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广东省执信中学2012-2013学年高二下学期期末考试(数学理)及答案

执信中学 2012-2013 学年高二下学期期末考试 数学理试题 (共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是(*) A. 2? ?B. 第一部分选择题 3? 2 ?C. ? ?D. ? 2 解:由题意,函数 f ( x) ? sin x cos x ? 1 2? sin 2 x ,所以 T ? ? ? ,故选答案 C 2 2 2 2.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 9} ,则 M I N ? (*) A. (1,3) B. (1,3] C. (0,3] D. [1,3] ∴M∩N={x|1<x≤3}, 故选 B. 解:∵M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤9}={x|-3≤x≤3}, 3.已知复数 z1 , z2 在复平面内对应的点分别为 A(0,1), B( ?1,3) ,则 A. ?1 ? 3i B. ?3 ? i C. 3 ? i z2 ? (*) z1 D. 3 ? i 解:由题意可得 z1 ? i, z2 ? ?1 ? 3i ,故 z2 ?1 ? 3i ?i(?1 ? 3i) ? ? ? i ? 3 ,故选答案 C z1 i ?i 2 4.设 x, y ? R ,则“ x ? 0 ”是“复数 x ? yi 为纯虚数”的(*) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B、必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解:根据复数的分类,x+yi 为纯虚数的充要条件是 x=0,y≠0.“若 x=0 则 x+yi 为纯虚数”是假命题,反之 为真.∴x,y∈R,则“x=0”是“x+yi 为纯虚数”的必要不充分条件,故选 B 5.双曲线 x ? my ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m ? (*)? 2 2 A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 4 6.在实验员进行一项实验中,先后要实施 5 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 C 和 D 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(*) 1 A、15 种 B、18 种 C、44 种 D、24 种 解:本题是一个分步计数问题, ∵由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步, 1 ∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列,有 A2 =2 种结果 ∵程序 C 或 D 实施时必须相邻, 3 2 ∴把 C 或 D 看做一个元素,同除 A 外的 2 个元素排列,注意 C 或 D 之间还有一个排列,共有 A3 A2 =12 种结 果,根据分步计数原理知共有 2×12=24 种结果,故选 D. 7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图 1 所示,则其侧视图的面积为(*) A. 6 4 B. 6 2 C. 2 2 D. 2 8.对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ,同时满足下列条件: ① f ( x ) 在 [m, n] 内是单调的;②当定义域是 [m, n] 时, f ( x ) 的值域 也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间”.若函数 f ( x) ? 则 a 的取值范围是(*) A. (0,1) B. (0, 2) C. ( , ) a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”, a x 1 5 2 2 D. (1,3) 2 第二部分 非选择题 (共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 9. 如图2, 在 e O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足 E 在半径 AO 上 ? AE ? AO? ,EF ? BC , 垂足为 F , 若 AB ? 6 , CF ? CB ? 5 ,则 AE ? ___ . 解:在 Rt△BCE 中,EC =CF?CB=5,∴EC =5. ∵AB⊥CD,∴CE=ED. 由相交弦定理可得 AE?EB=CE?EB=CE =5. ∴(3-OE)?(3+OE)=5,解得 OE=2,∴AE=3-OE=1. 故答案为 1. 10.计算 2 2 2 1? ? 2 x ? ?dx ? ?1 ? x? ? e . 11.若执行图 3 中的框图,输入 N ? 13 ,则输出的数等于______ 3 12.若二项式 ( x ? 1 2 x ) n 的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式 .(用数字作答) 系数相等,则展开式中 x 6 的系数为 13.观察下列不等式: ① 1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;… 2 2 6 12 2 6 . 则第⑤个不等式为 4 14.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有 x ? l ? M ,且 f (x ? l ) ? f (x ) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) = | x ? a | ?a ,且 f ( x ) 为 R 上的 8 高调函数,那么实数 a 的 2 2 取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos x,sin x), (1) 若 m ? n ,求 m ? n (2)设 f ( x) ? m ? n , 若 f (? ) ? u v v 2 2 n?( , ), 2 2 u r r u r r u r r 3? 3 ) 的值. ,求 f (2? ?

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