f (x)=sin(2x-φ),

π 又 y=f(x)的图象过点( ,0), 6 π ∴2× -φ=k π,k ∈Z, 6 π ∴φ= -k π, 3 π 又 0<φ<π,∴φ= , 3 π f (x)=sin(2x- ). 3 1 1 π 1 (2)y=f 2( x)+ =sin2 (x- )+ 2 2 3 2 1-cos?2x- = 2 2π ? 3 1 1 2π + =1- cos(2x- ), 2 2 3

2π 由 2k π≤2x- ≤2k π+π, 3 π 5π 解之得 k π+ ≤x≤k π+ , 3 6 1 π 5π 2 1 ∴y=f ( x)+ 的增区间为[k π+ ,k π+ ],(k ∈Z). 2 2 3 6 π x (理)(2013· 重庆一中月考)已知函数 f(x)=sin(x+ )+2sin2 . 6 2 (1)求 f(x)的单调增区间; (2)记△ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c,若 f (A )=1,a=1,c= 3,求 b 的值. [解析] π 3 1 3 1 π 2x (1)f(x)=sin(x+ )+2sin = sinx+ cos x+1-cos x= sinx- cos x+1=sin(x- )+1, 6 2 2 2 2 2 6

π π π π 2π 由 2k π- ≤x- ≤2k π+ 得,2k π- ≤x≤2k π+ , 2 6 2 3 3 π 2π ∴增区间为[2k π- ,2k π+ ](k ∈Z). 3 3 π (2)∵f (A )=sin(A - )+1=1, 6 π π ∴sin(A - )=0,∴A = , 6 6 3 2 2 由余弦定理得,1 =b +3-2b· 3· , 2 ∴b2 -3b+2=0,∴b=1 或 b=2. 3π 19.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 西城二模)已知函数 f (x)=sinx+acos x 的一个零点是 . 4 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f (x)]2 -2sin2 x,求 g(x)的单调递增区间.

[解析] ∴sin

3π (1)依题意,得 f ( )=0, 4

3π 3π 2 2a +acos = - =0, 4 4 2 2

∴a=1. (2)由(1)得 f (x)=sinx+cos x, ∴g(x)=[f (x)] -2sin x =(sinx+cos x)2 -2sin2 x π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ). 4 π π π 由 2k π- ≤2x+ ≤2k π+ 得, 2 4 2 3π π k π- ≤x≤k π+ ,k ∈Z 8 8 ∴g(x)的单调递增区间为[k π- 3π π ,k π+ ](k ∈Z). 8 8 ωx 1 ωx 1 , ),b=(cos ,- )(ω>0,x≥0),函数 f (x)=a· b 的第 n(n 2 2 2 2
2 2

(理)(2013· 保定市一模)已知向量 a=(sin
*

∈N )个零点记作 xn (从左向右依次计数),则所有 xn 组成数列{xn}. 1 (1)若 ω= ,求 x2 ; 2 (2)若函数 f(x)的最小正周期为 π,求数列{xn}的前 100 项和 S100. [解析] f (x)=a· b=sin ωx ωx 1 1 1 cos - = sinωx- . 2 2 4 2 4

1 1 1 1 (1)当 ω= 时,f(x)= sin( x)- , 2 2 2 4 π 5π 5π 令 f (x)=0,得 x=4k π+ 或 x=4k π+ (k ∈Z,x≥0),取 k =0,得 x2 = . 3 3 3 1 1 (2)因为 f(x)最小正周期为 π,则 ω=2,故 f(x)= sin2x- , 2 4 π 5π 令 f (x)=0 得 x=k π+ 或 x=k π+ (k ∈Z,x≥0), 12 12
49 π 5π 所以 S100 = ? [(k π+ )+(k π+ )] 12 12 k= 0

49 π π = ? (2k π+ )=2π(0+1+2+…+49)+50× 2 2 k= 0

=50×49π+25π=2475π. 20.(本小题满分 12 分)(2013· 江西八校联考)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB =AD,记∠ CAD=α,∠ABC=β.

