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最新双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)汇编_图文

1、我们知道 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|) 的点的轨迹是 椭圆 Y M ? x, y ? 2. 引入问题: F1 ?? c, 0 ? O F2? c, 0 ? X 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a 上面 两条曲线合起来叫做双曲线 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) F 双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. | |MF1| - |MF2| | = 2a (2a< |F1F2|) ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 思考: (1)若2a= |F1F2|,则轨迹是?(1)两条射线 F1 M o F2 (2)若2a> |F1F2|,则轨迹是?(2)不表示任何轨迹 生活中的双曲线 双曲线型自然通风冷却塔 迪拜双曲线建筑 生活中的双曲线 如何求双曲线的标准方程? 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立直角 y P 坐标系 设P(x , y),双曲线的焦 2.设点. 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a 3.列式. |PF1 F1 o F2 x - PF2|= 2a (x-c)2 + y2 | = 2a 即 | (x+c)2 + y2 4.化简. 移项两边平方后整理得: cx ? a ? ?a ? x ? c ? ? y 2 两边再平方后整理得: 2 2 ?c 2 ?a 2 ?x 2 ? a y ? a ?c ? a 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 由双曲线定义知: 2c ? 2a ?c ? a ? 0 设 2 2 c ? a ? b ? b ? 0? 代入上式整理得: x 2 y ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b 2 想一想 焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么 y F2 2 y 2 a - 2 x 2 b = 1 o F1 x (a ? 0,b ? 0) 双曲线的标准方程: y y M F2 焦 点 在 轴 上 x F1 2 O M F2 x O F1 焦 点 在 x 轴 上 y x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 2 c ? a ? b ?a ? 0, b ? 0? 2 y x ? 2 ?1 2 a b 2 2 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y M y M F2 F ( ±c, 0) F1 o F2 x F1 x y2 x2 ? 2 ?1 2 a b F(0, ± c) 焦点在x轴上 焦点在y轴上 问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? x2与y2的系数符号,决定焦点所在的坐标轴,x2,y2 哪个系数为正,焦点就在哪个轴上,双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y M y M F2 F ( ±c, 0) F1 o F2 x F1 x y2 x2 ? 2 ?1 2 a b F(0, ± c) c 2 ? a 2 ? b 2 ?a ? 0, b ? 0? 练习:写出以下双曲线的焦点坐标(请注意焦点的位置) x2 y2 1. ? ?1 16 9 y2 x2 2. ? ?1 16 9 F(±5,0) F(0,±5) 例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双 曲线的标准方程. 解:? 6 ? 10 ? 点P的轨迹为双曲线 根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为: x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b ∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16 x2 y2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 9 16 课堂练习 1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1) a=4 ,b=3 , 焦点在x轴上. 2 2 x y 解:双曲线的标准方程为 ? ?1 16 9 2)a= 15 ,c=4 ,焦点在坐标轴上. 解? b ? c ? a ? 16 ? 15 ? 1 2 2 2 2 x2 y ? 标准方程为 ? y 2 ? 1或 ? x 2 ? 1 15 15 例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点 的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 2 x y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400 例2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9, 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨 迹方程. 解:设动圆M与圆C1及圆C2分

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