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2014年石家庄质检二文科数学试题(扫描版)及答案


2014 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 高三数学(文科答案) 一、 选择题:
1-5CCDCA 6-10DACCB 11-12DC

二、 填空题:
13. 6 15. 9 3 14. 3 . 16. ___ (2, 2015) _______

三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生 除标准答案的其他解法,参照标准酌情设定,且只给整数分)
17.解:(1)由正弦定理得 (2sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A ? 0, ……………………………………2 分

? 2sin C cos B ? sin( A ? B) ? 0,?sin C (2cos B ?1) ? 0 …………4 分

1 ? ? sin C ? 0,? cos B ? ,? B ? 2 3 ……………………………………6 分
(2)?b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B …………………………8 分
2 2 2 2

? b ? 7, a ? c ? 13, B ? ?S ?

?
3

? ac ? 40 ………………………………10 分

1 ac sin B ? 10 3 2 ……………………………………12 分

? 60% 18. 解 : ( Ⅰ ) 由 已 知 , 100 位 顾 客 中 购 物 款 不 低 于 100 元 的 顾 客 有 n ? 1 0 ? 3 0 ? 1 0 0 , n ? 20 ;…………………………………2 分

m ? 100 ? ? 20 ? 30 ? 20 ?10? ? 20 .……………………3 分
该商场每日应准备纪念品的数量大约为 (II)设购物款为 a 元 当 a ? [50,100) 时,顾客有 5000 ? 20%=1000 人, 当 a ?[100,150) 时,顾客有 5000 ? 30%=1500 人, 当 a ?[150, 200) 时,顾客有 5000 ? 20%=1000 人,

5000 ?

60 ? 3000 .………………5 分 100

当 a ?[200, ??) 时,顾客有 5000 ?10%=500 人,…………………………7 分 所以估计日均让利为

75 ? 6% ?1000+125 ? 8% ?1500 ? 175 ?10% ?1000 ? 30 ? 500
…………10 分 ? 52000 元……………12 分 19. 解: (1)取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ, ∵AN=BN∴ NQ ? AB , ……………2 分 ∵ PA ? 面 ABC ,∴ PA ? AB ,又 MQ ∥ PA ∴ MQ ? AB ,………………4 分 所以 AB⊥平面 MNQ,又 MN ? 平面 MNQ ∴AB⊥MN………………6 分 (2)设点 P 到平面 NMA 的距离为 h, ∵ M 为 PB 的中点,∴ S△PAM = Q

1 1 S △ PAB ? 2 4

又 NQ ? AB , NQ ? PA ,∴ NQ ? 面PAB , ∵ ?ABC ? 30? ∴ NQ ?

3 ……………………………7 分 6 3 2 3 , AN ? , AM ? , 3 2 3

又 MN ?

NQ 2 ? MQ 2 ?

……………………………………………………………………………9 分 可得△NMA 边 AM 上的高为

30 , 12

∴ S △ NMA ?

1 2 30 15 ………………10 分 ? ? ? 2 2 12 24


由 VP? NMA ? VN ?PAM ∴h ?

1 1 ? S △ NMA ? h ? ? S △ PAM ? NQ 3 3

5 ……………………12 分 5

20.解: (Ⅰ)设动圆圆心坐标为 C ( x, y) ,根据题意得

x 2 + ( y - 2) 2 =
2

y 2 + 4 ,……………………2 分

化简得 x = 4 y . …………4 分 (Ⅱ)解法一:设直线 PQ 的方程为 y = kx + b ,

由? í

ì ? x2 = 4 y 2 消去 y 得 x - 4kx - 4b = 0 ? ? ? y = kx + b ì ? x1 + x2 = 4k 2 ,且 D = 16k + 16b ……………6 分 ? x x = 4 b ? ? 1 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? í

以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 1 x1 x - x12 2 4 1 1 x2 x - x2 2 2 4

同理过点 Q 的切线的方程为 y =

设两条切线的交点为 A( xA , yA ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,

ì x + x2 ? ? xA = 1 = 2k ? ? 2 ? ,即 A(2k , - b) Q x1 ? x2 ,解得 í ? x1 x2 ? yA = =-b ? ? 4 ? ?
则: 2k + b - 2 = 0 ,即 b = 2 - 2k ……………………………………8 分 代入 D = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32 - 32k = 16(k - 1)2 + 16 > 0

\ | PQ |=

1 + k 2 | x1 - x2 |= 4 1 + k 2 k 2 + b

A(2k , - b) 到直线 PQ 的距离为 d =

| 2k 2 + 2b | k2 + 1

…………………………10 分

\ SD APQ =
2

1 | PQ | ? d 2
3 2

3

4 | k2 + b |? k2
2 3 2

b = 4(k 2 + b) 2

= 4(k - 2k + 2) = 4[(k - 1) + 1]

\ 当 k = 1时, SDAPQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) . …………12 分
2 解法二:设 A( x0 , y0 ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 在抛物线 x = 4 y 上,

则以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 x1 x - y1 2 1 x2 x - y2 …………………………6 分 2

同理以点 Q 为切点的方程为 y =

ì 1 ? ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 设两条切线的均过点 A( x0 , y0 ) ,则 í , ? 1 ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 ? ?

