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高中数学第二章2-1-1直线的斜率课件苏教版必修


第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步

2.1

2.1. 1

理解教材新知

知识点一

知识点二
考点一

直 线 与 方 程

直 线 的 斜 率

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

升高量 日常生活中,常用坡度(坡度= ) 前进量 表示倾斜程度,例如,“进 2 升 3”与“进 3 2 2 升 2”比较,前者更陡一些,因为坡度2>2.

问题1:可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度?

提示:可以.
问题2:上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么 对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量? 提示:可以.

已知两点 P(x1,y1),Q(x2,y2) (1)若 x1=x2,则直线 PQ 的斜率 不存在 . (2)若 x1≠x2,则直线 PQ 的斜率 k=

y 2- y 1 x2-x1 ,还可

纵坐标的增量 以看作是 k= 横坐标的增量

Δy = . Δx

(3)对于一条与 x 轴不垂直的定直线而言,它的斜率 是 一个定值 .

如图,在平面直角坐标系中,给定一条直线l.
问题1:若直线l过点P,直线的位置能够确定吗? 提示:不能. 问题2:过点P可作与l相交的直线多少条? 提示:无数条.

问题3:对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜
程度? 提示:可利用直线相对于x轴的倾斜角度.

(1)在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,
把x轴所在的直线绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合 时所转过的 最小正角 称为这条直线的倾斜角.规定与x轴平 行或重合的直线的倾斜角为 0° . (2)倾斜角α的范围是 0°≤α<180°. (3)当直线与x轴不垂直时,直线的斜率k与倾斜角α之间 满足: k=tan.α

1.对于直线的倾斜角要把握 (1)定义中三个条件①x轴正方向;②直线向上的方

向;③小于180°的非负角.
(2)它直观地描述且表现了直线相对x轴正方向的倾 斜程度. (3)每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程 度相同的直线,倾斜角相等.

2.直线的斜率与倾斜角的关系 (1)从关系式上看:若直线l的倾斜角为α(α≠90°),则 直线l的斜率k=tan α.

(2)从几何图形上看

直线情形

α的大小



0° <α<90°

90°

90° < α< 180°

k=tan α=
k的大小

0

k=tan α

不存在

-an(180° - α)

k的范围

0

k>0

不存在

k<0

图中α是直线l的倾斜角吗?试用α表示图中各 条直线l的倾斜角.

[思路点拨] [精解详析]

明确直线倾斜角概念是解决本题的关键. 设直线l的倾斜角为β,结合倾斜角的定义可知,

图①中α是直线l的倾斜角,即β=α.
图②中α不是直线l的倾斜角,但α与β互补, 即有β=180°-α. 图③中α不是直线l的倾斜角,但α与β是对顶角,故β=α. 图④中α不是直线l的倾斜角,但β=90°+α.

[一点通]

解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围,

结合图形求角时,注意平面几何知识的应用.

1.若直线l的向上方向与y轴的正方向成 30°角,则直线l的 倾斜角为____________. 解析:如图所示,直线l有两种情况,故l的

倾斜角为60°或120°.
答案:60°或120°

2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕原点按逆时 针方向旋转60°,得到直线l′的倾斜角α+60°,则 α的取值范围是 ____________. 解析:由倾斜角的范围知,0°≤α+60°<180°且

0°≤α<180°,
∴0°≤α<120°. 答案:0°≤α<120°

经过下列两点的直线斜率是否存在?如果存在, 求其斜率. (1)P(1,1),Q(-1,-2);

(2)P(-2,-3),Q(-2,3);
(3)P(2,1),Q(m,2).

[思路点拨] [精解详析]

直接用斜率公式求解. -2-1 3 (1)kPQ= = . -1-1 2

(2)∵x1=x2,∴斜率不存在. (3)当 m=2 时,斜率不存在; 2-1 1 当 m≠2 时,kPQ= = . m-2 m-2

y1-y2 [一点通] 使用斜率公式 k= 时,要注意前 x1-x2 提条件 x1≠x2,若 x1=x2,则斜率不存在.当两点的 横坐标有字母时,要先讨论横坐标是否相等再解题.

3.过点 P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m =____________.
m+2 解析:1= ,所以 m=1. 4-m

答案:1

4.已知 A(-1,2),B(3,2),若直线 AP 与直线 BP 的斜 率分别为 2 和-2, 则点 P 的坐标是____________. y- 2 y- 2 解析:设点 P(x,y),则有 =2 且 =-2, x+ 1 x- 3

解得 x=1,y=6,即点 P 坐标是(1,6).

答案:(1,6)

已知直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交, 且点M、N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2). (1)求直线PM与PN的斜率; (2)求直线l的斜率k的取值范围.

[思路点拨]

(1)代入斜率公式,

(2)数形结合求k的范围.

[精解详析] (1)由题意与斜率公式可知, 直线 PM 与 PN 的斜率分别为: -3-1 -2-1 3 kPM= =-4,kPN= = . 2- 1 -3-1 4

(2)如图所示,直线 l 相当于绕着点 P 在直线 PM 与 PN 间旋转,l′是过 P 点且 与 x 轴垂直的直线,当 l 由 PN 位置旋转到 3 l′位置时,倾斜角增大到 90° ,又 kPN=4, 3 ∴k≥4.又当 l 从 l′位置旋转到 PM 位置时,倾斜角大 于 90° ,又 kPM=-4, ∴k≤-4. 3 综上所述,k∈(-∞,-4]∪[4,+∞).

[一点通] 0的变化情况.

数形结合确定斜率变化时注意k>0与k<

5.直线l过点A(1,2);且不过第四象限,那么直线l的斜率
的取值范围是____________. 解析:如图所示,kl=kOA=2,kl′=0, 只有当直线l落在阴影部分才符合题意, ∴k∈[0,2]. 答案:[0,2]

6 .已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2), 若点D在线段BC 上移动时,求直线 AD斜率的变化范围.
解:如图所示, 2-3 -2-3 5 1 kAB= = ,kAC= =3. -4-3 7 0-3 当 D 由 B 运动到 C 时,直线 AD 的斜率由 kAB 增大到 1 5 kAC,所以直线 AD 的斜率的变化范围是[7,3].

1.斜率与两点的顺序无关. y 2- y 1 2.运用 k= 求斜率时应注意前提条件 x1≠x2. x2-x1 3.利用斜率证明三点 A、B、C 共线的步骤 (1)计算过任意两点的直线的斜率,如 kAB=kAC; (2)说明两直线过公共点,即直线重合; (3)得出结论.


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