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江苏省如皋中学2013—2014期中考试数学模拟试题(含答案)

江苏省如皋中学 2013—2014 期中考试模拟试题 数 学 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分, ) 1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4?,集合 P ? ?1, 2? , Q ? ?2,3? ,则 P ? (?U Q) ? 2. 复数 3. “? ? 2013.11 . ? 5i 的实部是 1 ? 2i 6 ”是“ sin ? ? 1 ”的 2 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m, n 作为点 P 的横、 纵坐标, 则点 P 在直线 x ? y ? 5 上的概率为 5.如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中 从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,第 2 小组 的频数为 10 ,则抽取的学生人数是 . . 6.若样本 a1 , a2 , a3 的方差是 2,则样本 2a1 ? 3,2a2 ? 3,2a3 ? 3 的方差是 7.执行右边的程序框图,若 p ? 15 ,则输出的 n ? 8.已知函数 f ( x) ? ? . ?log 2 x( x ? 0) 1 , 则 f [ f ( )] 的值是 x 4 ? 3 ( x ? 0) . 9.等差数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? 4 , a9 ? a10 ? 36 , 则 S10 ? . ?2 x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 5 ? 0 ? 10.已知实数 x 、 y 满足 ? , x ? 0 ? ? ?y ? 0 1 x 1 y 则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 4 2 . ?s 11 . 设 向 量 a ? ( c o ? ? ,?s i, n b) ? (cos ? , sin ? ) , 其 中 0 ? ? ? ? ? ? , 若 . 1 ? ? ? ? | 2a ? b |?| a ? 2b | ,则 ? ? ? ? 12. 若函数 f ( x) ? 2 4 ? k ? 2 x 在 ? ??, 2 ? 上有意义,则实数 k 的取值范围是_ 2 ___. . 13.若函数 f ( x) ? x ? 2a x ? 4a ? 3 的零点有且只有一个,则实数 a ? 14.对于在区间[a,b]上有意义的两个函数 m( x)与n( x) ,如果对于区间[a,b]中的任意 x 均有 | m( x) ? n( x) |? 1,则称 m( x)与n( x) 在[a,b]上是“密切函数” , [a,b]称为“密 切区间” , 若函数 m( x) ? 则 b ? a 的最大值为 x 2 ? 3 x ? 4 与 n( x) ? 2 x ? 3 在区间[a,b]上是“密切函数” , . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?2sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1 2 ⑴求 f ( x) 的最小正周期及对称中心; ⑵若 x ? [? ? ? , ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3 16. (本题满分 14 分) 如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, OP ? x ? OA ? y ? OB. (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ,| OA |? 4 ,| OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60°时,求 OP ? AB (2)若 BP ? 3 的值。 ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 17.(本题满分 14 分) 已知集 A ? ? x ? 1? x ? ? 0 ? 合, B ? x x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 ? x?7 ? ? ? (1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 18. (本题满分 16 分) 扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑 到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于 ? 3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米) ,外周长(梯形的上底线段 )为 .......BC 与两腰长的和 ...... y (米). ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最 小)?求此时外周长的值. B C x 60? A D 3 19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . 3 2 ? ? ⑴求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数 c 的最小值; ⑶若过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设函数 f ? x ? ? ? 1 ? 2x ? 3 ? x ? 0 ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an

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