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数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(二))教师版






函数的性质--单调性(二)
1、 掌握函数单调性的概念,并能判断一些简单函数的单调性; 2、掌握函数单调性与函数图像的关系。 教学内容

教学目的

【知识梳理】
1.函数单调性的定义? 2.证明函数单调性的步骤是什么? 3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题; 5.抽象函数与函数单调性结合运用

【典型例题】
例 1.(1) 设函数f ( x) ? (2a ?1) x ? b是R上的减函数, 则 a 的范围为( A. a ? D )

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2

提示:2 a ? 1<0 时该函数是 R 上的减函数. (2)函数 y ? x2 ? bx ? c( x ?[0, ??) )是单调函数的充要条件是( A ) A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0

提示:考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象 (3)已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确的是( D ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

提示: a ? b ? 0 可转化为 a ? ?b 和 b ? ? a 在利用函数单调性可得. (4) 如下图是定义在闭区间上的函数 y ? f ( x) 的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5) 函数 y ?

x2 ? 2 x ? 3 的单调减区间是 (??, ?3]

提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.

例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3|

?? x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? 解:(1) y ? ? 2 ? ?? x ? 2 x ? 1 ( x ? 0)

??( x ? 1) 2 ? 2 ( x ? 0) ? 即y?? 2 ? ??( x ? 1) ? 2 ( x ? 0)
-1-

如图所示,单调增区间为 (??, ?1]和[0,1] ,单调减区间为 [?1,0]和[1, ??) (2)当 ? x2 ? 2x ? 3 ? 0, 得 ?1 ? x ? 3 ,函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ?1)2 ? 4 当 ? x2 ? 2x ? 3 ? 0, 得x ? ?1或x ? 3 ,函数 y ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 4
2 ? ??( x ? 1) ? 4 (?1 ? x ? 3) y ? 即 ? 2 ? ?( x ? 1) ? 4 ( x ? ?1或x ? 3)

如图所示,单调增区间为 [?1,1]和[3, ??] ,单调减区间为 (??, ?1]和[1,3]

(1) 例 3.根据函数单调性的定义,证明函数 证明:设 x1 , x2 ? R且x1 ? x2

(2) 在 上是减函数.

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1x2 ? x1 )
3 3 2 2

因为x1 ? x2

所以x2 ? x1 ? 0 ,且在 x1 与 x2 中至少有一个不为 0,
x2 2 3 2 ) ? x2 ? 0 , 所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 4

2 2 不妨设 x2 ? 0 ,那么 x2 ? x1 x2 ? x1 ? ( x1 ?

故 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数 变式练习:确定函数 f ( x) ?

ax ( ?1 ? x ? 1) 的单调性并证明你的结论。 x ?1
2

答案:a>0,则为单调递减,a<0,则为单调递增,证明步骤参照上述例题 例 4.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ;

(3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。 解:(1)取 m=0,n=

1 1 1 1 则 f ( ? 0) ? f ( ) f (0) ,因为 f ( ) ? 0 2 2 2 2

所以 f (0) ? 1

(2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 由条件可知 f (? x) ? o 又因为 1 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x) f (? x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ∴ x ? R 时,恒有 f ( x) ? 0

-2-

(3)设 x1 ? x2 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 )
= f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] 因为 x1 ? x2 所以 x2 ? x1 ? 0 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 即 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 又因为 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即该函数在 R 上是减函数. (4) 因为 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,所以 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 x ? x2 ) ? f (0) 所以 2 x ? x2 ? 0 ,所以 x的范围为x ? 2或x ? 0 变式练习:已知偶函数 f ( x)在[0,+?)上是增函数,求不等式 f (2x ? 5) ? f ( x2 ? 2) 的解集。 答案:x<-1 或 x>3

【课堂小练】
1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( D ). A. y ? ?3 x ? 2 B. y ?

3 x

C. y ? x 2 ? 4 x ? 5

D. y ? 3x2 ? 8x ?10

提示:根据函数的图象. 2.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( A ). A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1,1] C. (??, ?3) D. [?1, ??)

