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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题1 第1讲 集合与常用逻辑用语]


专题一

第一讲

一、选择题 1.已知集合 A={x||x-2|>1},B={x|y= x-1+ 3-x},那么有( A.A∩B=? C.B?A [答案] A
?x-1≥0 ? [解析] 由|x-2|>1 得 x-2<-1,或 x-2>1,即 x<1,或 x>3;由? 得 1≤x≤3, ? ?3-x≥0

)

B.A?B D.A=B

因此 A={x|x<1,或 x>3},B={x|1≤x≤3},所以 A∩B=?,故选 A. 2.(2014· 浙江文,2)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC、BD,则“四边形 ABCD 为菱 形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 菱形的对角线互相垂直,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选 A. x-1 3.(2014· 银川市一中二模)已知全集 U=R,集合 A={x| <0},B={x|x≥1},则集合 x {x|x≤0}等于( A.A∩B C.?U(A∩B) [答案] D [解析] A={x|0<x<1},B={x|x≥1},则 A∪B={x|x>0},∴?U(A∪B)={x|x≤0},∴选 D. 4.(2013· 天津理,4)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2= 相切. 2 其中真命题的序号是( A.①②③ C.①③ [答案] C ) B.①② D.②③ ) B.A∪B D.?U(A∪B) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断. 4 1 对于①,设球半径为 R,则 V= πR3,r= R, 3 2 4 1 πR3 1 ∴V1= π×( R)3= = V,故①正确;对于②,两组数据的平均数相等,标准差一般 3 2 6 8 不相等;对于③,圆心(0,0),半径为 故①、③正确. 5.(文)(2014· 天津文,3)已知命题 p:?x>0,总有(x+1)ex>1,则? p 为( A.?x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.?x>0,总有(x+1)ex≤1 D.?x≤0,总有(x+1)ex≤1 [答案] B [解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称 (存在性)命题,“>” ) 2 2 ,圆心(0,0)到直线的距离 d= ,故直线和圆相切, 2 2

的否定为“<”知选 B. (理)已知命题 p:“?x∈R,x2+1≥1”的否定是“?x∈R,x2+1≤1”;命题 q:在 △ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充分条件,则下列命题是真命题的是( A.p 且 q C.? p 且? q [答案] D [解析] p 为假命题,q 为真命题,∴p 且 q 为假命题,p 或? q 为假命题,? p 且? q 为假 命题,p 或 q 为真命题. 6. (文)若集合 A={x|2<x<3}, B={x|(x+2)(x-a)<0}, 则“a=1”是“A∩B=?”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 当 a=1 时,B={x|-2<x<1},∴A∩B=?,则“a=1”是“A∩B=?”的充分 条件;当 A∩B=?时,得 a≤2,则“a=1”不是“A∩B=?”的必要条件,故“a=1”是 “A∩B=?”的充分不必要条件. (理)(2013· 沈阳模拟)已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:x>a,且? p 是? q 的充分不必要条件, 则 a 的取值范围是( A.a≥1 C.a≥-1 [答案] A ) B.a≤1 D.a≤-3 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.p 或? q D.p 或 q )

[解析] 条件 p:x>1 或 x<-3,所以? p:-3≤x≤1; 条件 q:x>a,所以? q:x≤a, 由于? p 是? q 的充分不必要条件,所以 a≥1,故选 A. 7.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合 A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集 合 A×B 中属于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素个数是( A.3 C.8 [答案] B [解析] 用列举法求解.由给出的定义得 A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4), (2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中 log22=1,log24= 2,log28=3,log44=1,因此,一共有 4 个元素,故选 B. 8.(文)(2014· 湖南理,5)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在 命题①p∧q;②p∨q;③p∧(? q);④(? p)∨q 中,真命题是( A.①③ C.②③ [答案] C [解析] 当 x>y 时,两边乘以-1 可得-x<-y,所以命题 p 为真命题,当 x=1,y=-2 时,因为 x2<y2,所以命题 q 为假命题,所以②③为真命题,故选 C. (理)(2014· 重庆理,6)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.? p∧q [答案] D [解析] 命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,所以选项 D 正确.判断复合命题的真假, 要先判断每一个命题的真假,然后做出判断. 9.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 [分析] 根据四种命题的关系判定. [答案] B ) ) B.? p∧? q D.p∧? q B.①④ D.②④ ) B.4 D.9 )

