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高中数学 第一章 余弦函数诱导公式教案1 北师大版必修4

余弦函数的概念和诱导公式
一、教学目标: 1、知识与技能: (1)了解任意角的余弦函数概念; (2)理解余弦函数的几何意义; (3)掌握余弦函数的诱导公式; (4)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、过程与方法: 类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将三角函 数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出余 弦函数的诱导公式。 3、情感态度与价值观: 使同学们对余弦函数的概念有更深的体会; 会用联系的观点看问题, 建立数形结合的思 想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成 功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养 学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点:余弦函数的概念和诱导公式。 难点: 余弦函数的诱导公式运用。 三、学法与教法 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把 锐角的正弦函数推广到任意角的情况; 现在我们就应该与正弦函数的概念作比较, 得出余弦 函数的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图 的方法作出 y=cosx 在[0,2π ]上的图像,并由图像直观得到其性质。教法:自主合作探究 式 四、教学过程 (一) 、创设情境,揭示课题 在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα = 我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。

邻边 。同样地,当 斜边

下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本 P30—P31. (二) 、探究新知 1.余弦函数的定义:在直角坐标系中,设任意角 α 与单位圆交于点 P(a,b), 那么点 P 的横坐标 a 叫做角 α 余弦函数,记作:a=cosα (α ∈R). 通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示 为 y=cosx(x∈R). 如图,有向线段 OM 称为角 α 的余弦线。 其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角 α 的终边上任意一点 P 的坐标(a,b) ,求出|OP|,记为 r,则 角 α 的正弦和余弦分别为:sinα = O y r M x P(a,b)

b a ,cosα = . r r

y π -α α

在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。 2.余弦函数的诱导公式 从右图不难看出,角 α 和角 2π +α ,2π -α , (-α )的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等; 角 α 和角 π +α ,π -α 的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数, 所以,它们的余弦函数值互为相反数。 由此归纳出公式: cos(2π +α )=cosα cos(-α ) = cosα cos(2π -α ) =cosα cos(π +α ) =-cosα cos(π -α ) =-cosα 请同学们观察右图,角 α 与角

x π +α -α

y P(x,y) M M’ o P’ x

? +α 的正弦、余弦函数值有什么关 2

系?由图可知, Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα 与点 P’的纵坐标 sin( 相等;点 P 的纵坐标 sinα 与点 P’的横坐标 cos( sin(

? +α )=cosα 2
sin(

cos(

问题与思考:验证公式

? +α )=cosα 2

? +α )=-sinα 2

? +α )互为相反数。我们可以得到: 2 ? +α )=-sinα 2

? +α ) 2

cos(

以上公式统称为诱导公式,其中 α 可以是任意角。利用诱导公式,可以将任意角的正、 y

余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。 (三) 、巩固深化,发展思维 1、例题探析 例 1.已知角 α 的终边经过点 P(2,-4)(如图),求角 α 的余弦 函数值。 解:∵x=2,y=-4 , ∴ r=|OP|=2 5 ∴cosα = -4 P 2 x

x 5 = r 5

例 2.如果将例 1 中点 P 的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么怎样求角 α 的余弦函数值。 解:(提示:在 r=|OP|=2 5 |t|中,分 t<0 和 t>0 两种情况) 例 3.求值: (1)cos

11? 6

(2)cos

9? 8

(3)cos(-

3? ) 4

(4)cos(-1650°) 解: (1)cos

(5)cos(-150°15’)

11? ? ? 3 =cos(2π - )=cos = 6 6 6 2

(2)cos

9? ? ? =cos(π + )=-cos ≈-0.9239 8 8 8

(3)、 (4) 、 (5)略,见教材 P33 例 4.化简:

cos?2? ? ? ? cos?3? ? ? ? 。解:略 cos?? ? ? ? ? cos?3? ? ? ? cos?? ? ? ? ?

2、学生练习:教材 P20 的练习 1、2、3 (四) 、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? (五) 、作业布置:略 五、教后反思:


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