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高中数学 2.2.2《双曲线的简单几何性质》课件 新人教选修1-1


2.2.2《双曲线的简单几何性质》

教学目标
? 知识与技能目标 ? 了解平面解析几何研究的主要问题:(1) 根据条件,求出表示曲线的方程;(2)通 过方程,研究曲线的性质.理解双曲线的 范围、对称性及对称轴,对称中心、离心 率、顶点、渐近线的概念;掌握双曲线的 标准方程、会用双曲线的定义解决实际问 题;通过例题和探究了解双曲线的第二定 义,准线及焦半径的概念.

P56

? 过程与方法目标 ? (1)复习与引入过程 ? 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的 方法,在本节课中不仅要注意通过对双曲线 的标准方程的讨论,研究双曲线的几何性质 的理解和应用,而且还注意对这种研究方法 的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和 非负实数的概念能得到双曲线的范围;②由 方程的性质得到双曲线的对称性;③由圆锥 曲线顶点的统一定义,容易得出双曲线的顶 点的坐标及实轴、虚轴的概念;④应用信息 技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问 题;⑤探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心 率

一.复习引入
? 1.双曲线的定义是怎样的?





2双曲线的标准方程 形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上,( 2 c,0)) 形式二: y 2
x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 a ? b ? c
2 2 2

? 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ? ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想:我们是怎样研究上述性质的?
?

双曲线是否具有类似的性质呢?

一、双曲线的简单几何性质
y
Q B2 A1 N M

?1.范围:

两直线x=±a的外侧
? x2.对称性:

O

b A2 a
B1

关于x轴, y轴,原点对称

原点是双曲线的对称中心
x y - 2 =1 2 a b
2 2

对称中心叫双曲线的中心
﹙a> 0,b>0﹚

一.双曲线的简单几何性质
y
B2 N Q M

?3.顶点::
x

A1

O

bA2 a
B1

(1)双曲线与x轴的两个交A1 (-a,0), A2 (a,0)叫双曲线的顶点
?

(2)实轴:线段A 1 A2
x y - 2 =1 2 a b
2 2

实轴长:2a

虚轴:线段B1 B2 虚轴长:2b
﹙a> 0,b>0﹚

y
N Q M B2 A1

?4.渐进线:
(1)渐进线的确定:矩形的对角线
b
bA2 a
B1

(2)直线的方程: y=±- a x
x

O

渐渐接近但永不相交

x2 y 2 - 2 =1 2 a b

﹙a> 0,b>0﹚

?

y
B2 A1

?5.离心率
N Q M

(1)概念:焦距与实轴长之比

c (2)定义式: e=-
x

O

bA2 a
B1

(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
b k= = a c2 - a2 = a e2 - 1

a

即:e越大,渐进线斜率越大, 其开口越阔.

L!

图形

A1

.
y2 = 1 2 b

y
B

O B1

.

L
A

x

.

y
B
o

A1

A

.

x

B1

方程 范围

x2 + 2 a

(a>b>0)

直线x= + a,和y=+b所围成的矩形里

对称性 关于X轴、Y轴、原点都对称。
1(0,-b) 1 顶点 A(a,0) A(-a,0),B(0,b),B c e (0<e<1) 离心率 = a

准线

一.双曲线的简单几何性质 2. 对称性 : ?3.顶点: 实轴,虚轴 ?1.范围? : y
N Q M B2 A1 O

?4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线 b

bA2 a
B1

(2)直线的方程: y=±-x
a

c ?5.离心率: (1)概念: (2)定义式: e=-
(3)范围: e>1 (4)双曲线的形状与e的关系

a

x y - 2 =1 2 a b
?

2

2

b c2 - a2 k= = = e2 - 1 a a

即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.

例题1:求双曲线 9 y ?16x ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2

焦点坐标,离心率,渐近线方程。 2 2 y x 把方程化为标准方程得 , 解: ? 2 ?1 2 4 3 可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3 半焦距: c ? 4 ? 3 ? 5 焦点坐标是: (0,-5),(0,5) c 5 离心率: e ? ? a 4
2 2

4 x 渐近线方程: y ? ? 3

例题讲解
例2、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B

解 如图2.2 ? 8?2?, 建立直 角坐标系 xOy, 使小圆的直 径AA`在x轴上, 圆心与原点 重合.这时, 上、下口的直径 CC `, BB` 都平行于 x 轴 , 且 | CC `|? 13? 2, | BB`|? 25 ? 2.
设双曲线的方程为

y
C` A` O

13
12

C A

x

B`

25

B

?2 ?
图 2 .2 ? 8

则点B的坐标为?25, y ? 55?.

x2 y 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? , 令点C的坐标为?13, y ?, 2 a b

因为点B, C 在双曲线上, 所以

13 25 C` C ? ? ? ? 1 , 1 12 122 b2 A` O A 2 2 13 y ?2? ? 2 ?1. 2 12 b 25 B` 5b ?负值舍去 ?, 由方程 ?2? , 得y ? 12 ?2 ? 2 ? 5b ? 图 2 .2 ? 8 ? 55 ? ? 2 25 ? 12 ? 代入方程?1?, 得 2 ? ? 1, 化简得 2 12 b 19b 2 ? 275b ? 18150? 0.用计算器解得 b ? 25.