(1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若 AC= 3DC,求 β. [解析] (1)证明:∵AB =AD,∠ABC=β,∠CAD=α,

π ∴2β= +α, 2 π ∴sinα+cos2β=sinα+cos( +α)=sinα-sin α=0. 2 (2)在△ABC 中, ∵AC= 3DC,∴sinβ= 3sinα, ∴sinβ= 3sinα=- 3cos2β=2 3sin2 β- 3. π 3 ∵β∈(0, ),∴sinβ= , 2 2 π ∴β= . 3 21.(本小题满分 12 分)(2013· 惠州质检)已知向量 m=(1,cos A),n=(sinA cosB ,sinB ),m· n=sin2C, 且 A 、B 、C 分别是△ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (1)求角 C 的大小; → → → (2)设 sinA 、sinC、sinB 成等比数列,且CA · (AB-AC)=8,求边 c 的值. [解析] (1)由题知,m· n=sinAcosB +sinB cos A

=sin(A +B )=sin(π-C)=sinC. 又 m· n=sin2C,∴sin2C=sinC, ∴sinC(2cos C-1)=0,∵0<C<π,∴sinC≠0, 1 π ∴cos C= ,∴C= . 2 3 (2)∵sinA ,sinC,sinB 成等比数列, ∴sin2 C=sinA · sinB . 根据正弦 定理得,c2 =ab. → → → → → ∵CA · (AB-AC)=CA · CB =8,∴bacos C=8. ∴ab=1 6,∴c2 =16,∴c=4. 22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 江西师大附中、鹰潭一中联考)已知点 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 )是函数 f (x)

π π =sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )图象上的任意两点,若|y1 -y2 |=2 时,|x1 -x2|的最小值为 ,且函数 f (x)的图象经 2 2 1 过点(0, ). 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c,且 2sinAsinC+cos2B =1,求 f (B)的取值范围. [解析] T π (1)由题意知 = ,∴T=π, 2 2

2π 又 T= ,∴ω=2, ω 1 π π ∵f (0)=sinφ= 且 φ∈(0, ),∴φ= , 2 2 6 π 从而 f (x)=sin(2x+ ). 6 (2)∵2sinA sinC+cos2B =1, ∴2sinA sinC=1-cos2B =2sin B ,即 sinA sinC=sin B , ∴ac=b , a2 +c2 -b2 a2 +c2 -ac 2ac-ac 1 π 由 cos B = = ≥ = ,得 B ∈(0, ]. 2ac 2ac 2ac 2 3 π π 5π π 1 ∴2B + ∈( , ],从而 f (B)=sin(2B + )的取值范围为[ ,1]. 6 6 6 6 2 2 3 (理)(2013· 江西八校联考) 已知向量 a=(sinωx, 2cos ωx),b=(cos ωx,- cos ωx)(ω>0),函数 f(x)= 3 π a· ( 3b+a)-1,且函数 f (x)的最小正周期为 . 2 (1)求 ω 的值; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足:b2 =ac,且边 b 所对的角为 x,若方程 f(x)=k 有两个不同的实数 解,求实数 k 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=a· ( 3b+a)-1
2 2 2

=(sinωx, 2cos ωx)· (sinωx+ 3cos ωx, 0)-1 = 3 1 1 sin2ωx- co s2ωx- 2 2 2

π 1 =sin(2ωx- )- . 6 2 2π π ∵T= = ,∴ω=2. 2ω 2 π 1 (2)由(1)知,f(x)=sin(4x- )- , 6 2 a2 +c2 -b2 2ac-ac 1 ∵在△ABC 中,cos x= ≥ = , 2ac 2ac 2

π π π 7π ∴0<x≤ ,∴- <4x- ≤ . 3 6 6 6 π 1 1 ∴f (x)=sin(4x- )- =k 有两个不同的实数解时,k 的取值范围是(-1, ). 6 2 2

一、选择题 5π 1.(文)(2013· 天津十二区县联考)将函数 y=cos(x- )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 6 π 坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位,则所得函数图象对应的解析式是( 3 x π A.y=cos( - ) 2 4 C.y=sin2x [答案] [解析] D 5π 各点横坐标 1 5π 向左平移 x 2π y=cos(x- )伸长到原来的 ― ― → 2倍y=cos( x- ) π― ― → y=cos( - ). 个单位 6 2 6 2 3 3 π B. y=cos(2x- ) 6 x 2π D.y=cos( - ) 2 3 )