提示:注意函数的定义域. 3. f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 (??, 4] 上是减函数,则 a 的取值范围是( A ). A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3 提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点. 4.若函数 f ( x) 在区间[ a ,b]上具有单调性,且 f (a) f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间[ a ,b]上(D) A.至少有一个实数根 B.至多有一个实数根 C.没有实数根 D.必有唯一的实数根

提示:借助熟悉的函数图象可得. 5. 函数 y ? ? x2 ? 6 x ? 10 的单调增区间是__ (??, ?3] __,单调减区间___ [?3, ??) ___。 提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴. 6.若 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 3 当 x ? [?2, ??) 时是增函数,当 x ? (??, ?2] 时是减函数,则 f (1) ? 13 提示:由题可知二次函数的对称轴是 x ? ?2 可求出 m 的值. 7.已知 f ( x) 在定义域内是减函数,且 f ( x) >0,在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ②③ ① y ? a ? f ( x) (为常数) ;② y ? a ? f ( x) ( a 为常数) ;③ y ? 提示:借助复合函数的单调性.

1 ;④ y ? [ f ( x)]2 . f ( x)

-3-

8.函数 f ( x) ? a x ? loga ( x?1) 在[0,1] 上的最大和最小值的和为 a ,则 a = 提示: f ( x ) 是[0,1]上的增函数或减函数,故 f (0) ? f (1) ? a ,可求得 a =

1 2

1 2

9.设 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调增函数,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1 求: (1)f(1) ; (2)当 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 时 x 的取值范围. 解:(1) 令 x ? y ? 1 可得 f (1) ? 0 (2)又 2=1+1= f (3) ? f (3) ? f (9)

由 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,可得 f [ x( x ? 8)] ? f (9) 因为 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, 所以有 x ? 0 且 x ? 8 ? 0 且 x( x ? 8) ? 9 ,解得: 8 ? x ? 9 10.求证:函数 f ( x) ? x ? 证明:设 x1 ? x2 ?

a (a ? 0) 在 ( a , ??) 上是增函数. x

a则
x x ?a a a a ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? ( x1 ? x2 )( 1 2 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?
当 x1 ? x2 ?

a 时 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? a ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
a (a ? 0) 在 ( a , ??) 上是增函数. x

所以函数 f ( x) ? x ?

【课后练习】
1.下列四个函数:① y ? 的是( A )。 (A)① (B)④ (C)①、④ (D)①、②、④ 2.函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么( D ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定

x x ? 2 ,其中在 (-?,0) 上为减函数 ; ② y ? x2 ? x ; ③ y ? ?( x ? 1)2 ; ④ y ? x ?1 1? x

3. 已知函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ,实数 m 的取值范围为( B ) A. m>0 B. 0<m<

3 2

C. -1<m<3

D. ?

1 3 ?m? 2 2

4.已知 f ( x) ? ( x ? 2) 2 , x ? [?1,3] ,函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间为 [?2,1] 5.函数 y ? x ?

1 3 在 [1,2] 上的值域为 [0, ] x 2
ax ( a ≠0)在区间(-1,1)上的单调性。 x ?1
2

6.判断函数 f ( x) ?

-4-

解:设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax 2 a( x1 x 2 ? 1)( x 2 ? x1 ) ax1 - 2 = , 2 2 2 x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 x 2 ? 1)( x 2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

∵ x12 ? 1 ? 0 , x22 ? 1 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , ∴

>0,

∴ 当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在(-1, 1)上为减函数, 当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在(-1, 1)上为增函数. 7.作出函数 f ( x) ?| x2 ?1| ? x 的图象,并根据函数图象写出函数的单调区间. 解:当 x ? 1或x ? ?1 时, y ? x2 ? x ?1 ? ( x ? ) ?
2

1 2
2

5 4

y

当 ?1 ? x ? 1 时, y ? ? x ? x ? 1 ? ?( x _ ) ?
2

1 2

5 4
-1 01 2 1 x

由函数图象可以知道函数增区间为 ( ??, ?1],[ ,1] 函数减区间为 [ ?1, ],[1, ?? )

1 2

1 2

8.设 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, f (2) ? 1 , 且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , 求满足不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围. 解:由题意可知: f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x2 ? 3x) 又 2 ? 2 f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (4) , 于是不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 可化为 f ( x2 ? 3x) ? f (4) 因为函数在 (0, ??) 上为增函数,所以不等式可转化为:

,解得: 3 ? x ? 4

所以 x 的取值范围是 (3, 4] .

-5-


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