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高中数学第一章计数原理13二项式定理131二项式定理1课后导练新人教A版选修23

1.3.1 二项式定理(一) 课后导练 基础达标 1.(2x A.14 3 1 x ) 的展开式中常数项是( B.-14 3 7-r 7 ) C.42 D.-42 r 解析:由 Tr+1= C7 (2x ) (- 1 x r 2 ) r =(-1) ·2 令 21-3r- r 7-r r · C7 ·x 21?3r ? r =0 2 6 1 得 r=6.故常数项为 6 T7=(-1) ·2 · C 7 =14,故选 A. 2.(x+2) (x -1)的展开式中 x 的系数为_____________(用数字作答). 10 解析:由 x 项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数,应为如下表搭配: x -1 常数项:-1 x 的系数:1 2 10 2 10 2 10 (x+2) 10 0 x 的系数: C10 2 x 的系数: C10 ·2 8 2 2 0 因为,x 项的系数是 4 C10 - C10 =179. 10 3.若在(1+ax) 的展开式中,x 的系数为-80,则 a=______________. r r r r 3 3 解析: 设 x 的项为 Tr+1= C5 (ax) = C5 x 的系数为 C5 可求得 a=-2. a x ,则 r=3.这样, a =-80, 3 r 3 5 3 4.求展开式(x+y+z) 中含 x y z 的项. 6 3 2 解析: (x+y+z) 就是 6 个(x+y+z)相乘,那么为了组成 x y z 的项,可以分三步完成: 3 (1)从 6 个括号中选 3 个括号,抽取 3 个 x( C6 ); 2 (2)从剩下的 3 个括号中,再取 2 个 y( C3 ); 6 3 2 (3)从最后 1 个括号中,抽取 1 个 z( C1 ). 3 2 运用分步计数原理,可知组成一个 x y z 项,选取方式共有 C6 · C3 · C1 =60.所以展开式 3 2 1 1 中 x y z 项的系数为 60,即含 x y z 的项为 60x y z. 5.已知( x ? 不含 x 的项. 1 3 2 3 2 3 2 2 n ) 的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56∶3,求展开式中 x2 4 2 解析: 由已知条件及通项公式得: T5∶T3= ( Cn ·2 ) ∶( C n ·2 )=56∶3 ? n -5n-50=0 ? n=10 4 2 2 或 n=-5(舍). r 设第 r+1 项不含 x,Tr+1= C10 ·2r· x 10 ?5 r 2 ,所以 10 ? 5r =0,解得 r=2. 2 2 所以,不含 x 的项为 T3= C10 ·2 =180. 2 综合运用 6.(2x+ x ) 的展开式中 x 的系数是( 4 3 ) D.48 A.6 B.12 C.24 r 解析:由 Tr+1= C4 (2x) 4?r ( x ) r 4? r ? r 2 r =2 · C4 ?x 4-r . 令4 ? r ? 3 r =3,得 r=2 2 2 2 故 x 的系数为 C 4 ·2 =24,故选 C. 7.若在( 5 x ? 1 n ) 展开式中,第 4 项是常数项,则 n=____________. x 3 n ?3 解析:T4=T3+1= C n (5 x ) 1 2 12 1 3 (? ) 3 ? ?C n x x n ?18 5 .由题意知 n ? 18 =0,得 n=18. 5 8.(1)求( x 2 ? x 3 ) 的展开式的第 5 项. (2)设(a+b) 的展开式中,第 3r 项与第 r+2 项是不同的两项,但系数相等,求第 r 项 的系数. 解析: (1)可直接利用通项公式,得 T5= C ( x ) ? ( x ) ? 495x 4 12 4 1 2 8 2 3 20 3 20 . (2)由通项公式知: 3r ?1 20?3r ?1 3r ?1 T3r= C20 a b , r ?1 19 ?r r ?1 Tr+2= C20 a b . 3r ?1 r ?1 依题意,有 C 20 = C20 ,但 3r-1≠r+1. 故由组合数性质可知,必有 3r-1=20-(r+1),解之得 r=5. 4 所以,T5= C 20 =4 845. 9.将(|x|+ 1 3 -2) 展开,其中值为常数的各项之和等于多少? |x| 2 解析:(|x|+ 1 1 6 3 -2) =( | x | ? ) |x| |x| r 6? r 其通项为 Tr+1= C6 ? ( | x | ) r = C6 ·(-1) ·|x| r 3-r ? (? 1 | x| )r 3 r=3 时,T4= C6 ·(-1) =-20 3 答案:-20 拓展探究 10.求实数(5+ 22 ) 的个位数字. 15 解析:利用二项式定理展开 S=(5+ 22 ) +(5- 22 ) ,得 S 为个位是 0 的整数. 15 15 而 0<5- 22 <1, 所以 0<(5- 22 ) <1, 15 因此实数(5+ 22 ) 的个位数字是 9. 15 备选习题 11.若( x ? A.8 2 3 x ) 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是( C.10 n?r n ) B.9 r D.12 解析:由 Tr+1= C n ( x ) n 5r ? 2 6 (3 2 x )r =2 · C ? x r r n ,令 n 5r ? =0 2 6 即 r= 3n ∈N,则 3n 是 5 的倍数,由选项知,n 只能取 10,故选 C. 5 5 6 7 8 3 12.(2005 浙江高考,理 5)在(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数 是 ( ) A.

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