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高中数学【Word版题库】5.4 平面向量的应用


5.4 平面向量的应用
一、填空题
??? ? ??? ???? ? ???? ???? · 1.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC ? 3 BD, AD ? 1, 则 ΑC AD 等于________.

解析 ??? ???? ??? ???? ? ? AC ? AD ? AC ? AD cos?DAC ??? ? ??? ? ? AC ? cos?DAC ? AC sin?BAC
??? ? ??? ? 1 ? BC sinB ? BC ? ??? ? BD ??? ? 1 ? 3 ? BD ? ??? ? 3. ? BD

答案 3 → → → 2.在△ABC 中,若BC=a,CA=b,AB=c 且 a·b=b·c=c·a, 则△ABC 的形状 是____________. 解析 由 a·b=b·c=c·a,a+b+c=0,得 AB=BC=CA,所以△ABC 为等边 三角形. 答案 等边三角形

? 3.设 O 为坐标原点,A(1,1),若点 B(x,y)满足?0≤x≤1, ?0≤y≤1.
最大值是________. → 答案 2 →

x2+y2≥1,





则OA·OB的

解析 OA·OB=(1,1)·(x,y)=x+y,当 B 取点 A 时,(x+y)max=2.

4.已知△ABO 三顶点的坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内 → → → → → → 一点,且满足AP·OA≤0,BP·OB≥0,则OP·AB的最小值为________.

→ → 解析 由已知得AP·OA=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0, → → 且BP·OB=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,即 x≤1,且 y≥2, → → 所以OP·AB=(x,y)·(-1,2)=-x+2y≥-1+4=3. 答案 3 → → 5. 如图, ABC 的外接圆的圆心为 O, =2, =3, = 7, AO·BC=________. △ AB AC BC 则











解析 AO·BC=AO·(AC-AB) → → → → =AO·AC-AO·AB, → 1 因为 OA=OB,所以AO在AB上的投影为 |AB|, 2 → → → → 1 所以AO·AB= |AB|·|AB|=2, 2 → → → → 1 9 同理AO·AC= |AC|·|AC|= , 2 2 → → 9 5 故AO·BC= -2= . 2 2 答案 5 2 → →

6.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,D,E 分别为 AB,BC 的 → → → → → → → → → → → → → → → → 中点,且AB·CD=BC·AE,则 a2,b2,c2 成________数列. 解析 由AB·CD=BC·AE,得(CB-CA)·(CB+CA)=(AC-AB)·(AC+AB),

→ → → → 即CB2-CA2=AC2-AB2,所以 a2-b2=b2-c2,所以 a2,b2,c2 成等差数列. 答案 等差 → 那么 c=________. → → → → 解析 由题知AB·AC+BA·BC=2, → → → → → → → 即AB·AC-AB·BC=AB·(AC+CB) → → 2 =AB =2?c=|AB|= 2. 答案 2 → → → 7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若AB·AC=BA·BC=1,

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,-1),B(-3,-4)两点,若点 C 在∠ → AOB 的平分线上,且|OC | = 10,则点 C 的坐标是________. → 解析 设 C(x, ), x2+y2=10, C 在∠AOB 平分线上, y 则 且 → → → = → → → → ,

OA·OC

OC·OB
|OC||OB|

|OA||OC| ∴ -y -3x-4y = ,推出 y=3x. 10 5 10

给合点的位置关系,取 x=-1,y=-3,即(-1,-3). 答案 (-1,-3) → → 9.已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,则PA·PB

的最小值为________. → → 解析 设|PA|=|PB|=t,∠APB=θ ,

θ t t2-1 则 cos = ,cos θ = 2 , 2 t +1 1+t2 → → t2-1 t4-t2 2 PA·PB=t · 2 = 2 t +1 t +1 =t2+1+ 2 -3≥2 2-3. t +1
2

当且仅当 t2+1= 2, 即 t2= 2-1 时等号成立, → → 所以PA·PB的最小值为 2 2-3. 答案 2 2-3 → → → 1? ? 1, ?,ON=(0,1),O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足 0≤OP·OM 10.设OM=? 2? ? → → ≤1,0≤OP·ON≤1,则 z=y-x 的最小值是________. →

解析

?0≤x+1y≤1, 2 因为? ?0≤y≤1,

所以可行域如图所示,所以当直线 y-x=z 经

过点 A(1,0)时,zmin=-1.

