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2014届高考一轮复习数学9.1直线的方程


第九章

平面解析几何

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第 1 讲 直线的方程

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考纲展示
1.在平面直角坐标系中,结合 具体图形, 掌握确定直线位置 的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率 的概念,掌握过两点的直线斜 率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何 要素, 掌握直线方程的三种形 式(点斜式 、两 点式及 一般 式)了解斜截式与一次函数的 , 关系.

考纲解读

直线方程在近几年高考中多以中低档题出现,主 要考查基础知识和基本方法,对直线倾斜角和斜 率的考查, 主要考查倾斜角与斜率的关系, 考查直 线斜率的几何意义,而直线方程, 主要考查用定义 法和待定系数法求方程.

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1.数轴上的基本公式 设 是数轴上的任一向量,O 是原点,点 A 的坐标为 x1,点 B 的坐标为 x2,则

(1) =x2-x1;(2)d(A,B)=|x2-x1|. 2.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角; ②当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0° ; ③直线倾斜角 α 的取值范围为[0° ,180° ).
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(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α(α≠90° )的正切值叫做这条直线的斜率,斜 率常用小写字母 k 表示,即 k=tan α,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=
2 - 1 . 2 -1

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3.直线方程的形式及适用条件
名称 点斜式 斜截式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 局限性 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线

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续表 名称 两点 式 截距 式 一般 式 几何条件 过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) 在 x 轴 、y 轴上的 截距分 别为 a,b(a,b≠0) 方程

y-y1 y2 -y1 x-x1 = x2 -x1

局限性 不包括 垂直于 坐标 轴的直线 不包括 垂直于 坐标 轴和过原点的直线

x y + =1 a b

Ax+By+C=0 (A,B 不 全 为 0)

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4.线段的中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 = (x,y),则 =
1 +2 2 1+ 2 2

, 此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. ,

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1.直线 x=-1 的倾斜角等于( A.0° C.135° 【答案】B B.90° D.不存在

)

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2.已知两点 A(-3, 3),B( 3,-1),则直线 AB 的斜率是 ( A. 3 【答案】D B.- 3 C.
3 3

)

D.-

3 3

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3.(2012·浙江温州模拟)过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是 135° y ,则 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 【答案】D 【解析】∵ AB= k
-(-3) 4-2

=

+3 2

=tan 135° =-1,∴ y=-5.

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4.已知一直线的倾斜角是 60° y 轴上的截距是 5,则该直线的方程 ,在 为 . 【答案】 y= 3x+5 【解析】 因为直线的倾斜角是 60° ,所以直线的斜率为 k=tan 60° 3.又因为 = 直线在 y 轴上的截距是 5,由斜截式得直线的方程为 y= 3x+5.

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5.过点 M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程 为 . 【答案】 y=- x 或 x-y-7=0 【解析】(1)当直线过原点时,直线方程为 y=- x;
3 4 4 3

(2)当直线不过原点时,设直线方程为 + =1, 即 x-y=a,∵ M(3,-4)在直线 x-y=a 上, 点 ∴ 3-(-4)=a,a=7,即直线方程为 x-y-7=0.



-

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T 题型一直 线的倾斜角与斜率
例 1 直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有 公共点,求直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围.

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【解】据题意在平面直角坐标系中作出图象. 如图,∵ AP= k k BP=
0- 3 =1-0 1-0 =1, 2-1

3,

∴ k∈(-∞,- 3]∪[1,+∞). ∴ 的取值范围为[45° α ,120° ].
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本题极易得出 k∈[- 3,1].数形结合则可以避免这种错误.当 α∈[0° )时,k∈[0,+∞);当 α∈(90° ,90° ,180° )时,k∈(-∞,0).讨论中要注意垂直 于 x 轴的直线.

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1.(2012·江苏南京模拟)已知直线 l 经过点 P(1,1),且与线段 MN 相交, 又 M(2,-3),N(-3,-2),则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 . 【答案】(-∞,-4]∪ , + ∞
3 4

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【解析】如图,

直线 PM 的斜率 kPM=

1-(-3) 1-2

=-4,直线 PN 的斜率 kPN=

1-(-2) 1-(-3)

= .
4

3

显然斜率为 0(与 x 轴平行的直线)不合题意,而倾斜角为直角(即与 x 轴 垂直的直线)符合题意, 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,-4]∪ , + ∞ .
4 3

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T 题型二直 线的方程
例 2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ;
4 1

(3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于点 B 且 AB=5. 选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可.

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【解】(1)方法一:设直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 从而 l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, ∵ 过点(3,2),∴ + =1, l ∴ a=5,即 l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.
3 2 2 3

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方法二:由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k, 由已知 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , 从而直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.
2 3 2 2 3 2

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(2)设所求直线的斜率为 k, 依题意 k=- ×3=- .
4 4 1 3

又直线经过点 A(-1,-3), 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1),
4 3

即 3x+4y+15=0.

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(3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. = 1, 解方程组 2 + -6 = 0, 求得点 B 坐标为(1,4),此时 AB=5, 即 x=1 为所求. 设过点 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1), 解方程组 2 + -6 = 0, + 1 = (-1), = =
+7 +2 (k≠-2,否则与已知直线平行). 4-2 +2

得两直线交点为

,

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则 B 点坐标为 由已知
+7 +2 3 4

+7 4-2 , +2 +2
2

.
2

-1

+
3 4

4-2 +2

+ 1 =52,

解得 k=- ,∴ y+1=- (x-1), 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

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在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种 形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不 能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的 直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采 用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.

