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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 1.1集合的概念与运算教案 理 新人教A版


§1.1

集合的概念与运算

【2014 高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性,以集合中含参数的元素为背景,探求 参数的值;2.求几个集合的交、并、补集;3.通过集合中的新定义问题考查创新能力. 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论,重视空集的特殊性;2.会利用 Venn 图、数轴等工 具对集合进行运算;3.重视对集合中新定义问题的理解.

1. 集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2. 集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A? B(或 B? A). (2)真子集:若 A? B,且 A≠B,则 A?B(或 B?A). (3)空集: 空集是任意一个集合的子集, 是任何非空集合的真子集. 即?? A, ??B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,A 的非空子集有 2 -1 个. (5)集合相等:若 A? B,且 B? A,则 A=B. 3.集合的运算 集合的并集 图形 集合的交集 集合的补集
n n

自然数集 N

正整数集 N (或 N+)
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

1

符号 4. 集合的运算性质 并集的性质:

A∪B={x|x∈A
或 x∈B}

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

?UA={x|x∈U,且 x?

A}

A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B? A.
交集的性质:

A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A? B.
补集的性质:

A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.
[难点正本 疑点清源] 1. 正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤其是“确定性和互异性” 在解题中要注意运用. 在解决含参数问题时, 要注意检验, 否则很可能会因为不满足“互 异性”而导致结论错误. 2. 注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非 空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A? B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的情 况. 3. 正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为它 有一个元素,这个元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?}, {0}∩{?}=?.

1. (2012·江苏)已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B=________. 答案 {1,2,4,6} 解析 A∪B 是由 A,B 的所有元素组成的.

A∪B={1,2,4,6}.
2. 已知集合 A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x -5x+4≥0},若 A∩B=?,则实数 a 的取值 范围是________. 答案 (2,3) 解析 集合 B 中,x -5x+4≥0,∴x≥4 或 x≤1. 又∵集合 A 中 a-1≤x≤1+a. ∵A∩B=?,∴a+1<4 且 a-1>1,∴2<a<3.
2 2

2

3. 已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则 m 的可能取值组成的集合为 ________.
? 1? 答案 ?0,1,- ? 2? ?

解析 ∵A∪B=A,∴B? A, ∴当 B=?时,m=0; 当-1∈B 时,m=1; 1 当 2∈B 时,m=- . 2 1 ∴m 的值为 0,1,- . 2 4. (2012·江西)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元 素的个数为 ( A.5 答案 C 解析 当 x=-1,y=0 时,z=x+y=-1; 当 x=1,y=0 时,z=x+y=1; 当 x=-1,y=2 时,z=x+y=1; 当 x=1,y=2 时,z=x+y=3, 由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素的个 数为 3. 5. (2011·北京)已知集合 P={x|x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围为( A.(-∞,-1] C.[-1,1] 答案 C 解析 由 P={x|x ≤1}得 P={x|-1≤x≤1}. 由 P∪M=P 得 M? P.又 M={a},∴-1≤a≤1.
2 2

) B.4 C.3 D.2

)

B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2}
3

(

)

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b-a=________.
? ? ?

b a

?

思维启迪:解决集合问题首先要考虑集合的“三性”:确定性、互异性、无序性,理解 集合中元素的特征. 答案 (1)B (2)2 解析 (1)选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集, 集合 N 表示由点(2,3)所组 成的单点集,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上 的所有的点组成的集合, 集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有的点的纵坐标组成的集合, 即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 D 中的集合 M 有两个元素, 而集合 N 只含有一个元素,故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B,由集合元素的无 序性,可知 M,N 表示同一个集合. (2)因为{1,a+b,a}=?0, ,b?,a≠0,
? ? ?

b a

?

所以 a+b=0,得 =-1, 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征,分清点集、数集;(2)要特别注 意集合中元素的互异性,在解题过程中最容易被忽视,因此要对计算结果进行检验,防 止所得结果违背集合中元素的互异性. 若集合 A={x|ax -3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 9 答案 0 或 8 解析 ∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 9 2 当 a≠0 时,Δ =(-3) -4a×2=0,∴a= .故 a=0 或 . 8 8 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,求实数 m 的取值 范围. 思维启迪:若 B? A,则 B=?或 B≠?,要分两种情况讨论. 解 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B? A,如图.
2

b a

4

m+1≥-2 ? ? 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1

,解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 探究提高 (1)集合中元素的互异性,可以作为解题的依据和突破口;(2)对于数集关系 问题,往往利用数轴进行分析;(3)对含参数的方程或不等式求解,要对参数进行分类讨 论. 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A? B,则实数 a 的取值范围 是(c,+∞),其中 c=________. 答案 4 解析 由 log2x≤2,得 0<x≤4,