答案 -1 11.在△ABC 中,C= π ,AC=1,BC=2,则 f(λ )=|2λ →+(1-λ )→|的最小 CA CB 2

值是________. 解析 如图,以 C 为原点,CA,CB 所在直线为 y 轴,x 轴建立直角坐标系,所以 →=(0,1),→=(2,0), CA CB 故 2λ →+(1-λ )→=(0,2λ )+(2-2λ ,0)=(2-2λ ,2λ ), CA CB 1? 1 ? 所以 f(λ )=2 2λ 2-2λ +1=2 2?λ - ?2+ , 2? 2 ?

1 故最小值为 2,在 λ = 时取得. 2

答案

2

12.下列命题中:①若|a·b|=|a|·|b|,则 a∥b;②a=(-1,1)在 b=(3,4) → → 1 方向上的投影为 ;③若△ABC 中,a=5,b=8,c=7,则BC·CA=20;④若非 5 零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.真命题的序号是________. 解析 ①由|a·b|=|a|·|b||cos θ |=|a||b|,cos θ =±1,θ =0 或 π , 所以 a∥b,①正确. ②a 在 b 上的投影为

a·b 1 = ,②正确. |b| 5

→ → 1 1 ③BC·CA=-abcos C=- (a2+b2-c2)=- (52+82-72)=-20,③不正确. 2 2 ④由|a+b|=|b|,得(a+b)2=b2,即 a2+2a·b=0,所以 a2+4a·b=2a·b= -a <0,所以 4b >a +4a·b+4b =(a+2b) ,即|2b|>|a+2b|,即④正确. 答案 ①②④ 13.直线 l 与函数 y=sin x(x∈[0,π ])的图象相切于点 A,且 l∥OP,O 为坐 标原点,P 为图象的极值点,l 与 x 轴交于 B 点,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足 → 为 C,则BA·BC=________. ?π ? 解析 由条件,P 为? ,1?,设切点 A(x0,y0),即 A(x0,sin x0),直线 OP 斜率 ?2 ? 2 2 为 ,切线斜率为(sin x)′|x=x0=cos x0= , π π ∴切线方程为:y-sin x0= 令 y=0,x=x0- 2 (x-x0), π
2 2 2 2 2

π sin x0 ? π sin x0 ? ,0?,C 为(x0,0), ,从而 B?x0- 2 2 ? ?

→ → ?π ? ?π ? 从而BA=? sin x0,sin x0?,BC=? sin x0,0?. ?2 ? ?2 ?

→ → 2 2 2 4? π2 π π π ? 2 2 ?1- 2?= -1. 则BA·BC= sin x0= (1-cos x0)= π ? 4 4 4 4? 答案 π2 -1 4

二、解答题 14.已知在锐角△ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,定义向量 ? ? 2B m=(sin B,- 3),n=?cos 2B,4cos -2?,且 m∥n. ? 2 ? (1)求函数 f(x)=sin 2xcos B-cos 2xsin B 的单调递减区间; (2)若 b=1,求△ABC 的面积的最大值. ? ? 2B 解析 (1)因为 m∥n,所以?4cos -2?sin B+ 3cos 2B=2sin B cos B+ 3cos 2 ? ? π? ? 2B=sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+ ?=0, 3? ? 所以 B= π . 3

π? ? 所以 f(x)=sin(2x-B)=sin?2x- ?. 3? ? 于是由 2kπ + π π 3π ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2

5 11 ? ? 得函数 f(x)的单调递减区间为?kπ + π ,kπ + π ?,k∈Z. 12 12 ? ? (2)当 b=1 时,由余弦定理,得 1=a2+c2-2accos π =a2+c2-ac≥ac, 3