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2.△ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边上的垂直平分线 DE 的方程.

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【解】(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 边所 在直线的方程为
-1 3-1

=

-2 ,即 -2-2

x+2y-4=0.

(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y),则 x=
2-2 1+3 =0,y= =2. 2 2

BC 边上的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线
的方程为 + =1,即 -3 2

2x-3y+6=0.
1 2

(3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由斜截式得 直线 DE 的方程为 y=2x+2.
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T 题型三直 线方程的应用
例 3 如图,过点 P(2,1)作直线 l,分别交 x 轴、y 轴正半轴于 A,B 两点.

当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程.

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【解】 方法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 A 2- ,0 ,B(0,1-2k), 从而 S △AOB=
1 2 1 2

1

21

1

(1-2k)=2+

1 2

-4-

1

≥2+ ·2 (-4) -

=4,
1 2

当且仅当-4k=- ,即 k=± 时取等号.
1 ∵ k<0,∴ . k=2

1

故所求直线方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0.

1 2

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方法二:设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则由题可知 + =1,即


2

1

有2

2 ≤1,整理得 ab≥8.

又△AOB 的面积为 ab,所以△AOB 面积的最小值为 4,当且仅当 = 时取等号.所以 a=4,b=2.
4

1 2

2

1

故所求直线方程为 + =1.

2

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1.利用直线方程解决问题时,选择适当的直线方程形式,可以简化 运算. (1)已知一点,通常选择点斜式. (2)已知斜率,选用斜截式. (3)已知截距或两点选用截距式或两点式.如求直线与坐标轴围成的 三角形面积或周长问题时,设直线的斜截式或截距式比较方便. 2.在利用方程解决实际问题的过程中,要善于将所求的量,用坐标表 示,然后通过坐标满足的方程进行消元,最终将目标表示为 x 的函数,再利 用求函数最值的方法来解决问题.

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3.已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a 2y=2a 2+4(0<a<2)与两坐标轴的正半 轴围成四边形,当 a 为何值时,围成的四边形面积最小,并求最小值.

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【解】两直线 l 1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a 2(y-2)都过点(2,2),如图.

设两直线 l1,l2 的交点为 C,且它们的斜率分别为 k1 和 k 2,则 k 1= ∈(0,1),k 2= 2 2 2

∈ -∞,-

1 2

.

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∵ 直线 l 1 与 y 轴的交点 A 的坐标为(0,2-a),直线 l2 与 x 轴的交点 B 的坐标为 (2+a 2,0),∴ 四边形 S
1 1 =S△OAC+S △OCB= (2-a)·2+ (2+a 2)·2=a 2-a+4= OACB 2 2 1 故当 a= 时,四边形 2 1 2 2

+

15 . 4

15 OACB 的面积最小,其最小值为 . 4

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思想方法
分类讨论思想在解斜率问题中的运用
例在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB,AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合.将矩形折叠,使 A 点 落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程. (1)题目已告诉直线斜率为 k,即斜率存在.(2)从题意上看,斜 率 k 可以为 0,也可以不为 0,所以要分类讨论.

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【解】 (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y= . (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1), 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,
1 有 kAG·k=-1,即 k=-1?a=-k.

1 2

故 G点坐标为 G(-k,1),从而折痕所在的直线与 AG的交点坐标(线段 AG 的中点)为 M - ,
1 2 2

.

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折痕所在直线的方程为 y- =k +
2 2 1 即 y=kx+ + . 2 2

1

2

,

故 k=0 时,折痕所在直线的方程为 y= ,k≠0 时,折痕所在直线的方程为
2 1 y=kx+ + . 2 2

1 2

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(1)求直线方程时,要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为 零以及相关位置关系进行分类讨论. (2)本题是对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论.易错点是忽略 k=0 的 情况.

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1.(2012·河北秦皇岛模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是(

)

A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

【答案】D 【解析】由直线的方程得直线的斜率为 k=- ,设倾斜角为 α,则 tan α=- ,
3 3 3 3

所以 α= .
6



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2.若 A(-2,3),B(3,-2),C

1 ,m 2

三点共线,则 m 的值为 ( )

A.

1 2

B.-

1 2

C.-2

D.2

【答案】A 【解析】由 kAB=k BC,即
-2-3 3+2

=

+2
1 -3 2

,得 m= ,选 A.
2

1

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3.直线 x-2cos αy+3=0 ∈ A. , C. ,
4 π π 6 4 π 2π 3

π π 6 3

,

的倾斜角的变化范围是(

)

B. ,

π π 6 3 π π 4 3

D. ,

【答案】A

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【解析】直线 x-2cos αy+3=0 的斜率 k= ∵ α∈ , ,∴ ≤cos α≤ .
6 3 2 2 1 2cos π π 1 3

1 , 2cos

故 k=



3 ,1 3

.
3 ,1 3

设直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ∈ 由于 θ∈[0,π),∴ θ∈
π π , 6 4

,

.

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4.经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 是 . 【答案】 x+2y+1=0 或 2x+5y=0 【解析】设直线在 x 轴上的截距为 2a,则其在 y 轴上的截距为 a,则直线经 过点(2a,0),(0,a). 当 a=0 时,直线的斜率 k=- ,此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0. 当 a≠0 时,则
2-0 -5-2 2 5 2 5

=

-0

0-2

,得 a=- ,此时,直线方程为 x+2y+1=0.

1 2

综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.

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