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高中数学三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修


三角函数模型的简单应用

例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温 度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+ ? )+b. (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y 30 20 10 0 6 10 14 x

解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数 y=Asin(ωx+ ?)+b的半个周期的图象,所以 A= (30-10)=10, b= (30+10)=20, ∵
1 2? ? ? 14 ? 6, 2 ?
1 2 1 2

? ? ?

?
8

.

将x=6,y=10代入上式,解得
综上,所求解析式为
3? y ? 10 sin( x ? ) ? 20, x ? [6,14]. 8 4

3? ?? 4

?

例2 画出函数 y ? sin x 的图象并观察其 周期。
y

-3π

-2π



0

π





x

y

-3π

-2π



0

π





x

解:函数图象如图所示。 从图中可以看出,函数 y ? sin x 是以π为 周期的波浪形曲线。 我们也可以这样进行验证: 由于 sin(x ? ? ) ? ? sin x ? sin x , 所以,函数 y ? sin x 是以π为周期的函数。

例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度 ? 角为θ,δ为此时太阳直射纬度, 为该地 的纬度值,那么这三个量之间的关系是 0 ? ? 90 ? ? ? ? . 当地夏半年δ取正值, 冬半年δ取负值。 如果在北京地区(纬度数约为北纬400) 的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新 楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少?

Φ-δ θ

φ

δ

太阳光

解:如图,A、B、C分别为太阳直射北回归 线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影 点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面 的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况 考虑,此时的太阳直射纬度为-23026’.依题意 两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义,有
?C ? 90 ? 40 ? (? 23
0 0 0

26 ) ? 26 34 ,

'

0

'

所以
MC ?

h

0

tan C

?

h ? 2.000 h tan 26 34
0 0 '

0

即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要 留出相当于楼高两倍的间距。

总结提炼

(1) 三角应用题的一般步骤是: ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的 数学模型. ③求解:利用三角形,求得数学模型的解. ④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从 而得出实际问题的解.即解三角应用题的基本思路

现实问题

是否符合实际 修改

现实模型的解
还原 说明

改 造 抽象 概括

三角函数模型的解
数学 方法

解析式 图 形

现实模型

三角函数模型

海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。

圣米切尔山

涨潮

落潮

例4: 某港口在某季节每 天的时间与水深关系表:
时刻 0:00 5.0 3:00 7.5 6:00 5.0

水深/米
时刻

9:00
2.5 18:00 5.0

12:00
5.0 21:00 2.5

15:00
7.5 24:00 5.0

水深/米

潮汐对轮船进出港 口产生什么影响?

时刻

水深/米

某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
7 .5 0 5 .0 0 2 .5 0

时刻

0:00 5.0

3:00 7.5

6:00 5.0

水深/米
时刻

9:00
0 3

12:00
9 12

15:00
21 24

水深/米
时刻

2.5

6

5.0

15

18

7.5 24:00

18:00

21:00

1.大约什么时间港口的水最深?深度约是多少?大约什 水深/米 5.0 2.5 5.0 么时间港口的水最浅?深度约是多少? 2.在什么时间范围内,港口的水深增长?在什么时间 范围内,港口的水深减少? 3.试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情 况。(作出这些数据的散点图)

4.用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函 数关系.

7 .5 0
A B C D

5 .0 0 2 .5 0

xA = 0.3848 xB = 5.6152 xC = 12.3848 xD = 17.6152
21 24

0

3

6

9

12

15

18

5.给出在整点时的水深的近似数值;(精确到0.001) 6.一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船 何时能进入港口?在港口能呆多久?

7.若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在 2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么 该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

7 .5 0 7 .5 0 5 .0 0 5 .0 0 2 .5 0 2 .5 0 0 3 0 2 3 6 6

P

9 9

12 12

15 15

18 18

21 21

24 24

再见!


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