π (理)(2013· 眉山市二诊)将函数 y=cos(x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再 3 π 向左平移 个单位,所得函数的最小正周期为( 6 A.π C.4π [答案] [解析] B.2π D.8π C π 各点的横坐标 x π 向左平移 x 5π y=cos(x+ )伸长到原来的 ― ― → 2倍y=cos( + ) π― ― → y=cos( + ). 3 2 3 6个单位 2 12 )

2π ∴最小正周期为 T= =4π. 1 2 2.(文)已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a· b 等于( A.-10 C.0 [答案] [解析] B.-6 D.6 A 由 a∥b 得 2x=-4,x=-2,a· b=(1,2)· (-2,-4)=-10,故选 A. )

1 (理)(2012· 河南豫北六校精英联考)已知向量 a=(1,1-cos θ)且 b=(1+cos θ, ),a∥b,则锐角 θ 等于 2 ( )[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

A.30° C.60° [答案] [解析] B

B.45° D.75°

1 本题主要考查向量平行的概念及特殊角的三角函数值.由两向量平行可得 =1-cos 2 θ, 2

2 ∴cos θ=± , 2 又 θ 为锐角,∴θ=45° ,故选 B. 5 3 3.在△ABC 中,已知 cos A = ,sinB = ,则 cos C 的值为( 13 5 A. C. 16 65 16 56 或 65 65 A 5 12 3 由 cos A = >0 得 A 为锐角,且 sinA = ,sinB = ,sinA >sinB ,因此 B 为锐角,于是 cosB 13 13 5 B. 56 65 D.- 16 56 或 65 65 )

[答案] [ 解析]

4 16 = ,cos C=cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=sinA sinB -cos Acos B = ,选 A. 5 65 4.(文)(2013· 大兴区模拟)函数 f(x)= π π A.在(- , )上递增 2 2 π π B.在(- ,0]上递增,在(0, )上递减 2 2 π π C.在(- , )上递减 2 2 π π D.在(- ,0]上递减,在(0, )上递增 2 2 [答案] D 1-cos x ( cos x
2

)

?tanx, ?sinx>0? , |sinx| ? [解析] f (x)= =? ∴选 D. cos x ? ?-tanx, ?sinx<0?.

π (理)函数 f(x)=tan( -x)的单调递减区间为( 4 A.(k π- 3π π ,k π+ ),k ∈Z 4 4

)

π 3π B.(k π- ,k π+ ),k ∈Z 4 4 π π C.(k π- ,k π+ ),k ∈Z 2 2 D.(k π,(k +1)π),k ∈Z [答案] B

π π [解析] f (x)=tan( -x)=-tan(x- ), 4 4 所以 f (x)的单调递减区间满足不等式 π π π - +k π<x- < +k π,k ∈Z,即 2 4 2 π 3π - +k π<x< +k π,k ∈Z,故选 B. 4 4 5.(2013· 江西八校联考)设 f1 (x)=cos x,定义 f n +1 (x)为 f n (x)的导数,即 f n +1 (x)=f n ′(x),n∈N+,若△ ABC 的内角 A 满足 f 1(A)+f 2 (A )+…+f 2013(A)=0,则 sinA 的值是( A.1 C. 2 2 B. D. A 3 2 1 2 )

[答案]

[解析] f 1 (x)=cos x,f 2 (x)=f1 ′(x)=-sinx,f 3 (x)=f 2 ′(x)=-cos x,f 4 (x)=f3 ′(x)=sinx,f 5 (x)=f4 ′(x) =cos x,…可见 f n (x)关于 n 呈周期出现,周期为 4.且 f 1(x)+f 2(x)+f 3 (x)+f 4 (x)=0, ∴f 1(A)+f 2 (A )+…+f2013 (A)=503×0+f 2013 (A )=f1 (A)=cos A =0, ∴sinA =1. 故选 A. 3 6.(2013· 苍南求知中学月考)已知定义在 R 上的函数 f (x)是周期为 3 的奇函数,当 x∈(0, )时,f (x) 2 =sinπx,则函数 f (x)在区间[0,5]上的零点个数为( A.9 C.7 [答案] [解析] D 3 3 由条件知,当 x∈(- , )时,f (x)=sinπx. 2 2 B.8 D.6 )