1 π 3 3 所以 S△ABC= acsin ≤ ,当且仅当 a=c=1 时等号成立,所以(S△ABC)max= . 2 3 4 4

x ? x ? 15.已知向量 m=(2cos ,1),n=?sin ,1?(x∈R),设函数 f(x)=m·n-1. 2 ? 2 ?
(1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= 求 f(A+B)的值. 5 3 ,f(B)= , 13 5

x ? ? x ? ? 解析 (1)f(x)=m·n-1=?2cos ,1?·?sin ,1?-1 2 ? ? 2 ? ?
=2cos sin +1-1=sin x. 2 2 因为 x∈R,所以函数 f(x)的值域为[-1,1]. (2)因为 f(A)= 5 3 5 3 ,f(B)= ,所以 sin A= ,sin B= . 13 5 13 5

x

x

因为 A,B 都是锐角, 所以 cos A= 1-sin2A= 12 4 ,cos B= 1-sin2B= , 13 5

故 f(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 5 4 12 3 56 56 = × + × = ,即 f(A+B)的值为 . 13 5 13 5 65 65 → → → → 16. 在△ABC 中, A, , 所对的边分别为 a, , , 角 B C b c 且(2a+c)·BC·BA+cCA·CB =0. (1)求角 B 的大小; → → → → → → (2)若 b=2 3,试求AB·CB的最小值. 解析 (1)因为(2a+c)BC·BA+cCA·CB=0, 所以(2a+c)accos B+abccos C=0, 即(2a+c)cos B+bcos C=0, 所以(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0, 即 2sin Acos B+sin(B+C)=0, 因为 sin(B+C)=sin A≠0, 1 2π 所以 cos B=- ,所以 B= . 2 3 (2)因为 b2=a2+c2-2accos 2π ,所以 12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4,所以 3

→ → → → 2π 1 AB·CB=accos =- ac≥-2,当且仅当 a=c=2 时等号成立,所以AB·CB的 3 2 最小值为-2.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → → → → → → → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)·OC=0,求 t 的值. 解析 (1)由题设知AB=(3,5),AC(-1,1)则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4), 所以|AB+AC|=2 10, → → |AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2,2 10. → → → → 11 . 5 → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). 由(AB-tOC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 即 5t=-11,所以 t=- →

→ → 18.已知向量OA=(2,0),OC=AB=(0,1),动点 M 到定直线 y=1 的距离等于 d, → → → → 并且满足OM·AM=k(CM·BM-d2),其中 O 为坐标原点,k 为参数. (1)求动点 M 的轨迹方程,并判断曲线类型. → → 1 (2)当 k= 时,求|OM+2AM|的最大值和最小值. 2 → → 解析 (1)设 M(x,y),则由OA=(2,0),OC=AB=(0,1)且 O 为原点得,A(2,0), →

B(2,1),C(0,1).
→ → → → 从而OM=(x,y),AM=(x-2,y),CM=(x,y-1),BM=(x-2,y-1),d=|y → → → → -1|,代入OM·AM=k(CM·BM-d2), 得(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0 为所求的轨迹方程. 当 k=1 时,所求轨迹是一条直线 y=0;当 k≠1 时,(x-1)2+

y2
1-k

=1,

若 k=0,则为圆;若 0<k<1 或 k<0,则为椭圆;若 k>1,则为双曲线. 1 (2)由(1)知当 k= 时,点 M 的轨迹方程为(x-1)2+2y2=1, 2 则 0≤x≤2, → → 9 9 + - ? 2 2 ∴|OM+2AM|= = ? = 3x-4?
2

+9y2= ?

3x-4?

2

x-1?

2

9 2 x -15x+16= 2

5? 7 9? ?x- ?2+ , 3? 2 2? 7 14 = ; 2 2

→ → 5 ∴当 x= 时,|OM+2AM|min= 3 → →

当 x=0 时,|OM+2AM|max= 16=4.


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