[解析] “若 p 则 q”的否命题为“若? p 则? q”,故选 B. 10.(2014· 陕西理,8)原命题为“若 z1、z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题, 否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 [答案] B [解析] 若 z1=a+bi,则 z2=a-bi. ∴|z1|=|z2|,故原命题正确、逆否命题正确. 其逆命题为:若|z1|=|z2|,则 z1、z2 互为共轭复数, 若 z1=a+bi,z2=-a+bi,则|z1|=|z2|,而 z1、z2 不为共轭复数. ∴逆命题为假,否命题也为假. 二、填空题 x 11.设 p: <0,q:0<x<m,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m 的取值范围是 x-2 ________. [答案] (2,+∞) x [解析] 由 <0 得 0<x<2,∵p 是 q 成立的充分不必要条件,∴(0,2) (0,m),∴m>2. x-2 12.设集合 A={5,log2(a+3)},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. [答案] {1,2,5} [解析] ∵A∩B={2},∴2∈A,∴log2(a+3)=2, ∴a=1,∴b=2,∴A∪B={1,2,5}. )

B.假,假,真 D.假,假,假

一、选择题 13.(2014· 哈三中一模)集合 A={1,2},B={1,2,3},P={x|x=ab,a∈A,b∈B},则集 合 P 的元素个数为( A.3 C.5 [答案] C [解析] 由题意知 P={1,2,4,3,6},∴选 C. 14.(文)已知集合 A={(x,y)|y=2x,x∈R},B={(x,y)|y=2x,x∈R},则 A∩B 的元 素数目为( A.0 C.2 ) B.1 D.无穷多 ) B.4 D.6

[答案] C [解析] 函数 y=2x 与 y=2x 的图象的交点有 2 个,故选 C. (理)设全集 U=R,集合 M={x|y= 3-2x},N={y|y=3-2x},则图中阴影部分表示的 集合是( )

3 A.{x| <x≤3} 2 3 C.{x| ≤x<2} 2 [答案] B 3 [解析] M={x|x≤ },N={x|x<3}, 2

3 B.{x| <x<3} 2 3 D.{x| <x<2} 2

3 3 ∴阴影部分 N∩(?UM)={x|x<3}∩{x|x> }={x| <x<3}. 2 2 15.(2013· 重庆理,2)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0
2 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0

)

[答案] D [解析] 根据全称命题的否定是特称命题,应选 D. 16. (文)(2013· 西城区模拟)已知函数 f(x)=x2+bx+c, 则“c<0”是“?x0∈R, 使 f(x0)<0” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A
?Δ>0 ? [解析] c<0 时,f(0)=c<0;当? 即 b2>4c>0 时,存在 x0∈R,使 f(x0)<0,例如取 ?c>0, ?

3 5 5 b=3,c=1,此时,f(x)=x2+3x+1=(x+ )2- ,其最小值- <0.故选 A. 2 4 4
?x+y≥1 ? (理)(2014· 新课标Ⅰ理,9)不等式组? 的解集记为 D.有下面四个命题: ?x-2y≤4 ?

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2 [答案] C
? ?x+y≥1 [解析] 不等式组? 表示的平面区域如图所示. ?x-2y≤4 ? ?x+y=1, ? 由? 得交点 A(2,-1), ?x-2y=4, ?