∴f (-1)=f (0)=f (1)=0. 又 f (x)的周期为 3, ∴f (2)=f (3)=f (4)=f(5)=0. ∴f (x)在区间[0,5]上有 6 个零点. 7.函数 y=sinx(3sinx+4cos x)(x∈R)的最大值为 M,最小正周期为 T,则有序数对(M,T)为( A.(5,π) C.(-1,2π) [答案] [解析] 4,T= B 依题意得 y=3sin2 x+2sin2x= 3?1-cos2x? 5 3 3 +2sin2x= sin(2x-θ)+ (其中 tanθ= ),所以 M= 2 2 2 4 B.(4,π) D.(4,2π) )

2π =π,结合各选项知,选 B. 2

8.(文)若向量 a、b 满足 a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角等于( A.45° C.120° [答案] [解析] D 依题意得 b=(a+b)-a=(1,-3). B.60° D.135°

)

设 a、b 的夹角为 θ,则 1-6 a· b 2 cos θ= = =- . |a||b| 2 5× 10 又 0° ≤θ≤180° ,因此 θ=135° ,选 D. (理)(2012· 新疆维吾尔自治区检测)已知向量|a|=2,|b|=3,a、b 的夹角为 120° ,那么|a-b|等于( A.19 C.7 [答案] [解析] B. 19 D. 7 B ∵|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=120° ,∴a· b=|a|· |b|· cos120° =-3,∴|a-b|2 =|a|2 +|b|2 -2· a· b= )

4+9-2×(-3)=19,∴|a-b|= 19. → → → → → 9.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC= ( ) A.(-6,21) C.(6,-21) [答案] [解析] B.(-2,7) D.(2,-7)

A[来源:学|科|网 Z|X|X|K] → → → → → → → → → → → 由题意得BC=3 PC=3(PA+ AC)=3(PA+2 AQ)=3[PA+2(PQ-PA)]=-3PA+6PQ ,代入已

→ 知量有BC=(-6,21),故选 A. 5 10.(文)在△ABC 中,若 tanA =- ,则 cosA =( 12 A.- C. 5 13 12 13 D. A sinA 5 π tanA = =- <0,又因为 A 为△ABC 的内角,所以 <A <π,所以 sinA >0,cos A<0. cosA 12 2 12 13 B.- 5 13 )

[答案] [解析]

12 再根据 sin2 A +cos2 A =1,可知 cos A =- ,选 A. 13 (理)若△ABC 的角 A ,B ,C 对边分别为 a,b,c,且 a=1,∠B =45° ,S△ABC=2,则 b=( A.5 C. 41 B.25 D.5 2 )

[答案] [解析]

A 1 解法 1:由 S△ABC= acsin45° =2?c=4 2, 2

再由余弦定理可得 b=5. 解法 2:作三角形 ABC 中 AB 边上的高 CD, 在 Rt△BDC 中求得高 CD= AB =4 2,AD= 2 ,结合面积求得 2

7 2 ,从而 b= AD2 +CD2 =5. 2 )

11.(文)在△ABC 中,若 2cosB · sinA =sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 [答案] [解析] C 解法 1:∵C=π-(A +B ), B.直角三角形

D.等边三角形

∴sinC=sin(A +B )=sinA cos B +cos AsinB =2cos BsinA . ∴sinA cosB -cos A sinB =0,即 sin(A -B )=0. ∵-π<A -B <π,∴A -B =0,即 A =B. a +c -b a c 解法 2:由正弦定理 sinA = ,sinC= ,cos B = , 2R 2R 2ac a + c -b a c 代入条件式得 2· · = , 2ac 2R 2R ∴a2 =b2 .故 a=b. A (理)(2012· 东北三省四市第二次联考)在△ABC 中,cos = 2 A.等腰三角形 B.直角三角形 D.无法确定 1+cosB ,则△ABC 一定是( 2 )
2 2 2 2 2 2

