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高二数学课件第二章2.1.1椭圆的定义与标准方程(湘教版选修2-1)_图文

2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆的定义与标准方程 学习目标 课前自主学案 2.1.1 课堂互动讲练 知能优化训练 学习目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出 椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 课前自主学案 温故夯基 2x-y+1=0 1.经过(1,3)、(2,5)的直线方程为_____________. 2.与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 3.已知P1(1,1)、P2(2,5),则P1在圆(x-1)2+y2=1 上,而P2不在圆(x-1)2+y2=1上. 知新益能 1.椭圆的定义 固定值 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为________ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点F1, 焦点 ,两焦点之间的距离叫作 F2叫作椭圆的________ 焦距 . 椭圆的________ 思考感悟 1 .平面内动点 M 满足 |MF1| + |MF2| = 2a ,当 2a = |F1F2|时,点M的轨迹是什么?当2a<|F1F2|时呢? 提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,不表示任何轨迹. 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 标准 方程 焦点 a、 b、 c 的关系 x y 2 + 2 = 1(a>b>0) a b __________________ 2 2 焦点在y轴上 y2 x2 2 + 2= 1( a>b>0) a b ________________ (±c,0) ______________ (0,±c) ____________ c2=a2-b2 思考感悟 2.椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点? 提示:相同点:它们的大小和形状都相同,都有 a>b>0 , a2 = b2 + c2 ,焦距都是 2c ,椭圆上的点到 两焦点距离的和均为2a. 不同点:两类椭圆的焦点位置不同,即焦点所在 坐标轴不同,因此焦点坐标也不相同,焦点在x轴 上的两焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0),焦点在y轴 上的两焦点坐标分别为(0,-c)和(0,c). 课堂互动讲练 考点突破 求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”, 即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适 合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待 定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定 时,应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分 类讨论,但要注意 a>b>0 这一条件. 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为 (- 4,0)和 (4,0),且椭圆经 过点 (5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点 (0,2)和 (1,0). 【思路点拨】 求椭圆的标准方程时,要先 判断焦点位置,确定出适合题意的椭圆标准 方程的形式,最后由条件确定出a和b即可. 【解】 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上, 2 2 x y ∴设它的标准方程为 2 + 2 = 1(a>b>0). a b ∴ 2a= ? 5+ 4?2+ ? 5- 4?2= 10, 2 2 2 ∴ a= 5.又 c= 4,∴ b = a - c = 25- 16= 9. 2 2 x y 故所求椭圆的方程为 + = 1. 25 9 (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2 + 2 = 1(a>b>0). a b 由于椭圆经过点 (0,2)和 (1,0), 4 0 2 + 2= 1 2 ? a b a ? = 4, ∴ ?? 2 ? b = 1. 0 1 ? 2+ 2= 1 a b 2 y 2 故所求椭圆的方程为 + x = 1. 4 ? ? ? 【方法小结】 (1)当且仅当椭圆的中心在原点,其 焦点在坐标轴上时, 椭圆的方程才具有标准形式. 焦 2 2 x y 点在 x 轴上的标准方程为 2+ 2 = 1(a>b>0); 焦点在 a b 2 2 y x y 轴上的标准方程为 2 + 2 = 1(a>b>0).在这两种标 a b 2 准方程中,总有 a>b>0,焦点所在轴与 a 的分子相 对应.方程中的参数 a, b, c 是椭圆所固有的,与 2 2 2 坐标系的建立无关,且始终满足关系式 a = b + c . (2)用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下: ①作判断:依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是 在 y 轴上,还是两个坐标轴上都有可能. ②设方程: x2 y2 x2 (ⅰ )依据上述判断,设方程为 2 + 2 = 1(a>b>0)或 2 a b b 2 y + 2 = 1(a>b>0). a 2 2 (ⅱ)在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx + ny = 1(m >0,n>0 且 m≠n). ③找关系:依据已知条件,建立关于 a,b,c 或 m, n 的方程组. ④得方程:解方程组,代入所设方程即为所求. 自我挑战 1 根据下列条件,求椭圆的标准方程. 1 (1)坐标轴为对称轴,并且经过两点 A(0,2)和 B( , 2 3); 2 2 (2)经过点(2,- 3)且与椭圆 9x + 4y = 36 有共同的 焦点. x y 解: (1)设所求椭圆的方程为 + = 1(m > 0, n> 0 m n 且 m≠n). 1 ∵椭圆经过两点 A(0,2)、 B( , 3), 2 0 4 + = 1, m n ? ?m= 1, ∴ 解得? 1 3 ?n= 4. ? + = 1, 4m n 2 y 2 ∴所求椭圆方程为 x + = 1. 4 2 2 ? ? ? (2)∵椭圆 9x + 4y = 36 的焦点为 (0,± 5),则可设 2 2 x y 所求椭圆方程为 + = 1(m> 0). m m+ 5 又椭圆经过点 (2,- 3), 4 9 则有 + = 1. m m+ 5 解得 m=

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