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2014届上海市奉贤区高三二模数学试卷(文科)及答案


2013—2014 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(文科)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分)
一. 填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 1-14 题每个空格填对得 4 分) 1、函数 f ?x? ? lg 2 x ? 4 的定义域为________.
? 2、设 z ? a ? i ( a ? R , i 是虚数单位) ,满足

2014.4

?

?

2 ? 2 ,则 a ? ________. z
2 n n ??

3、如果函数 f ( x) ? loga x 的图像过点 P? , 1? ,则 lim( a ? a ? ??? ? a ) ? ________. 4、 执行如图所示的程序框图, 输出的 S 的值为________. 5、若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标准方程是 ________. 开 始 S=0,n=1 否

?1 ? ?2 ?

n ? 2014
6、在 ( x ? 1) 的二项展开式中,按 x 的降幂排列,只有
n

是 S

输出 S 结 束

第 5 项的系数最大,则各项的二项式系数之和为 ________(答案用数值表示). 7、 将外形和质地一样的 4 个红球和 6 个白球放入同一个 袋中,将它们充分混合后,现从中取出 4 个球,取出一 个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,若取出 4 个球总 分不少于 5 分,则有________种不同的取法.

=S+sin

n? 3

n=n+1
第 4 题图

8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为________.

? x ? y ? 2, ? 9、设实数 x , y 满足 ?2 x ? y ? 4, 则 x ? 2 y 的最大值等于________. ? y ? 4, ?
10、 将函数 f ( x) ?

3 cos x 的图像向左平移 m 个单位 (m ? 0) , 若所得图像对应的函数为偶函数, 1 sin x

则 m 的最小值是________.

11、已知抛物线 y 2 ? 20 x 焦点 F 恰好是双曲线 双曲线的渐近线方程为________.

15 x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且双曲线过点 ( , 3) ,则该 2 4 a b

? x ? 1, 1 ? x ? 2, 12、定义在 (0, ?? ) 上的函数 f ( x ) 满足:①当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ? ② f (3x ) ? 3 f ( x ) , ?3 ? x, 2 ? x ? 3, 设关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 的零点从小到大依次记为 x1 , x2 , x3 , ??? , 则 x1 ?x2 ?x3 ? ________.

13、已知 ?an ? 是首项为 a ,公差为 1 的等差数列, bn ? 立,则实数 a 的取值范围是________.

1 ? an * ,若对任意的 n ? N ,都有 bn ? b8 成 an

14、以 ?0, m? 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1 ,其所有元素和为 a1 ;

以 0, m 2 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成不属于集合 A1 的分数集合 A2 ,其所有
2

元素和为 a2 ;……,依次类推以 0, m n 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成不属于
n

?

?

?

?

A1 , A2 , ???, An?1 的分数集合 An ,其所有元素和为 an ;则 a1 ? a2 ? ??? ? an =________.
二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、三角形 ABC 中,设 AB ? a, BC ? b ,若 a ? a ? b ? 0 ,则三角形 ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 ) D.无法确定

?

?

)

16、设数列 {an } ,以下说法正确的是(
*

A.若 an 2 =4n , n ? N ,则 {an } 为等比数列
2 B.若 an ? an?2 ? an ?1 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

C.若 am ? an ? 2m?n , m, n ? N * ,则 {an } 为等比数列 D.若 an ? an ?3 ? an ?1 ? an ?2 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

17、下列命题正确的是(
A.若 x C.若 a

)

? k? , k ? Z ,则 sin 2 x ?

4 ?4 sin 2 x

B.若 a ? 0, 则 a ?

? 0, b ? 0 ,则 lg a ? lg b ? 2 lg a ? lg b

4 ? ?4 a b a D.若 a ? 0, b ? 0 ,则 ? ? 2 a b


18、已知 ? , ? ? R ,且设 p : ? ? A.充分必要条件 C.必要不充分条件

? ,设 q : ? ? sin ? cos ? ? ? ? sin ? ? cos ? ,则 p 是 q 的(
B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19 、 如 图 , 在 直 三 棱 柱 A B ? 中 , AC ? 3 , C 1 A 1 B 1 C

BC ? 4 , AB ? 5 ,点 D 是 AB 的中点.四面体 B1 ? BCD 的体积是 2 ,求异面直线 DB1 与 CC1 所成的角.

C1 B1 A1

C A D

B

(文 19 题图)

20、已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

9 ? a , x ? [1, 6] , a ? R . x (1)若 a ? 1 ,试判断并用定义证明函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 a ? ?1,3? 时,求函数 f ( x ) 的最大值的表达式 M (a) .

21、某人沿一条折线段组成的小路前进,从 A 到 B ,方位角(从正北方向顺时针转到 AB 方向所成 的角)是 50 ,距离是 3km;从 B 到 C ,方位角是 110°,距离是 3km;从 C 到 D ,方位角是 140°, 距离是( 9 ? 3 3 )km. 试画出大致示意图,并计算出从 A 到 D 的方位角和距离(结果保留根号).
0

4 22、如图,已知平面内一动点 A 到两个定点 F 1 、 F2 的距离之和为 ,线段 F 1 F2 的长为 2 3 .
(1)求动点 A 的轨迹 ? 的方程;

A 、C 两点,且点 (2)过点 F 1 作直线 l 与轨迹 ? 交于 A 在线段 F1F2 的上方,
线段 AC 的垂直平分线为 m . ①求 ?AF1 F2 的面积的最大值; ②轨迹 ? 上是否存在除 A 、 C 外的两点 S 、T 关于直 线 m 对称,请说明理由.