即 A={x|0<x≤4}, 而 B=(-∞,a), 由于 A? B,如图所示,则 a>4,即 c=4. 题型三 集合的基本运算 例3 设 U=R,集合 A={x|x +3x+2=0},B={x|x +(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则 m 的值是________. 思维启迪:本题中的集合 A,B 均是一元二次方程的解集,其中集合 B 中的一元二次方程 含有不确定的参数 m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(?UA)∩B=?对集合
2 2

A,B 的关系进行转化.
答案 1 或 2 解析 A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B? A, ∵方程 x +(m+1)x+m=0 的判别式 Δ =(m+1) -4m=(m-1) ≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)·(-2)=4,这两 式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)·(-2)=2, 由这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2.
5
2 2 2

探究提高 本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二是对集合 B 中方 程的分类求解.集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系,这些 联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来,如 A∪B=A?B? A,(?UA)∩B=??B? A 等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解这类难点的一种极为有效的方法. 设全集是实数集 R,A={x|2x -7x+3≤0},B={x|x +a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解 1 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 2
2 2

当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}. 2 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(?RA)∩B=B 时,B? ?RA,即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B? ?RA; ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a}, 1 1 要使 B? ?RA,需 -a≤ ,解得- ≤a<0. 2 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4 题型四 集合中的新定义问题 例4 (2011·广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果? a,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数 的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且? a,b,c∈T, 有 abc∈T;? x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 思维启迪:本题是一道新定义问题试题,较为抽象,题意难以理解,但若“以退为进”, 取一些特殊的数集代入检验,即可解决. 答案 A 解析 不妨设 1∈T,则对于? a,b∈T,∵? a,b,c∈T,都有 abc∈T,不妨令 c=1, 则 ab∈T,故 T 关于乘法是封闭的,故 T、V 中至少有一个关于乘法是封闭的;若 T 为偶 数集,V 为奇数集,则它们符合题意,且均是关于乘法是封闭的,从而 B、C 错误;若 T ( )

6

为非负整数集,V 为负整数集,显然 T、V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且 ? a,b,c∈T,有 abc∈T,? x,y,z∈V,有 xyz∈V,但是对于? x,y∈V,有 xy>0,

xy?V,D 错误.故选 A.
探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力, 解题时要充分理解题目的含义, 进行全面分析,灵活处理. 已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1?

A,且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素
的子集共有________个. 答案 6 解析 由 成 对 的 相 邻 元 素 组 成 的 四 元 子 集 都 没 有 “ 孤 立 元 素 ” , 如 {0,1,2,3} ,

{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},这样的集合共有 6 个.

集合中元素特征认识不明致误

典例: (5 分)(2012·课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8 D.10 ( )

易错分析 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合 B 是解决本题的关键,该题 解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合 B 中的元素(x,y)不是有序数对,而是 无序的两个数值;二是对于集合 B 的元素的性质中的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关注 “x∈A,y∈A”,而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解. 解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. 答案 D 温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面:一是要注意集合中代表元素的字 母符号,区分 x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x|y=f(x)} 表示函数 y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函数 y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)} 表示函数 y=f(x)图象上的点.

遗忘空集致误
7

典例:(4 分)若集合 P={x|x +x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S? P,则由 a 的可取值组 成的集合为__________. 易错分析 从集合的关系看,S? P,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况. 解析 (1)P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S? P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- ,

2

a

1 1 为满足 S? P 可使- =-3 或- =2,

a

a

? 1 1? 1 1 即 a= 或 a=- .故所求集合为?0, ,- ?. 3 2? 3 2 ? ? 1 1? 答案 ?0, ,- ? 3 2? ?

温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容. 解答此类问题的关键是 抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽 1 略对空集的讨论,如 S=?时,a=0;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 或 2.

a

因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

方法与技巧 1. 集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2. 对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3. 对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又 一体现. 失误与防范 1. 空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注 对空集的讨论,防止漏解. 2. 解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 3. 解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解 的两个先决条件. 4. Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法要特别注意端点是实心还是空心.
8

5. 要注意 A? B、A∩B=A、A∪B=B、?UA? ?UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

9

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012·广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于 ( )

A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 答案 C 解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴?UM={3,5,6}. 2. (2011·课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有 ( ) A.2 个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 2 =4 个. 3. (2012·山东)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 ( ) A.{1,2,4} C.{0,2,4} 答案 C 解析 ∵?UA={0,4},B={2,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}. 4. 已知集合 M={x| A.? C.{x|x>1} 答案 C 解析 由 ≥0,得? x-1 ? ?x? B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}
2

