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高中数学北师大版必修同步配套课件:2-1-1 《正弦定理》


第二章 解三角形 §1 正弦定理与余弦定理 1.1 正弦定理 1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法. 2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题. 三角形的边与角之间有什么数量关系呢? 我们分别用a,b,c表示 ?ABC 的边BC,CA,AB,用A,B, C表示 . ?BAC, ?CBA, ?ACB 下面我们先从特殊的三角形开始研究. 直角三角形ABC中,C=90?,如图.则有 a b sin A ? ,sin B ? ,sin C ? 1 c c a b c 即c ? ,c ? ,c ? sin A sin B sin C A b c a b c ? ? ? sin A sin B sin C C a B 这个优美的关系对等边三角形无疑也成立,对 其他的三角形是否成立呢? ???? ???? ? ??? ? 因为向量 AC 与 BC 在y轴上的射影均为 OC1 , ???? ? ???? 即 OC ? AC cos( A ? 90? ) ? b sin A 1 ???? ? ??? ? OC1 ? BC sin B ? a sin B 所以 a b ? sin A sin B 如图所示,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立 直角坐标系,C点在y轴上的射影为C1, y C C1 O(A) a c 同理, ? sin A sin C a b c ? ? 所以 sin A sin B sin C B x 由上面证明过程可以看出,若A为 锐角或直角,也可以得到同样的结论. 正弦定理 比相等,即 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 a b c ? ? sin A sin B sin C 变式: a b b c c a ? ; ? ; ? ?1? sin A sin B sin B sin C sin C sin A ? 2? sin A :sin B :sin C ? a : b : c 例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角 已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm, BD=4.38cm, C ? 120? , B ? 45? .为了复原,请计算原 玉佩两边的长(结果精确到0.01cm). 分析:将BD,CE分别延长相交于一点A,在 D A △ABC中,已知BC的长及角B与C,可以通过 正弦定理求AB,AC的长. B E C 解:将BD,CE分别延长相交于一点A,在△ABC中, BC=2.57cm,B=45°,C=120°, A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°. BC AC ,所以 AC ? BC sin B ? 2.57sin 45? ? sin A sin15? sin A sin B 因为 利用计算器算得 AC≈7.02(cm), 同理:AB≈8.60(cm). 答:原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm. 例2 台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h 的速度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会 受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受 台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)? D 北 C2 E C1 B A 分析:如图所示,台风沿着BD运动时, 由于|AB|=300km>250km,所以开始台风影响不了城市A,由 点A到台风移动路径BD最小距离|AE|=|AB|·sin45° 2

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