C.等腰直角三角形 [答案] [解析] A A 由 cos = 2

1+cosB A 及 2cos2 -1=cosA 得,cosA =cos B ,∴A =B ,故选 A. 2 2

12.在△ABC 中,∠A =60° ,最大边和最小边恰为方程 x2 -7 x+11=0 的两根,则第三边的长是 ( ) A.3 C.5 [答案] [解析]
2

B.4 D.6 B 设最大边为 x1 ,最小边为 x2 ,且 x1 +x2 =7,x1 x2 =11. 而 a 边不是最大边和最小边,故 a2 =x2 1
2 2 2

+x2 -2x1 x2 · cos A =(x1 +x2 ) -2x1 x2 -2x1 x2cosA =(x1 +x2) -3x1 x2 =7 -3×11=16,∴a=4. 二、填空题

13.(2012· 新疆维吾尔自治区检测)角 α 的顶点在坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边落在直线 x+3y =0 上,则 sin2α 的值等于________. [答案] [ 解析 ] 3 - 5 在角 α 终边上任 取一点 P ( - 3,1) , |OP | = 10 ,∴ sin α = 1 10 , cos α = -3 10 ,∴ sin2α =

3 2sinαcos α=- . 5 14.(文)(2012· 河南新乡、平顶山、许昌三调)设向量 a,b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1), 则 cos θ=________. [答案] [解析] 3 10 10 a· b 9 3 10 ∵a=(3,3),2b-a=(-1,1),∴b=(1,2),∴cos θ= = = . |a|· |b| 3 2× 5 10

→ → (理)在正三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的点,若 AB =3,BD=1,则AB· AD=________. [答案] 15 2

→ → → → → →2 → → [解析] AB· AD=AB(AB+BD)=AB +AB· BD 3 15 =32 +3×1×cos120° =9- = . 2 2 15.(2012· 河南豫北六校精英联考)已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A 、B 、C 的对边,若 c= 2,b= 3,A +C=3B ,则 sinC=________. [答案] [解析] 6 3 π c 6 本题主要考查正弦定理及应用.由 A + C=3B 得 B = ,由正弦定理知,sinC= sinB = . 4 b 3

π? 16.(文)函数 f (x)=3sin? . ?2x- 3? 的图象为 C,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编 号 ). .

11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12 2π ? ②图象 C 关于点? ? 3 ,0?对称; ③函数 f (x)在区间?- π 5π? ? 12,12?内是增函数;

π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 [答案] [解析] ①②③ 11 11 π ①∵f? π?=3sin ? π- ? ?12 ? ?6 3?

3 11 =3sin π=-3,∴x= π 为对称轴. 2 12 2π? ?4 π? ②∵f? ? 3 ?=3sin?3π-3?=3sinπ=0, 2π ? ∴? ? 3 ,0?为 f (x)的图象的对称中心. ③由- π 5π π π π <x< ?- <2x- < , 12 12 2 3 2

π π? 由于函数 y=3sinx 在? ?-2,2?内单调递增, 故函数 f (x)在? ?- π 5π? , 内单调递增. 12 12?

π π 2π ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=3sin2 ?x- ? =3sin ?2x- ? 的图象,故答案 ? 3? ? 3 3? 为①②③. (理)定义一种运算:(a1 ,a2 )?(a3 ,a4 )=a1 a4 -a2 a3 ,将函数 f(x)=( 3,2sinx)?(cos x,cos2x)的图象向 左平移 n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为________. [答案] 5π 12

π [解析] f (x)= 3cos2x-2sinxcos x= 3cos2x-sin2x=2cos(2x+ ),将 f (x)的图象向左平移 n 个单位长 6 π π π 度对应的函数解析式为 f(x)=2cos[2(x+n)+ ]=2cos(2x+2n+ ),要使它为偶函数,则需要 2n+ =k π(k 6 6 6 kπ π 5π ∈Z),所以 n= - (k ∈Z),因为 n>0,所以当 k =1 时,n 有最小值 . 2 12 12 三、解答题 17.(2012· 河南商丘模拟)在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a、b、c,且 bcos C=(3a-c)cosB . (1)求 cosB 的值; → → (2)若BA· BC=2,且 b=2 2,求 a 和 c 的值. [解析] (1)由正弦定理得,sinB cos C=3sinA cos B -sinCcos B ,

