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贵州省安顺市平坝第一高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(新)

平坝第一高级中学 2015-2016 学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符号题目要求的) 1.等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, a4 =4,则{ an }的公比 q 的值为( A.-2 B.1 C.2 D. 3 )

2. 如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几 何体是( ) A.棱柱 C.棱柱与棱锥的组合体 3. 在数列{ a n }中, 若 a1 =1,a n =1+ B.棱台 D.不能确定

1 , 则 a 3 =( (n ? 2) a n-1
C.2 ) C. (?4, 2)



A.1 4.不等式

B.

13 6

D.

3 2

2? x ? 1 的解集是( x?4
B. ( ?4, ?1)

A. ? ??, ?1?

D. (?4, ??)

2 5.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ( ?

A.10

B. ? 10

1 1 , ) ,则 a ? b =( 2 3
C.14

) D. ? 14

6.若实数 a , b ? R 且 a ? b ,则下列不等式恒成立的是(
2 2 A. a ? b

) D. lg(a ? b) ? 0

B.

a ?1 b

a b C. 2 ? 2

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. C.4π +1

B. D.4π +8

8. 已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的根,则第三
2

1

边长是( A

) . 20 B. 21 C. 22 D. 61

9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D .9

10.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 (a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? ac ,则 角 B 的值是( ) A.

?

3

B.

?

6

C.

? 5? 或 6 6

D.

?

3



2 π 3

11.定义

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn 的“均倒数” ,若已知正项数列 ?an ? 的 p1 ? p2 ? ? ? pn a 1 1 1 1 前 n 项的“均倒数”为 ,又 bn ? n ,则 ) ? ??? ?( b1b2 b2b3 b10b11 5 5n 8 9 10 11 A. B. C. D. 17 19 21 23

12.若数列 ?an ? 满足 已知正项数列 ? A.2

1 p . ? ? 0 , n ? N * , p为非零常数 ,则称数列 ?an ? 为“梦想数列” an?1 an


?1? ,且 b1b2b3 ?b99 ? 299 ,则 b8 ? b92 的最小值是( ? 为“梦想数列” ? bn ?
B.4 第 II 卷(非选择题 C.6 共 90 分) D.8

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a5 = .

14.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图△A′ O ′ B′ ,则△AOB 的面积是________.

15. 据新华社报道,201 5 年强台风“彩虹”强势来袭 ,10 月 4 日上午将登陆琼粤沿海,大风降雨 给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断。某路边一棵树被台风吹断后,树的上半部分折成 与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点 与树干底部的距离是________. 16.已知 x ? 0, y ? 0 ,且

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是_ x y
2

三、解答题(本大题 共 70 分,请写出必要的解题过程与演算步骤) 17. (本小题满分 10 分 ) 已知 a ? 0, b ? 0 ,判断 a 3 ? b3 与 a 2b ? ab2 的大小,并证明你的结论.

18. (本小题共 12 分) 已知 a, b, c ? 0 ,求证: a ? b ? c ?

ab ? bc ? ac

19. (本小题满分 12 分) 若 x ? 0 ,求函数 f ?x ? ?

x 的最大值及取得最大值时的 x 的值. x ? 2x ? 4
2

20. (本小题共 12 分) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、B、C 所对的边. (Ⅰ)若 a, b, c 成等差数列,求

sin A ? sin C 的值; sin B

(Ⅱ)若 a, b, c 成等比数列,求角 B 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? ,

?1 1 ? 3 ? , n ? ?1, y ? , m ∥ n ,且有函数 y ? f ( x) . sin x ? cos x ?2 2 ? 2 ? ? (1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期; (2)在知锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 21 ? 且 f ( A ? ) ? 3 , a ? 7 , sin B ? ,求 b 边的长及 ?ABC 的面积 7 3

3

22. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 1 n ? N ? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

?

?

n , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 1 ? Tn ? 4 an

4

平坝第一高级中学 2015-2016 学年度第二学期高一期中考试 数学试卷 --------------------------------------------------参考答案及 评分标准 一、选择题:1—5:CADBD 6---10: CABAC 11—12:CB

二、填空题:13. 9 14. 16 三、解答题:

15.

20 6 3

16. ? 4 ? m ? 2

17. 证明: a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ? a 2 ?a ? b? ? b 2 ?b ? a? ? ?a ? b? ?a ? b? ------5 分
2

从而 ?a ? b? ?a ? b? ? 0 ,——————————————————8 分
2

又 a, b ? 0 ,∴ a ? b ? 0, ?a ? b? ? 0
2
3 3 2 2

?