B.4 个

C.6 个

D.8 个

x

x-1

≥0,x∈R},N={y|y=3x +1,x∈R},则 M∩N 等于 B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

2

(

)

x

?x≠1, ?

x-1? ≥0,

∴x>1 或 x≤0,∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1},

10

M∩N={x|x>1}.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知集合 A={1,3,a},B={1,a -a+1},且 B? A,则 a=__________. 答案 -1 或 2 解析 由 a -a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验符合.由 a -a+1=a,得 a=1,由 于集合中不能有相同元素,所以舍去.故 a=-1 或 2. 6. 已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B =_________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合, 代入验证即可. 7. (2012·天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B = (-1,n),则 m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n},
2 2 2

B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1.
三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知集合 A={x|x -2x-3≤0},B={x|x -2mx+m -4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A? ?RB,求实数 m 的取值范围. 解 由已知得 A={x|-1≤x≤3},
2 2 2

B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],∴?
? ?m-2=0, ? ?m+2≥3.

∴m=2.

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},∵A? ?RB, ∴m-2>3 或 m+2<-1,即 m>5 或 m<-3. 9. (12 分)设符号@是数集 A 中的一种运算:如果对于任意的 x,y∈A,都有 x@y=xy∈A, 则称运算@对集合 A 是封闭的.设 A={x|x=m+ 2n,m、n∈Z},判断 A 对通常的实数 的乘法运算是否封闭? 解 设 x=m1+ 2n1,y=m2+ 2n2,那么 xy=(m1+ 2n1)×(m2+ 2n2)=(m1n2+m2n1) 2 +m1m2+2n1n2. 令 m=m1m2+2n1n2,n=m1n2+m2n1,则 xy=m+ 2n, 由于 m1,n1,m2,n2∈R,所以 m,n∈R.
11

故 A 对通常的实数的乘法运算是封闭的.

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012·湖北)已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条 件 A? C? B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数. 由 x -3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2. (2011·安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S? A 且 S∩B≠?的集 合 S 的个数是 ( ) D.8
2 2

(

)

A.57 B.56 C.49 答案 B

解析 由 S? A 知 S 是 A 的子集,又∵A={1,2,3,4,5,6},∴满足条件 S? A 的 S 共有 2

6

=64(种)可能.又∵S∩B≠?,B={4,5,6,7,8},∴S 中必含 4,5,6 中至少一个元素,而 在满足 S? A 的所有子集 S 中,不含 4,5,6 的子集共有 2 =8(种),∴满足题意的集合 S 的可能个数为 64-8=56. 1 3. (2011·湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于
3

x

(

)

?1 ? A.? ,+∞? ?2 ?
C.(0,+∞) 答案 A

? 1? B.?0, ? ? 2? ?1 ? D.(-∞,0]∪? ,+∞? ?2 ?

解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},

P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2

1

1

12

1 ?1 ? ∴?UP={y|y≥ }=? ,+∞?. 2 ?2 ? 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012·陕西改编)集合 M={x|lg x>0},N={x|x ≤4},则 M∩N=____________. 答案 (1,2] 解析 M={x|lg x>0}={x|x>1},
2

N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},
∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1<x≤2}.

13

5. 已知 M={(x,y)|

y-3 2 =a+1},N={(x,y)|(a -1)x+(a-1)y=15},若 M∩N=?,则 x-2

a 的值为____________.
5 答案 1,-1, ,-4 2 解析 集合 M 表示挖去点(2,3)的直线, 集合 N 表示一条直线, 因此由 M∩N=?知, 点(2,3) 5 在集合 N 所表示的直线上或两直线平行,由此求得 a 的值为 1,-1, ,-4. 2 6. 设 A={x||x|≤3}, B={y|y=-x +t}, 若 A∩B=?, 则实数 t 的取值范围是__________. 答案 (-∞,-3) 解析 A={x|-3≤x≤3},B={y|y≤t}, 由 A∩B=?知,t<-3. 三、解答题 1 5 2 2 2 7. (13 分)已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0}, B={y|y= x2-x+ , 0≤x≤3}. 2 2 (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x +1≥ax 恒成立的 a 的最小值时,求(?RA)∩B. 解
2 2

A={y|y<a 或 y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.
2

?a +1≥4, ? (1)当 A∩B=?时,? ?a≤2, ?

∴ 3≤a≤2 或 a≤- 3. (2)由 x +1≥ax,得 x -ax+1≥0, 依题意 Δ =a -4≤0,∴-2≤a≤2. ∴a 的最小值为-2. 当 a=-2 时,A={y|y<-2 或 y>5}. ∴?RA={y|-2≤y≤5},∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}.
2 2 2

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