) B.p1,p4 D.p1,p3

1 ∵目标函数 u=x+2y 的斜率 k=- , 2 ∴当直线 x+2y=u 过 A 时,u 取最小值 0. 故选项 p1,p2 正确,所以选 C. 17.(2014· 辽宁理,5)设 a、b、c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c =0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c,则下列命题中真命题是( A.p∨q C.(? p)∧(? q) [答案] A [解析] 取 a=c=(1,0),b=(0,1)知,a· b=0,b· c=0,但 a· c≠0,∴命题 p 为假命题; ∵a∥b,b∥c,∴?λ,μ∈R,使 a=λb,b=μc, ∴a=λμc,∴a∥c,∴命题 q 是真命题. ∴p∨q 为真命题. 18.已知命题 p:“?x∈R,x2+2ax+a≤0”为假命题,则实数 a 的取值范围是( A.(0,1) C.(2,3) [答案] A [解析] 由 p 为假命题知,?x∈R,x2+2ax+a>0 恒成立,∴Δ=4a2-4a<0,∴0<a<1, 故选 A. x2 y2 19.设 x、y∈R,则“|x|≤4 且|y|≤3”是“ + ≤1”的( 16 9 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.(0,2) D.(2,4) ) B.p∧q D.p∨(? q) )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] B x2 y2 [解析] “|x|≤4 且|y|≤3”表示的平面区域 M 为矩形区域,“ + ≤1”表示的平面 16 9 x2 y2 区域 N 为椭圆 + =1 及其内部,显然 N M,故选 B. 16 9 x 20.(文)在 R 上定义运算?:x?y= ,若关于 x 的不等式(x-a)?(x+1-a)>0 的解集 2-y 是集合{x|-2≤x≤2}的子集,则实数 a 的取值范围是( A.-2≤a≤2 C.-2≤a≤1 [答案] C x-a [解析] 因为(x-a)?(x+1-a)>0, 所以 >0, 即 a<x<a+1, 则 a≥-2 且 a+1≤2, 1+a-x 即-2≤a≤1. (理)(2014· 中原名校联考)下列命题正确的个数是( ) )

B.-1≤a≤1 D.1≤a≤2

①“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题;②命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件;③“?x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 “?x∈R,x3-x2+1>0”;④若随机变量 x~B(n,p),则 DX=np.⑤回归分析中,回归方程 可以是非线性方程. A.1 C.3 [答案] C [解析] 在△ABC 中,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中 R 为△ABC 外接圆 半径).∴①为真命题;∵x=2 且 y=3 时,x+y=5 成立,x+y=5 时,x=2 且 y=3 不成立, ∴“x+y=5”是“x=2 且 y=3”的必要不充分条件,从而“x≠2 或 y≠3”是“x+y≠5” 的必要不充分条件,∴②为真命题; ∵全称命题的否定是特称命题, ∴③为假命题; 由二项分布的方差知④为假命题. ⑤显然为真命题,故选 C. 二、填空题 21.设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集为{x|x<0},q:函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则 a 的取值范围是________. 1 [答案] (0, ]∪[1,+∞) 2 B.2 D.4

? ?a>0, [解析] p 真时,0<a<1;q 真时,ax2-x+a>0 对 x∈R 恒成立,则? 即 2 ?Δ=1-4a <0, ?

0<a<1, ? ? 1 a> .若 p∨q 为真, p∧q 为假, 则 p、 q 应一真一假: ①当 p 真 q 假时, ? 1 2 ?a≤2 ? a≤0或a≥1, ? ? ②当 p 假 q 真时,? 1 ? ?a>2 1 综上,a∈(0, ]∪[1,+∞). 2 22.给出下列命题:

1 ?0<a≤ ; 2

?a≥1.

^ ①已知线性回归方程y=3+2x,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位; ②在进制计算中,100(2)=11(3); ③若 ξ~N(3,σ2),且 P(0≤ξ≤3)=0.4,则 P(ξ<6)=0.1; ④“a=?1 1-x2dx”是“函数 y=cos2(ax)-sin2(ax)的最小正周期为 4”的充要条件;

?0

2014x 1+2013 π π ⑤设函数 f(x)= +2014sinx(x∈[- , ])的最大值为 M,最小值为 m,则 2 2 2014x+1


M+m=4027,其中正确命题的个数是________个. [答案] 4 [解析] ①显然正确;100(2)=1×22+0×21+0×20=4,11(3)=1×31+1×30=4,∴②正 1 确;∵ξ<N(3,σ2),∴P(ξ>6)= (1-2P(0≤ξ≤3))=0.1,∴③错误;由数形结合法,依据定 2 π πx 积分的几何意义得 a=?1 1-x2dx= ,y=cos2ax-sin2ax=cos2ax=cos ,最小正周期 T 4 2 ?
0

2π = =4,∴④正确. π 2 ax 1+a-1 设 a=2014,则 f(x)= +asinx ax+1


1 =a+asinx- x , a +1 π π 易知 f(x)在[- , ]上单调递增, 2 2 π a 2 π π 1 1 1 ∴M+N=f( )+f(- )=2a- - =2a- - =2a-1=4027, 2 2 π π π π a +1 a- +1 a +1 1+a 2 2 2 2 ∴⑤正确.


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