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高中数学第二章平面向量平面向量的基数量积教学案新人教A版必修

2.4 平面向量的基数量积 第 1 课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P103~P105 的内容,回答下列问题. 观察教材 P103 图 2.4-1 和图 2.4-2,思考: (1)如何计算力 F 所做的功? 提示:W=|F||s|cos_θ . (2)力 F 在位移方向上的分力是多少? 提示:|F|cos_θ . (3)力做功的大小与哪些量有关? 提示:与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 2.归纳总结,核心必记 (1)向量的数量积的定义 已知条件 定义 记法 规定 (2)向量的数量积的几何意义 ①投影的概念: (ⅰ)向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos_θ . (ⅱ)向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos_θ . ②数量积的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_θ 的乘积. (3)向量数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. ①a⊥b?a·b=0. ②当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|, 向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ 数量|a||b|cos_θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内 积) a·b=|a||b|cos_θ 零向量与任一向量的数量积为 0 当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|. ③a·a=|a| 或|a|= a·a= a . ④cos θ = 2 2 a·b . |a||b| ⑤|a·b|≤|a||b|. (4)向量数量积的运算律 ①a·b=b·a(交换律). ②(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(结合律). ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). [问题思考] (1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么? 提示:平面向量的数量积是关于两个向量间的运算,其运算结果是一个实数,这个实数 的符号由两向量夹角的余弦值来确定. 向量的数乘是实数与向量间的运算, 其结果是一个向量, 这个向量与原向量是共线向量. (2)数量积 a·b 与实数乘法 ab 的区别是什么? 提示:①在实数中,若 a≠0,且 ab=0,则 b=0,但在数量积中,若 a≠0 且 a·b=0, 不一定能推出 b=0,这是因为|b|cos_θ 有可能为 0,即 a⊥b. ②在实数中|ab|=|a||b|,但在向量中|a·b|≤|a|·|b|. (3)a⊥b 与 a·b=0 等价吗? 提示:当 a 与 b 为非零向量时,两者等价;当其中一个为零向量时,两者不等价. (4)a·b<0,则〈a,b〉是钝角吗? 提示:a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉<0, ∴cos〈a,b〉<0,∴〈a,b〉是钝角或 180°. (5)a·b 中的“·”能省略不写吗? 提示:不能省略,也不能换成其它符号,a 与 b 的数量积又称 a 与 b 的点乘. (6)对于向量 a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗? 提示:不一定成立,∵若(a·b)·c≠0,其方向与 c 相同或相反,而 a·(b·c)≠0 时 其方向与 a 相同或相反,而 a 与 c 方向不一定相同,故该等式不一定成立. [课前反思] (1)向量数量积的定义: (2)向量数量积的几何意义: (3)向量数量积的性质: ; (4)向量数量积的运算律: ; ; . [思考 1] 要求 a·b,需要知道哪些量? 名师指津:要求 a·b,需要知道|a|、|b|、cos_θ . [思考 2] 你认为,求平面向量数量积的步骤是什么? 名师指津:求平面向量数量积的步骤为: (1)求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0,π ]; (2)求|a|和|b|; (3)代入公式求 a·b 的值. 讲一讲 1. (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, 且|a|=4, |b|=2, 求: ①a·b; ②(a+b)·(a -2b). (2)设正三角形 ABC 的边长为 2, 求 a·b+b·c+c·a. [尝试解答] (1)①由已知得 a·b=|a||b|cos θ =4×2×cos 120°=-4. ②(a+b)·(a-2b)=a -a·b-2b =16-(-4)-2×4=12. (2)∵|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b、b 与 c、c 与 a 的夹角均为 120°, ∴a·b+b·c+c·a= 2× 2×cos 120°×3=-3. 2 2 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向 量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律, 向量的加、 减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 练一练 1.已知正方形 ABCD 的边长为 2,分别求: [思考] 如何求向量的模|a|? 提示:|a|= a·a. 讲一讲 2.(1)已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=1,则|a-3b|=________. (2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a+b|= 10,则|b|=________. [尝试解答] (1)因为 a·b=0,|a|=1,|b|=1, 所以|a-3b|= (a-3b) = a -6a·b+9b = 1 +9×1 = 10. (2)因为|2a+b|= 10, 所以(2a+b) =10, 所以 4a +4a·b+b =10, 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|=1, 所以 4×1 +4×1×|b|× 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +|b| =10, 2 整理得|b| +2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去). 答案:(1) 10 (2) 2 向量模的常见求法 在求向量的模时,直接运用公式|a|= a·a,但计算两向量的和与差的长度用|a±b| =

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