∴sin(B +C)=3sinA cos B , 可得 sinA =3sinA cos B. 1 又 sinA ≠0,∴cos B = . 3 → → (2)由BA· BC=2,可得 accosB =2. 1 又 cos B = ,∴ac=6. 3 由 b =a +c -2accosB ,及 b=2 2, 可得 a2 +c2 =12, ∴(a-c)2 =0,即 a=c. ∴a=c= 6. 18.已知在△ABC 中,cosA = (1)求 tan2A 的值; π 2 2 (2)若 sin( +B )= ,c=2 2,求△ABC 的面积. 2 3 [解析] (1)因为 cosA = 6 ,A ∈(0,π), 3 6 ,a、b、c 分别是角 A 、B 、C 所对的边. 3
2 2 2

所以 sinA =

3 2 ,则 tanA = . 3 2

2tanA 所以 tan2A = 2 =2 2. 1-tan A π 2 2 2 2 (2)由 sin( +B )= ,得 cos B = , 2 3 3 1 又 B ∈(0,π),所以 sinB = . 3 则 sinC=sin(A +B )=sinA cosB +cosA sinB = 由正弦定理知 a= 1 2 2 S= acsinB = . 2 3 19.已知 A (3,0),B (0,3),C(cos α,sinα). π → → (1)若AC· BC=-1,求 sin(α+ )的值; 4 → → → → (2)O 为坐标原点,若|OA -OC|= 13,且 α∈(0,π),求OB 与OC的夹角. [解析] → (1)AC=(cos α-3,sinα), 6 . 3

csinA =2,所以△ABC 的面积为 sinC

→ BC=(cos α,sinα-3),

→ → 所以AC· BC=(cos α-3)· cos α+sinα(sinα-3)=-1, 得 sin2 α+cos2 α-3(sinα+cos α)=-1, π 2 所以 sin(α+ )= . 4 3 → → (2)因为|OA -OC|= 13, 所以(3-cos α) +sin α=13, 1 所以 cos α=- , 2 2π 3 因为 α∈(0,π),所以 α= ,sinα= , 3 2 1 3 → → 3 3 所以 C(- , ),所以OB · OC= , 2 2 2 → → 设OB 与OC的夹角为 θ, → → OB · OC 3 则 cos θ= = , → → 2 |OB ||OC| π 因为 θ∈(0,π),所以 θ= 为所求. 6 20.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A 、B 、C 的对边,若 m=(2b-c,cos C),n=(a,cosA ),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; π ? (2)记 B =x,作出函数 y=2sin2 x+cos? ?3-2x? 的图象. [解析] (1)由 m∥n 得,(2b-c)· cosA -acos C=0,
2 2

由正弦定理得:2sinB cosA -sinCcosA -sinAcos C=0, ∴2sinB cosA -sin(A +C)=0,∴2sinB cos A -sinB =0, 1 π ∵A ,B ∈(0,π),∴sinB ≠0,cos A = ,∴A = . 2 3 π 1 3 1 3 π 2 2 (2)y=2sin x+cos( -2x)=2sin x+ cos2x+ sin2x=1- cos2x+ sin2x=sin(2x- )+1, 3 2 2 2 2 6 2π ∵B =x,∴由(1)知 x∈(0, ). 3

列表: x y 0 1 2 π 12 1 π 3 2 7π 12 1 2π 3 1 2

π 函数 y=2sin2 x+cos( -2x)的图象如图所示. 3 π π ? (理)已知向量 m=1,sinωx+ ,n=? 2,2sin ? ωx- ? (其中 ω 为正常数). ? ? 3 6?? π 2π (1)若 ω=1,x∈? , ?,求 m∥n 时 tanx 的值; ?6 3 ? π π (2)设 f(x)=m· n-2,若函数 f (x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 ,求 f (x)在区间? 0, ? 上的最小 ? 2 2? 值. [解析] π π (1)m∥n 时,sin?x- ? =sin?x+ ?, ? 6? ? 3?