A

F1

F2

C

m

23、 若函数 f ( x) 满足: 集合 A ? { f (n) | n ? N*} 中至少存在三个不同的数构成等比数列, 则称函数 f ( x) 是等比源函数. (1)判断下列函数:① y ? x 2 ;② y ? lg x 中,哪些是等比源函数?(不需证明) (2)证明:函数 g ( x) ? 2 x ? 3 是等比源函数; (3)判断函数 f ( x) ? 2x ? 1 是否为等比源函数,并证明你的结论.

2013—2014 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(文科)
参考答案
一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1. (文) x x ? 2 2014.4

?

?

2. 1

3. 1

4.

3 2

5. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

6. 256

7.

3 ? 3
4 x 3
12. (文)14

8. 195

9. y ? ? 11.

10. (文) 2

2 ? (文) 3

13. (文) (?8, ?7)

mn ? 1 14. 2

二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15. (文)B 16. C 17. D 18. A

三、解答题

19、 (文) 【解】直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中 CC1 / / BB 1 所以 ?DB1B 为异面直线 DB1 与 CC1 所成的角(或其补角) 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中 3分

1 1 1 3 VB1 ? BCD ? S?BCD ? B1 B ? ? ? 4 ? B1 B ? 2 得 B1B ? 2 3 3 2 2 5 C 由点 D 是 AB 的中点得 DB ? 2 A 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中 B 1 B ? BD 5 C BD 2 5 A D ? ? Rt ?B1BD 中 tan ?DB1 B ? B1 B 2 4 (文 19 题图) 5 4 41 ) 所以 ?DB1 B ? arctan (或 ?DB1 B ? arccos 4 41 5 4 41 ) 所以异面直线 DB1 与 BC1 所成的角为 arctan (或 arccos 4 41 20、 【解】 (1)判断:若 a ? 1 ,函数 f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数. 9 证明:当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? , x f ( x) 在 [1, 6] 上是增函数. 在区间 [1, 6] 上任取 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 ,
1 1

7分

B1

B

12 分

2分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ?

9 9 9 9 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x1 x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 9) ?0 x1 x2 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数.
9 ? 2a ? ( x ? ),1 ? x ? a, ? ? x (2) (理)因为 1 ? a ? 3 ,所以 f ( x) ? ? ?x ? 9 , a ? x ? 6, ? x ? 当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数, 证明:当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数(过程略) f ( x) 在在 [a, 6] 上也是增函数 当 1 ? a ? 3 时, y ? f ?x ? x ? ?1,6? 上是增函数 所以任意一个 x ? ?1,6? ,均能找到唯一的 y 和它对应, 所以 y ? f ?x ? x ? ?1,6? 时, f ( x ) 存在反函数 9 ? 2a ? ( x ? ),1 ? x ? a, ? ? x (2) (文)因为 1 ? a ? 3 ,所以 f ( x) ? ? 9 ?x ? , a ? x ? 6, ? x ? 当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数, 证明:当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数(过程略) f ( x) 在在 [a, 6] 上也是增函数 当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数

6分

8分

9分 11 分 12 分 14 分

8分

9分 11 分 12 分

证明:当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数(过程略) 所以当 x ? 6 时, f ( x ) 取得最大值为

13 分 14 分

9 ; 2

21、 【解】示意图,如图所示,

4分

连接 AC,在△ABC 中,∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又 AB=BC=3,∴∠BAC=∠BCA=30° 由余弦定理可得 AC ?

AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos120? ? 3 3

7分

在△ACD 中,∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=3 3 +9. 由余弦定理得 AD=
2

AC2 ? CD2 ? 2 AC ? CD cos120?
1 2
9( 2 ? 6 ) (km). 2
10 分

= 27 ? (3 3 ? 9) ? 2 ? 3 3 ? (3 3 ? 9) ? (? ) =

3 3 3 ?9 ? CD ? sin ? ACD 2 ? 2 由正弦定理得 sin∠CAD= sin ?CAD ? ? AD 2 9 2? 6 2

?

?

?

?

12 分

∴∠CAD=45°,于是 AD 的方位角为 50°+30°+45°=125°, 所以,从 A 到 D 的方位角是 125°,距离为 22、 (文) 【解】 (1)因为 4 ? 2 3 ,轨迹是以 F 1 、 F2 为焦点的椭圆, (2)以线段 F1 F2 的中点为坐标原点,以 F1 F2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,

13 分 14 分

9( 2 ? 6 ) km. 2

3分

x2 2 +y ? 1 可得轨迹 ? 的方程为 4

7分

? max ? ?
2 ? ? S?F1AF2 最大值为 tan ? tan 3 ? 3 2 2
(3)同理 23、 (文) 【解】 (1)①②都是等比源函数; (2)证明: g (1) ? 5 , g (6) ? 15 , g (21) ? 45 因为 5,15, 45 成等比数列 所以函数 g ( x) ? 2 x ? 3 是等比源函数; 其他的数据也可以 (3)函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数. 证明如下: 假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f (m), f (n ), f (k ) 成等比数列,
n 2 (2 ? 1 ) ? (m2? k 22 n ? 2n ?1 ? 2m?k ? 2m ? 2k , 1) (? 2 ,整理得 1)

2 3

4分

10 分

等式两边同除以 2 m , 得 22 n ?m ? 2n ?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 . 因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 22 n ?m ? 2n ?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 不可能成立, 所以假设不成立,说明函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数. 18 分


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