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2018高中数学人教a版选修2-3教学案:2.2.3 独立重复试验与二项分布 含解析

2.2.3 独立重复试验与二项分布 预习课本 P56~57,思考并完成以下问题 1.独立重复试验及二项分布的定义分别是什么? 2.两点分布与二项分布之间有怎样的关系? [新知初探] 1.独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 2.二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 k pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量 X 服从二项分布, P(X=k)=Cn 记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率. [点睛] 两点分布与二项分布的区别 二项分布 在每次试验中只有两个结果,这两 区 别 只要两个结果,这两个结果是对立 个结果是对立的,即要么发生,要 的,即要么发生,要么不发生 么不发生.但在 n 次独立重复试验 中共有 n+1 个结果 两点分布 [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的.( ) ) (2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果.( (3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的.( 答案:(1)√ (2)√ (3)× ) ? 1? ? ? 2.已知 X~B?6, ?,则 P(X=4)=________. 3? ? 答案: 20 243 3.连续掷一枚硬币 5 次, 恰好有 3 次出现正面向上的概率是________. 答案: 5 16 4.某人射击一次击中目标的概率为 0.6, 经过 3 次射击, 此人至少有两 次击中目标的概率为________. 答案:0.648 独立重复试验概率 的求法 [典例] 概率. [ 解] 某人射击 5 次,每次中靶的概率均为 0.9,求他至少有 2 次中靶的 [法一 直接法] 2×0.92×0.13; 在 5 次射击中恰好有 2 次中靶的概率为 C5 3×0.93×0.12; 在 5 次射击中恰好有 3 次中靶的概率为 C5 4×0.94×0.1; 在 5 次射击中恰好有 4 次中靶的概率为 C5 5×0.95. 在 5 次射击中 5 次均中靶的概率为 C5 所以至少有 2 次中靶的概率为 C2 5×0.92×0.13+C3 5×0.93×0.12+C4 5×0.94×0.1+C5 5×0.95 =0.008 1+0.072 9+0.328 05+0.590 49=0.999 54. [法二 间接法] 至少有 2 次中靶的对立事件是至多有 1 次中靶,它包括恰好有 1 次中靶与 全没有中靶两种情况,显然这是两个互斥事件. 1×0.9×0.14; 在 5 次射击中恰好有 1 次中靶的概率为 C5 在 5 次射击中全没有中靶的概率为 0.15, 所以至少有 2 次中靶的概率为 1-C1 5×0.9×0.14-0.15=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54. 独立重复试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及 对立事件的概率公式. (2)运用独立重复试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是 否为 n 次独立重复试验, 判断时注意各次试验之间是相互独立的, 并且每次试验 的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的 概率都相等,然后用相关公式求概率. [活学活用] 3 某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 ,且每次射击的结 5 果互不影响,已知射手射击了 5 次,求: (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率; (2)其中恰有 3 次击中目标的概率; (3)其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的概率. 解:(1)该射手射击了 5 次,其中只在第一、三、五次击中目标,是在确定 的情况下击中目标 3 次, 也就是在第二、 四次没有击中目标, 所以只有一种情况, 又因为各次射击的结果互不影响,故所求概率为 ? ? 3? 3? ? ? 3 ? ? 3 108 P= ×?1- ?× ×?1- ?× = . 5? 5 ? 5? 5 3 125 5 ? 3 (2)该射手射击了 5 次,其中恰有 3 次击中目标.根据排列组合知识,5 次 当中选 3 次,共有 C3 5种情况,因为各次射击的结果互不影响,所以符合 n 次独 立重复试验概率模型.故所求概率为 ? P=C3 5×? ?3? ? 3? ?3 ? ?2 216 1 - × = . ? ? 5? ?5? ? ? 625 (3)该射手射击了 5 次,其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中 目标,应用排列组合知识,把 3 次连续击中目标看成一个整体可得共有 C1 3种情 况. 故所求概率为 ? P=C1 3· ? ?3? ? 3? ?3 ? ?2 324 1 - · = . ? ? 5? ?5? ? ? 3 125 二项分布问题 [典例] 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为 1 3 ,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒 种子,如果某次没有发芽,则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了 3 次试验,记该小组试验成功的次数为 X,求 X 的概率分 布列. (2)第二小组进行试验,到成功了 4 次为止,求在第 4 次成功之前共有 3 次 失败的概率. [ 解] (1)由题意,随机变量 X 可能取值为 0,1,2,3, ? 1? ? ? 则 X~B?3, ?. 3? ? 即 ? P(X=0)=C0 3? ?1? ? 1? ?0? ?3 8 1 - = , ?? 3? ?3? ? ? 27 ? P(X=1)=C1 3? ? P(X=2)=C2 3? ? P(X=3)=C3 3? ?1? ? 1? ?1? ?2 4