π π π π sinxcos -cos xsin =sinxcos +cos xsin , 6 6 3 3 则 ∴ 3 1 1 3 sinx- cos x= sinx+ cos x. 2 2 2 2 3-1 3+1 3+1 sinx= cos x,所以 tanx= =2+ 3. 2 2 3-1

π? ? π? (2)f (x)=2sin? ?ωx-6?sin?ωx+3? π π π =2sin?ωx- ?cos?? ωx+ ?- ? ? ? ? ? 6 3? 2? π? ? π? π? ? =2sin? ?ωx-6 ?cos?ωx-6 ?=sin?2ωx-3?. π? ? π? (或 f (x)=2sin? ?ωx-6?sin?ωx+3? =2? 3sinωx-1cos ωx? ?1sinωx+ 3cos ωx? ?2 ? ?2 ? 2 2 =2? 3sin2 ωx- 3cos2 ωx+1sinωxcos ωx? ?4 ? 4 2

=-

3 1 π sin2ωx+ sin2ωx=sin ? 2ωx- ? .) ? 2 2 3?

π ∵函数 f (x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 , 2 ∴f (x)的最小正周期为 π,又 ω 为正常数, ∴ 2π π =π,解得 ω=1. 故 f(x)=sin?2x- ? . ? 2ω 3?

π π π 2π 因为 x∈?0, ?,所以- ≤2x- ≤ . ? 2? 3 3 3 π 3 故当 x=- 时,f(x)取最小值- . 3 2 π 21.(文)(2013· 湖南文,16)已知函数 f(x)=cos x· cos(x- ). 3 2π (1)求 f( )的值; 3 1 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 4 [解析] 2π 2π π (1)f( )=cos · cos 3 3 3

π π 1 1 =-cos · cos =-( )2 =- . 3 3 2 4 π (2)f (x)=cos x· cos(x- ) 3 1 3 =cos x· ( cos x+ sinx) 2 2 1 3 = cos2 x+ sinxcos x 2 2 1 3 = (1+cos2x)+ sin2x 4 4 1 π 1 = cos(2x- )+ . 2 3 4 1 1 π 1 1 f (x)< 等价于 cos(2x- )+ < , 4 2 3 4 4 π π π 3π 5π 11π 1 即 cos(2x- )<0. 于是 2k π+ <2x- <2k π+ ,k ∈Z,解得 k π+ <x<k π+ ,k ∈Z. 故使 f (x)< 成立 3 2 3 2 12 12 4 5π 11π 的 x 的取值集合为{x|k π+ <x<k π+ ,k ∈Z}. 12 12 π π x (理)(2013· 湖南理,17)已知函数 f(x)=sin(x- )+cos(x- ),g(x)=2sin2 . 6 3 2 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f (α)= ,求 g(α)的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

π π [解析] f (x)=sin(x- )+cos(x- ) 6 3 = 3 1 1 3 sinx- cos x+ cos x+ sinx 2 2 2 2

= 3sinx, x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α)= 得 sinα= . 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2 α =1- = . 5 5 (2)f (x)≥g(x)等价于 3sinx≥1-cos x,即 3sinx+cos x≥1. π 1 于是 sin(x+ )≥ . 6 2 π π 5π 从而 2k π+ ≤x+ ≤2k π+ ,k ∈Z, 6 6 6 2π 即 2k π≤x≤2k π+ ,k ∈Z. 3 2π 故使 f (x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2k π≤x≤2k π+ ,k ∈Z}. 3 22.(2013· 湖北理,17)在△ABC 中,角 A ,B ,C 对应的边分别是 a,b,c. 已知 cos2A -3cos(B +C) =1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinB sinC 的值. [解析] (1)由 cos2A -3cos(B +C)=1,得 2cos A +3cos A -2=0.
2

1 即(2cos A -1)(cosA +2)=0,解得 cos A = 或 cos A =-2(舍去) 2 π 因为 0<A <π,所以 A = 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsinA = bc· = bc=5 3,得 bc=20,又 b=5,所以 c=4, 2 2 2 4 由余弦定理得 a2 =b2 +c2 -2bccosA =25+16-20=21,故 a= 21, b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sinB sinC= sinA ·sinA = 2 sin2 A = × = . a a a 21 4 7


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