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2-3 参数方程化成普通方程 课件 (北师大选修4-4)


§3 参数方程化成普通方程

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1. 代数法消去参数 (1)这种方法是从参数方程中选出一个方程,解出参数, 然后把参数的表达式代入另一个方程,消去参数,得到曲

线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.
(2)通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方 程适当地变形,然后把参数方程中的两个方程进行代数运

算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数
如果参数方程中的x,y都表示为参数的三角函数,那么可 以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数,这是参数方 程转化为普通方程的基本方法之一.
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【思维导图】

【知能要点】

1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.
2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.

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题型一

代数法消去参数

这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程,解出参 数,然后代入另一个参数方程中得普通方程,这种方法思 路简单,可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变 形,然后把两参数方程进行代数运算消去参数,这种方法 运算量小,但往往需要提前进行适当的变形.

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【例1】 把参数方程化为普通方程. 1 ? ?x=1+2t, (1)? ?y=5+ 3t; ? 2
2 ( 1 - k )r ? ?x= , 2 1+ k ? (2)? ?y= 2kr . 2 ? ? 1+k

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1 3 解 (1)由 x=1+ t 得 t=2x-2 代入 y=5+ t 中得 y=5 2 2 3 + (2x-2), 2 即: 3x-y+5- 3=0 就是它的普通方程.
2 2 2 2 ( 1 - k ) r ( 1 - k ) r ? ? 2 ?x= ? , x= 2 2 2 , 1+ k (1+k ) ? ? (2)? ?? 2 2 2 kr 4 k r ?y= ? y2 = 2 2 2, ? ? (1+k ) ? 1+ k ? 2 4 2 2 2 2 4 2 ( 1 - 2 k + k ) r + 4 k r ( 1 + 2 k + k ) r 得 x2 + y2 = = = 2 2 2 2 ( 1+ k ) (1+k )

r2 . ∴x2+y2=r2 就是它的普通方程.
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【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解
析出参数太复杂,如第(2)小题,这时为了减少运算量, 就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平 方.然后相加消去参数.

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1 ? ?x = t + , t - 1 (t 为参数)化为普通方程, 并画出它 1.把参数方程? ? ?y = 2 所表示的曲线. 1 解 (1)当 t-1>0 时,x=t-1+ +1≥3. t- 1

1 ? ?t - 1 = t-1时,即 t=2 时取“=”. 当且仅当? ? ?t-1>0 1 (2)当 t-1<0 时,即 1-t>0 时,1-t+ ≥2 1- t ? 1 ? ? ? -?(1-t)+1-t?≤-2 ? ?
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? 1 ? 1 1 ? x=t+ =t-1+ +1=-?(1-t)+1-t? ?+1≤-1 t- 1 t- 1 ? ?

1 ? ?1 - t = , 1-t 当且仅当? ? ?1-t>0, 即 t=0 时取“=”. 故所求方程为 y=2(x≤-1,或 x≥3) 如图是两条射线.

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题型二

利用三角恒等式消去参数

利用这种方法消去参数必须是x,y都表示成参数的三角函 数,然后利用三角函数的恒等变形式消去参数,这种方法 大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形,然后进行 代数运算消去参数,化为普通方程.

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【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程,并指明曲线的

类型. ? ?x=acos θ , (1)? (θ 为参数,a,b 为常数,且 a>b>0); ? y = b sin θ ?
a ? ?x= , cos φ (2)? (φ 为参数,a,b 为正常数); ? ?y=btan φ
2 ? ?x=2pt , (3)? (t ? ?y=2pt

为参数,p 为正常数).

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2 2 x y 解 (1)由 cos2θ +sin2θ =1 得 2+ 2=1 这是一个长轴长 a b 为 2a,短轴长为 2b,中心在原点的椭圆. ? 1 ? 1 x y ? 2- tan2φ (2)由已知 =a, tan φ = b,由于?cos φ ? ? cos φ ? ? =1, x2 y2 ∴有 2- 2=1 这是一条双曲线. a b 2 y y (3)由已知 t= 代入 x=2pt2 中得 2·2p=x, 2p 4p 即 y2=2px,这是一条抛物线.

【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方 程时,要特别注意保证等价性.
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2. 化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图. 1 ? ?x= sin 2θ , 2 (1)? (θ 为参数) ? ?y=sin θ +cos θ 1 ? x = ? t, (2)? (t 为参数) ?y=1 t2-1 t ?

