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2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(6)函数的奇偶性及其性质的综合应用A


课时作业(六)A

[第 6 讲 函数的奇偶性及其性质的综合应用] [时间:35 分钟 分值:80 分]

基础热身 1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 2. [2010· 山东卷] 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 3.已知函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(-3)<f(-1),则 下列不等式一定成立的是( ) A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) x 4.[2011· 辽宁卷] 若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ) ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 能力提升 5.[2011· 辽宁押题卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减.若 x1+x2>0,则 f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 1 6.[2011· 济南二模] 设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- ,且当 x∈[-3, f?x? -2]时,f(x)=4x,则 f(107.5)=( ) 1 1 A.10 B. C.-10 D.- 10 10 1? 7. [2011· 长春二调] 已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(-∞, 0]上是减函数, 且 f? ?2?=0, 则不等式 f(log2x)>0 的解集为( ) 2 A.?0, ?∪( 2,+∞) B.( 2,+∞) 2? ? 1? ? 1? C.? ?0,2?∪(2,+∞) D.?0,2? 3 8.若 x∈R,n∈N+,规定:Hn (-2)· (- x =x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如:H-3=(-3)· 7 1)=-6,则函数 f(x)=x· Hx-3( ) A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 9.[2011· 安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)= ________. 1 10 .已知函数 f(x) 满足: f(1) = , 4f(x)f(y) = f(x + y) +f(x - y)(x , y ∈R) ,则 f(2010) = 4 ________________________________________________________________________. 11. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, 且满足 f(x)+f(x-1)=1, 当 x∈[0,1]时, 有 f(x)=x2, 2 现有三个命题:①f(x)是以 2 为周期的函数;②当 x∈[1,2]时,f(x)=-x +2x;③f(x)是偶函 数. 其中正确命题的序号是________.

-x +2x,x>0, ? ? 12.(13 分)已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0

2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

难点突破 1 1? 13.(12 分)对任意实数 x,给定区间? ?k-2,k+2?(k∈Z),设函数 f(x)表示实数 x 与 x 的 给定区间内整数之差的绝对值. 1 1 - , ?时,求出函数 f(x)的解析式; (1)当 x∈? ? 2 2? 1 1? (2)当 x∈? ?k-2,k+2?(k∈Z)时,写出用绝对值符号表示的 f(x)的解析式,并说明理由; (3)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论.

课时作业(六)A 【基础热身】 1.B [解析] ∵函数 f(x)=ax2+bx 在[a-1,2a]上为偶函数,∴b=0,且 a-1+2a=0, 1 1 即 b=0,a= .∴a+b= . 3 3 2.D [解析] 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b =-1,所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故 选 D. 3.D [解析] 函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,因此 f(x)=f(|x|),于是 f(-3)=f(3),f(- 1)=f(1),则 f(3)<f(1).又 f(x)在[0,5]上是单调函数,从而函数 f(x)在[0,5]上是单调减函数, 观察选项,只有 D 正确. x 4.A [解析] 法一:由已知得 f(x)= 的定义域关于原点对称,由于该函数 ?2x+1??x-a? ? ? 1 1 x≠- 且x≠a ?,知 a= ,故选 A. 定义域为?x? 2 2 ? ? ? 法二:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), x 又 f(x)= 2 , 2x +?1-2a?x-a -x -x 1 则 2 = 在函数的定义域内恒成立,可得 a= . 2 2x -?1-2a?x-a 2x2+?1-2a?x-a 【能力提升】 5.A [解析] 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数.由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0, 故选择 A. 1 6.B [解析] 由 f(x+6)=- =f(x)知该函数为周期函数,周期为 6,所以 f(107.5) f?x+3? 1? ? 1? 1 1 1 ? 1? ?1? =f? ?6×18-2?=f?-2?,又 f(x)为偶函数,则 f?-2?=f?2?=- ? 5?=--10=10. f?-2? 1 7.A [解析] 作出函数 f(x)图象的示意图如图,则原不等式等价于 log2x> 或 log2x<- 2 1 2 ,解得 x> 2或 0<x< . 2 2

8.B [解析] f(x)=x(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)=x2(x2-1)(x2-4)(x2-9),∴ f(x)是偶函数. 9.-3 [解析] 法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴ f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x(x>0),∴f(1)=-2×12-1=-3. 1 10. 2 [解析] 依题意得 4f(1)f(0)=f(1)+f(1),

1 f(0)=2f(1)= ; 2 f(n+1)+f(n-1)=4f(n)f(1)=f(n), 所以 f(n+1)=f(n)-f(n-1),

记 an=f(n)(其中 n∈N*),则有 an+1=an-an-1(n≥2), an+2=an+1-an=-an-1,an+3=an+2-an+1=-an, an+6=-an+3=an, 故数列{an}的项以 6 为周期重复出现. 1 注意到 2010=6×335,因此有 a2010=f(0)= , 2 1 即 f(2010)= . 2 11.①② [解析] ①正确.∵f(x)+f(x-1)=1(*), ∴f(x+1)+f(x)=1(**), (**)-(*)得 f(x+1)-f(x-1)=0, ∴f(x+1)=f(x-1), 则 f(x+2)=f(x),∴f(x)是以 2 为周期的函数. ②正确.当 x∈[1,2]时,x-1∈[0,1], ∴f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2 (x∈[0,1]时,f(x)=x2) ③错误.当 x∈[-1,0]时,x+1∈[0,1]. ∴f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2, ∴f(x)=-x2-2x. 又∵-x∈[0,1],∴f(-x)=(-x)2=x2, ∴f(x)≠f(-x),f(x)不是偶函数. 12.[解答] (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, ?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图象(图略)知? ? ?a-2≤1, 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 【难点突破】 1 1? 13.[解答] (1)当 x∈? ?-2,2?时,0 为给定区间内的整数,故由定义知,f(x)=|x|,x∈ ?-1,1?. ? 2 2? 1 1? 1 1? (2)当 x∈? k 为给定区间内的整数, 故 f(x)=|x-k|, x∈? ?k-2,k+2?(k∈Z)时, ?k-2,k+2? (k∈Z). 1 1 (3)对任意 x∈R,函数 f(x)都存在,且存在 k∈Z,满足 k- ≤x≤k+ ,f(x)=|x-k|,由 2 2 1 1? 1 1 1 1 k- ≤x≤k+ ,得-k- ≤-x≤-k+ ,此时-k 是区间? ?-k-2,-k+2?内的整数,因 2 2 2 2 此 f(-x)=|-x-(-k)|=|-x+k|=|x-k|=f(x),即函数 f(x)为偶函数.


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