\ 点 P, Q 的坐标均满足方程
y0 = 1 1 xx0 - y ,即直线 PQ 的方程为: y = x0 x - y0 ……………8 分 2 2

代入抛物线方程 x 2 = 4 y 消去 y 可得:

x2 - 2x0 x + 4 y0 = 0
\ | PQ |= 1 + 1 2 1 x0 | x1 - x2 |= 1 + x0 2 4 x0 2 - 16 y0 4 4
|

1 2 x0 - 2 y0 | 2 ………………10 分 A( x0 , y0 ) 到直线 PQ 的距离为 d = 1 2 x0 + 1 4

\ SD APQ =

1 | PQ | ? d 2
3

1 2 | x0 - 4 y0 | ? x0 2 2
3

4 y0 =

1 2 ( x0 - 4 y0 ) 2 2

3

1 1 = ( x0 2 - 4 x0 + 8) 2 = [( x0 - 2)2 + 4]2 2 2

\ 当 x0 = 2 时, SDAPQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) .…………12 分
21.解: (Ⅰ)依题意 f ?( x ) ?

1 1 ? a, f ?( ) ? 2 ? a ? 0 ,则 a ? ?2, ………………2 分 x 2

经检验, a ? ?2 满足题意.…………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 2, 则 F ( x) ? ? x2 ? ln x ? x,

1 2? x 2 ? x ? 1 F '( x) ? 2? x ? ? 1? ? .………………………6 分 x x
令 t ( x) ? 2? x2 ? x ?1 。? ? ? 0 时,?? ? 1 ? 8? ? 0 , 方程 2? x ? x ? 1 ? 0 有两个异号的实根,设为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,? x ? 0,? x1 应舍去.
2

则 F ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增. 且当 x ? 0 时, F ( x) ? ?? ,当 x ??? 时, F ( x) ? ?? , 所以当 x ? x2 时, F ?( x2 ) ? 0, F ( x) 取得最小值 F ( x2 ) .

? F ( x) 有唯一零点,则 F ( x2 ) ? 0 .……………………8 分

则?

?? x 2 ? ln x2 ? x2 ? 0 ? F ( x2 ) ? 0 ? ,即? 2 2 . 2 ? x ? x ? 1 ? 0 ? ? F ?( x2 ) ? 0 ? 2 2

x2 1 x 1 ? ? ln x2 ? x2 ? ? ln x2 ? 2 ? 0 .……………10 分 2 2 2 2 1 x 1 1 又令 p( x ) ? ? ln x ? . p '( x) ? ? ? ? 0 ( x ? 0 ) 。故 p ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,注意到 p(1) ? 0 。 2 2 x 2
2 得 F ( x2 ) ? ? x2 ? ln x2 ? x2 ?

故 x2 ? 1 .得 ? ? 1 .…………………12 分 请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 解: (1)因为 AB 为圆 O 一条直径,所以 BF ? FH ,…………2 分 又 DH ^ BD , 故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 BH 为直径的圆上 所以, B 、 D 、 F 、 H 四点共圆。……………4 分 (2)因为 AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得

AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2

?

?

2

? 2 ? AD ,

AD =4 ,………………6 分 1 所以 BD = ? AD ? AC ? ? 1,BF ? BD ? 1 2 又 ?AFB ? ?ADH , DH AD ? 则 , 得 DH ? 2 ……………8 分 BF AF 连接 BH ,由(1)可知 BH 为 D BDF 的外接圆直径

3 ……………10 分 2 23.解:(1)由 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,可得 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 2 x ,……………2 分

BH ? BD2 ? DH 2 ? 3 ,故 D BDF 的外接圆半径为

标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

曲线 C 的极坐标方程化为参数方程为 ?

? ? x ? ?1 ? 2 cos ? ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

??为参数? ………5 分

? 2 t ? x ? ?2 ? p ? 2 , (2)当 a = 时,直线 l 的方程为 : ? 4 ?y ? 2 t ? ? 2 化成普通方程为 y ? x ? 2 ……………………………7 分
? x2 ? y2 ? 2 y ? 2x ? x ? 0 ? x ? ?2 由? ,解得 ? 或? …………………………9 分 ?y ? x ? 2 ?y ? 2 ?y ? 0
所 以 直 线

l





线

C



















? k ? Z? ; ? 2, ? ? ???? , ? k ? Z? .………………………………10 分
24.解: (1)当 a = 1时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 | x + 1| + | 2 x - 1| 2 ①当 x ?

? ? ? ? 2, ? 2k ? ? ? 2 ?



1 2 2 时,不等式为 3 x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3

②当 ?1 ? x ?

1 时,不等式为 2 - x 2

2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ;

③当 x ? ?1 时,不等式为 - 3 x

2 ,解得 x ? ?

2 ,故 x ? ?1 ;……………4 分 3

综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? ………………5 分 3?

(2)因为 f ( x) ? 2 x 的解集包含 犏,1 不等式可化为 | x + a | 1 ,………………………………7 分 解得 ?a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ,

轾 1 犏 2 臌

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2 ,…………………………………9 分 ? ??a ? 1 ? 1 3 解得 ? ? a ? 0 2 ? 3 ? 所以 a 的取值范围是 ? ? , 0 ? .……………………………10 分 ? 2 ?


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