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解 (1)由 y2=(sin θ +cos θ )2=1+sin 2θ =1+2x 得 y2 =2x+1, 1 1 1 ∵- ≤ sin 2θ ≤ , 2 2 2 1 1 ∴- ≤x≤ . 2 2 ∵- 2≤sin θ +cos θ ≤ 2, ∴- 2≤y≤ 2. 故所求普通方程为 y
? 1 1 ?- ≤x≤ ,- 2 ? 2
2

? 1? =2?x+2? ? ? ? 2?,图形为抛物线的一部分. ?

2≤y≤

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(2)由 x +y

2

2

?1?2 ?1 =? t ? + ? t ? ? ?

t

2

?2 -1? =1 及 x ?

t2 - 1 1 = ≠0,xy= 2 ≥0 知,所求轨迹 t t 为两部分圆弧 x2 + y2 = 1(0 < x≤1 , 0≤y<1 或-1≤x<0,-1<y≤0).

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1.

? ?x=1+cos 若曲线? 2 ? y = sin θ ?

2θ ,

(θ 为参数),则点(x,y)的轨迹是 ( ).

A.直线x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线

C.圆(x-1)2+y2=1
D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段

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解析

x=1+cos 2θ=1+1-2sin2θ=2-2y,故普通方程

为x+2y-2=0
2 ? ?0≤sin θ≤1, 但? 即 ? ?0≤1+cos θ≤2,

0≤y≤1,0≤x≤2,故为一条线

段.

答案

D

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? ?x=sin 2.方程 ? ? ?y=cos

θ (θ 为参数 ) 所表示的曲线上一个点的坐标 2θ (
?1 2? B.?3,3? ? ? ?1 1? C.?2,2? ? ?

是 A.(2,7)

).

D.(1,0)

π π π 1 1 解析 当 x= 时,θ= ,2θ= ,y=cos 2θ=cos = , 2 6 3 3 2 故选 C.

答案

C

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1 ? ?x=t+ t (t 为参数)化为普通方程为________. 3.将参数方程? 1 ?y= t 2 + 2 ? t ? 1? 2 1 1 1 2 2 解 析 y = t + 2 = t + 2· t· + 2 - 2 = ?t+ t ? - 2 = x2 - t t t ? ? 2(x≠0).

答案

y=x2-2(x≠0)

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直线 l 4.在平面直角坐标系 xOy 中, 数 t∈R),圆 C

? ?x=t+3 的参数方程为? (参 ? ?y=3-t

? ?x=2cos 的参数方程为? ? ?y=2sin

θ (参数 θ∈[0,2 θ +2

π ]),则圆 C 的圆心坐标为________,圆心到直线 l 的距离 为________. 解析 消参数得圆方程为 x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为 (0,2).消参数后直线方程为 x+y=6,那么圆心到直线 |0+2-6| 的距离为 =2 2. 2
答案 (0,2) 2 2

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[P42 练习]
? ?x=at+λcos 已知参数方程 ? ? ?y=bt+λsin

θ , (a , b , λ 均不为 0 , θ

0≤θ≤2π )分别取:(1)t 为参数,(2)λ 为参数,(3)θ 为参数. 则下列结论中成立的是 ( ).

A.(1),(2),(3)均是直线 B.只有(2)是直线

C.(1),(2)是直线,(3)是圆
D.(2)是直线,(1),(3)是圆锥曲线
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x-λcos θ 解析 (1)t 为参数,t= 代入 y=bt+λsin θ a x-λcos θ 中得,y=b +λsin θ. a 整理得:bx-ay-λbcos θ+λasin θ=0,其中 a、b、 λ、θ 为常数,故为直线. (2)λ
? ?x=at+λcos 为参数? ? ?y=bt+λsin

θ ? ?x-at=λcos θ, ?? 消去参 ? θ ?y-bt=λsin θ.

y-bt 数 λ, =tan θ,整理得,y=tan θ·x-attan θ+ x-at bt 为直线.

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(3)θ

? ?x=at+λcos 为参数? ? ?y=bt+λsin

θ, 用三角恒等式消去参数 θ. θ,

得(x-at)2+(y-bt)2=λ2为以(at,bt)为圆心,λ为半径 的圆. 由以上解答,应选C. 答案 C 【规律方法总结】

由参数方程化为普通方程时,有两种基本方法.代数
法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进 行变形然后经过代数运算进行消去参数,但在变形中特别 注意取等价性,有时要进行必要的讨论,有时要利用三角 函数写出x,y的取值范围.
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