2

? y ? 55?2

y

x

B

x2 y2 所以, 所求双曲线的方程为 ? ? 1. 144 625

例 3 点 M ? x, y ? 到定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 16 5 l : x ? 的距离的比是常数 , 求点 M 的轨迹. 5 4 解 设d是点M到到直线l的距离, 所求轨迹就是

? | MF | 5 ? d H 集合P ? ? M ? ?, M d 4? ? O F 2 2 ?x ? 5? ? y 5 由此得 ? . 16 4 ?x 图2.2 ? 9 5 将上式两边平方, 并化简 , 得 9 x 2 ? 16 y 2 ? 144 ,

y

x

x2 y2 即 ? ? 1. 16 9 所以, 点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、的双曲线 6 .

练习:.求一渐进线为3x+4y=0,一个

焦点为(5,0)的双曲线的标准方程.

考点突破

(学生用书 P34)

1.渐近线方程与双曲线方程. (1)已知双曲线的渐近线方程为 mx± ny= 0,求双曲线方 程,双曲线的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,为避免讨 论,可设双曲线的方程为 m2x2-n2y2= λ(λ≠ 0). x2 y2 x2 y2 (2)与 2- 2= 1 共渐近线的双曲线的方程可设为 2- 2= a b a b λ(λ≠ 0).当 λ>0 时,双曲线焦点在 x 轴上, λ<0 时,焦点在 y 轴上.

2.等轴双曲线. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.中心在原点, 坐标轴为对称轴的等轴双曲线的几何性质. (1)a=b, c= 2a. c (2)e= = 2. a (3)渐近线方程为 y=± x. (4)等轴双曲线的标准方程可设为 x2-y2= λ(λ≠ 0).

典例剖析

(学生用书 P34)

题型一 【例 1】

已知渐近线,求双曲线的方程 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴,

且与圆 x2+ y2= 17 相交于点 A(4,- 1),若圆在 A 点的切线与 双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.

[解]

根据已知条件可求得圆 x2+y2= 17 在点 A(4,-1)

处的切线方程为 4x-y=17. 由于双曲线的渐近线过原点且与切线平行,可得渐近线 方程为 4x± y= 0.故可设双曲线方程为 16x2- y2=λ(λ≠0) ∵双曲线经过点 A(4,-1), ∴ λ=16×42-(-1)2=255. 16 2 1 2 ∴所求双曲线的方程为 x - y = 1. 255 255

【变式训练 1】 求与双曲线 x2-2y2= 2 有公共渐近线, 且过点 M(2,-2)的双曲线的方程.

x2 2 解 设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线的方程 2 x2 2 22 为 - y =λ,将点(2,-2)代入得 λ= -(- 2)2=-2.∴双曲 2 2 y2 x2 线的标准方程为 - = 1. 2 4

题型二

双曲线的几何性质

【例 2】 (2010· 浙江)设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲 x2 y2 线 2- 2=1(a>0, b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满 a b 足∠ F1PF2= 60° , |OP|= 7 a ,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x± 3y= 0 C.x± 2y= 0 B. 3x± y=0 D. 2x± y=0

[解析] 方法 1:在△F1PF2 中,根据余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2 = 4c2 又 ||PF1 |- |PF2||=2a,平方得 |PF1|2-2|PF1||PF2 |+|PF2|2= 4a2 ①-②得 |PF1|· |PF2|=4b2, 将③代入②得 |PF1|2+|PF2|2=4a2+8b2. → → → 又 2PO=PF1+PF2, ② ③ ①

→ → → → → ∴ 4|PO|2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos∠ F1PF2. ∴ 28a2= 4a2+ 8b2+ 4b2. ∴ 2a2=b2,即 b= 2a. b ∴双曲线的渐近线方程是 y=± x=± 2x, a 即 2x± y=0.

方法 2:由题可知 ? → 2 → 2 |PF2|· cos60° = 4c2, ?|PF1| + |PF2| - 2|PF1|· ?① ? ?||PF1|- |PF2||= 2a, ? ?② ①-② 2 得 |PF1|· |PF2 |= 4b2, 设 P(x, y)在双曲线上,则|OP|2= x2+ y2= 7a2. → → 又PF1· PF2= (- c- x,- y)(c- x,-y)

= x2+ y2- c2= 7a2- c2, → → → → PF1· PF2= |PF1||PF2|cos∠ F1PF2 1 = 4b2× = 2b2, 2 ∴ 7a2- c2= 2b2,将 c2= a2+ b2 代入,得 b2= 2a2,即 b= 2a, ∴双曲线的渐近线方程是 y= ± 2x, 即 2x± y= 0.

[答案]

D

= x2+ y2- c2= 7a2- c2, → → → → PF1· PF2= |PF1||PF2|cos∠ F1PF2 1 = 4b2× = 2b2, 2 ∴ 7a2- c2= 2b2,将 c2= a2+ b2 代入,得 b2= 2a2,即 b= 2a, ∴双曲线的渐近线方程是 y= ± 2x, 即 2x± y= 0.

[答案]

D

四.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称 性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率

2.几何性质的应用


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