?

于是 a ? b ? a b ? ab ------------------------------------------10 分 18. 解:? a, b, c ? 0 ,

? a ? b ? 2 ab

b ? c ? 2 bc , a ? c ? 2 ac -------------------------------------6 分 从而 ?a ? b? ? ?b ? c? ? ?a ? c? ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ac ------------10 分
即 2?a ? b ? c? ? 2( ab ? bc ? ac) 于是 a ? b ? c ? 19. 解:? x ? 0,? f ? x ? ?

ab ? bc ? ac ,当 a ? b ? c 时,等号成立---12 分
x ? x ? 2x ? 4
2

1 1 1 ? ? -----8 分 4 6 x? ? 2 2 x? 4 ? 2 x x

1 --------------------------------------------------9 分 6 4 1 2 当 x ? , 即x ? 4, 即x ? 2时,f ?x ? 取得最大值 -----------------1 2 分 x 6
从而 f ? x ?max ? 20.解(Ⅰ)? a, b, c成等差数列, ? a ? c ? 2b ,———————————2 分

sin A ? sin C a ? c 2b ? ? ? 2 ,-------------------------6 分 sin B b b (Ⅱ) ? a, b, c成等差数列, ? ac ? b 2 ,——————————————8 分
在△ABC 中,

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ?c 2 ?ac ac 1 ? ? ? ——10 分 又? a, b, c ? 0,? cos B ? 2ac 2ac 2ac 2 ? ?? 又 B ? ?0, ? ?, 于是 B ? ? 0, ? ,———————————————— 12 分 ? 3? ?1 ? 1 3 cos x ? 21. 解:⑴ 由 m ∥ n 有 y ? ? sin x ? ? ? ? 0 ,———————————2 分 2 2 ?2 ?

即 y ? 2 sin ? x ?

?? ? ?, ? f ?x ? ? 2 sin ? x ? ?, ——————————————— 4 分 3? 3? ? ?函数 f ?x ? 的最小正周期为 2? ,————————————————————5 分
? ?

??

3 ,————————————6 分 ? ? 2 sin A ? 3 , sin A ? 2 3? 21 7? a sin B 21 7 ? 2 —————-8 分 ? 由 a ? 7, 及正弦定理有 b ? sin B ? sin A 7 3 2 1 2 2 2 △ABC 为锐角三角形,所以 cos A ? ,又 a ? b ? c ? 2b ? c ? cos A , 2 2 ∴ c ? 2c - 3 ? 0,c ? 3 ,———————————————————————10 分
⑵由⑴知 f ? A ? 从而 S ?ABC ?

? ?

??

1 1 3 3 3 ,—————————————12 分 bc sin A ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 2 2

22. ⑴? S n ? 2an ? 1 ① 从而有 S n-1 ? 2an-1 ? 1?n ? 2? ② ①-②有: S n - S n?1 ? 2an ? 2an?1 ?n ? 2? , 即 an ? 2an ? 2an?1 ?n ? 2?,亦即 n ? 2 时, 故数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列,

an ? 2 ,——————————— 3 分 a n ?1

又? S1 ? 2a1 ? 1,? a1 ? 1 ,? an ? 2 n?1 n ? N ? —————————————5 分 ⑵由⑴有 bn ?

?

?

n ?1? ? n?? ? an ?2?
2

n ?1

1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?
2 3

3

n ?1


n ?1

1 1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? 2 2 ? 2? ?2? ? 2?
③-④得: Tn ? 1 ?
n

?1? ? n? ? ④————7 分 ? 2?
n

n

1 2

1 ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?

2

3

n ?1

?1? - n? ? ————————8 分 ? 2?

?1? 1- ? ? n 1 n?2 2? ?1? ? - n? ? ,从而有 Tn ? 4 - n ?1 ————————————9 分 即 Tn ? 1 2 2 ?2? 1? 2 n?3 ? n ? 2 ? n ?1 ?Tn ? 是递增数列, ? Tn?1 - Tn ? 4 - n ? ? 4 ? n?1 ? ? n ? 0 ,? 数列 2 2 ? 2 ? n?2 ?Tn ? T1 ? 1 ,又 n ?1 ? 0,? Tn ? 4 ,于是: 1 ? Tn ? 4 .————————12 分 2


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