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高中数学311方程的根与函数的零点教学设计新人教A版必修1(数学教案)

“方程的根与函数的零点”教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系,让学生领会方程的根与函数 零点之间的联系,了解零点的概念. 2、以具体函数在某区间上存在零点的特点,探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件 以及个数,理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法. 二、过程与方法 1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。由二次 函数的图象与 x 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口, 探究方程的根与函数的零点 的关系,以探究的方法发现函数零点存在的条件。 2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律,渗透数形结合思想及转化思想以及函数与 方程的思想,培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力. 三、情感、态度、价值观 努力营造平等、民主的课堂气氛,以学生为主体,营造学习氛围,使学生产生热爱学习数学 的积极心理, 引导学生进行积极主动的学习, 培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中 体验数形结合思想,培养学生的辨证思维能力,以及分析问题解决问题的能力.从易到难,使学 生体会到学习数学的成功感,体验规律发现的快乐. 【教学重点】 1、体会函数的零点与方程根之间的联系; 2、掌握函数零点存在的判定方法. 【教学难点】 函数零点存在的判定方法及其运用. 【教学方式与手段】 电脑,多媒体,黑板. 【教学过程设计】 (一)设问激疑,引出新知 方程解法史话: 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中, 方程的求解是其中璀璨的 一座, 虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法, 但这一切却经历了相当漫长的岁 1 月.对于方程的求解问题,古今中外的数学家已经作了大量的工作,取得辉煌的成果,比如花拉 子米公元 825 年左右编辑著成了《代数学》 ,比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理;我 国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术” ,此法可以求出任意次代数方程的 正根;1824 年,挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。随着计算机技 术的发展,方程的数值解法得到了广泛的运用,如二分法,牛顿法、弦截法等,今天我们将沿着 前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法. 【设计意图:了解数学史,激发学生学习兴趣。 】 问题 1 求下列方程的根. (1) 3 x ? 2 ? 0 ; (2) x ? 5x ? 6 ? 0 ; 2 (3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0 . 问题 2 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,并 写出函数图象与 x 轴交点的坐标。 方 函 程 数 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 x 2 ? 2x ? 1 ? 0 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 y ? x 2 ? 2x ? 3 y ? x 2 ? 2x ? 1 y ? x 2 ? 2x ? 3 函 数 图 象 (简图) 方程的实数根 函数的图象与轴的交 点 提出疑问:方程的根与函数图象与 x 轴交点的横坐标之间有什么关系? 结论:方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标。 问 题 3 若 将 上 面 特 殊 的 一 元 二 次 方 程 推 广 到 一 般 的 一 元 二 次 方 程 x ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 及相应的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象与 轴交点的关系,上述结论是否仍然成立? 2 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 函数的图象 方 程 的 根 (简图) 图象与 x 轴 的交点 ??0 ??0 ??0 【设计意图:让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零 点的概念做准备。】 (二)总结归纳,形成概念 1、函数的零点: 对于函数 y=f(x) ,我们把使方程 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 辨析练习:函数 y ? x ? 2 x ? 3 的零点是: ( 2 ) C.x=3; D.-1 和 3. A. (-1,0) , (3,0) ; 问:零点是一个点吗? B.x=-1; 说明:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. ②求函数零点就是求方程 f(x)=0 的根. 【设计意图:及时矫正“零点是交点”这一误解. 】 2、你能说说方程的根、函数图象与 x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗? 等价关系:方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点 【设计意图:引导学生给出函数零点的定义,并引导学生仔细体会这段文字,感悟其中的思想方 法;通过引导,学生自己归纳出三者之间的关系,并且明确提出转化思想。】 3、归纳函数的零点与方程根的关系 3 函数的零点与方程的根有什么联系和区别? 联系: (1)数值上相等:求函数零点就是求方程的根. (2)存在性相同:函数 y=f(x)有零点 方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 区别:零点对于函数而言,根对于方程而言. 【设计意图:进一步理解零点的概念,灵活运用三者之间的关系。以上关系说明:函数与方程有 着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求 解,这正是函数与方程思想的基础.】 (三)初步运用,示例练习 例 1:求函数 f ( x ) ? lg( x ? 1) 的零点。 求函数零点的步骤: (1)令 f(x)=0; (2)解方程 f(x)=0; (3)写出零点 变式练习:求下列函数的零点。 (1) f ( x) ? x ? 5x ? 6 ; 2 (2) f ( x) ? 2 ? 1 x 【设计意图:让学生再次认识零点的概念,熟悉零点的求法(即求相应方程的实数根) . 】 (四)实例探究,发现定理

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