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重庆大学复变函数综合练习题


重庆大学复变函数综合练习题及答案 第一部分 习题
一. 1. 2. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√, 否则填 ? .(共 20 题) 在复数范围内 3 1 有唯一值 1. 设 z=x+iy, 设z ? 则 ( ( ) )

zz ?

x2 ? y2 .

3. 4. 5. 6.

2? 1 3 . ? i, 则 arg z ? 3 2 2

( ( (

) ) ) )

? ? cosz 是有界函数.
方程 e ? 1 有唯一解 z=0.
z

设函数 f ( z ), g ( z )在 z0 处可导,则 设 函 数

f ( z) 在点 z0 处必可导. g ( z)


(

7.

f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y)

z 0 ? x0 ? iy0 处 可 导 , 则
( )

f ?( z 0 ) ? (
8. 9. 10. 11.

?v ?u ? i ) ( x0 , y 0 ) . ?y ?y

设函数 f ( z ) 在区域 D 内一阶可导,则 f ( z ) 在 D 内二阶导数必存在. 设函数 f ( z ) 在 z0 处可导, 则 f ( z ) 在 z0 处必解析. 设函数 f ( z ) 在区域 D 内可导, 则 f ( z ) 在 D 内必解析.

( ( (

) ) )

设 u ( x, y ), v( x, y ) 都是区域 D 内的调和函数,则 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 是 D 内的 ( ) )

解析函数. 12. 设 n 为自然数,r 为正实数,则

dz ? 0. n ( z ? z ) 0 z ? z0 ? r

?

(

13.

设 f ( z ) 为连续函数 , 则

? f ( z)dz ? ?
c

t1

t0

f [ z (t )]z ?(t )dt , 其中 z ? z(t ),t 0 , t1 分别为曲
( )

线 c 的起点,终点对应的 t 值.
1

14. 15.

设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,c 是 D 内的任意闭曲线,则

? f ( z )dz ? 0 .
c

(

)

设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析 , c 是 D 内的闭曲线 , 则对于 z 0 ? Dc 有

?z?z
c

f ( z)
0

dz ? 2?if ( z 0 ) .

(

)

16.

设幂级数

?c
n ?0

??

n

z n 在 z ? R (R 为正实数)内收敛,则 R 为此级数的收敛半径. ( )

17.

设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析, z 0 ? D ,则 f ( z ) ?

?
n ?0

??

f (n) ( z0 ) ( z ? z0 ) n . ( n!

)

18.

设级数

n ? ??

?c

??

n

( z ? z 0 ) n 在园环域 r ? z ? z0 ? R(r ? R) 内收敛于函数 f ( z ) ,则它
(
z ? z0

是 f ( z ) 在此环域内的罗朗级数. 19. 20. 设 z0 是 f ( z ) 的孤立奇点,如果 lim f ( z ) ? ? ,则 z0 是 f ( z ) 的极点.

) )

(

设 函 数 f ( z) 在 圆 周 z ? 1 内 解 析 , z ? 0 为 其 唯 一 零 点 , 则

z ?1

?

dz ? 2?i Re s[ f ( z),0]. f ( z)
单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共 20 题) 1. 设复数 z ? ( 2 ? i 2 ) 3 ,则 z 的模和幅角的主值分别为____________.

(

)

二.

A.

8,

5? 4

B.

4 2,

?
4

C.

2 2,

7? 4

2. z ? 1 ? Re(z) 是__________区域. A. 有界区域 B. 单连通区域 3.下列命题中, 正确的是_____________. B. 仅存在一个 z 使 C. 多连通区域

A. 零的幅角为零

1 ? ?z z
C.

C.

1 z ? iz i

4.在复数域内,下列数中为实数的是__________. A.

cos i

B.

(1 ? i) 2
2

3

?8

5.设 z ? 1 ? i ,则 Im(sinz ) ? _________. A. sin1ch1
2

B.

cos1sh1

C.

cos1ch1

6.函数 f ( z ) = z 将区域 Re(z)<1 映射成___________.

A.

u ? 1?

v2 4

B.

u ? 1?

v2 4

C.

4u ? 1 ? v 2

7.函数 f ( z ) = z 在 z ? 0 处____________. A. 连续 B. 可导 8. 下列函数中为解析函数的是_____________. C. 解析 C. f ( z ) = 2 x 3 ? i3 y 3

A.

f ( z ) = x 2 ? iy

B.

f ( z ) = sin xchy ? i cos xshy

9. 设函数 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 且 u ( x, y ) 是区域 D 内的调和函数,则当 v( x, y ) 在 D 内是_____________时, f ( z ) 在 D 内解析. A. 可导函数 B. 调和函数 C. 共轭调和函数

10. 设 z0 是闭曲线 c 内一点, n 为自然数,则 A. 0 11. 积分 A. B.

? (z ? z
c

dz
0

)n

=________________. C. 0 或 2? i

2? i

sin z dz =_______________. 2 ( 1 ? z ) z ?2

?

B. 2? i cos 1 C. 2? i sin1 12. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________.

cos 1

A.

z dz ? z ?3 z ?2
??

B.

sin z dz ? ? z z ?1

C.

ez ? 5 dz z ?1 z

13. 复数项级数

zn 的收敛范围是________________. ? 3 n ?1 n
B.

A.

z ?1

z ?1

C.

z ?1

14. 设函数 f ( z ) 在多连域 D 内解析, c0 , c1 , c2 均为 D 内闭曲线且 c0 ? c1 ? c2 组成

3

复合闭路 ? 且 D? ? D ,则___________________. A. B. C.

?
?

c0

f ( z )dz ? ? f ( z )dz ? ? f ( z )dz ? 0
c1 c2

?

f ( z )dz ? 0

?

c0

f ( z )dz ? ? f ( z )dz ? ? f ( z )dz
c1 c2

1 ? e2z 15.函数 f ( z ) = 在 z=0 的展开式是_______________________. z2
A. 泰勒级数 16. z ? 0 是 f ( z ) ? A. 1
1

B.

罗朗级数

C. 都不是

shz 的极点的阶数是_____________. z4
B. 3 C. 4

1? e z 17. z ? 0 是 f ( z ) ? 的____________________. z4
A. 本性奇点 B. 极点 C. 可去奇点
??

18. 设 f ( z ) 在环域 r ? z ? z0 ? R(0 ? r ? R) 内解析,则 f ( z ) ? 其中系数 cn =______________________.

n ? ??

?c

n

( z ? z0 ) n ,

A.

f

(n)

( z0 ) , n! ( z0 ) , n!

n ? 0,1,2,?

B.

f

(n)

n ? 0,?1,?2,?

C.

1 f (? ) d? , n ? 0,?1,?2,?, c 为环域内绕 z0 的任意闭曲线. ? 2?i c (? ? z 0 ) n?1
19. 设函数 f ( z ) =

A.

0 20. 设函数 f ( z ) =

z ,则 Re s[ f ( z ),2?i] =__________________. e ?1 B. 1 C. 2? i
z

cos z ,则积分 z (e z ? 1)
4

z ?1

? f ( z )dz =________________.

A.

2? i

B.

2?i Re s[ f ( z ),0]

C.

2?i ?[ f ( z ), z k ], z k ? 0,?2?i.
k ?1

3

三. 填空题 (共 14 题) 1. 2. 3. 4. 复数方程 e z ? 1 ? i 3 的解为____________________________________. 设 z ? 2 ? 2i ,则 arg z =_____________, ln z =___________________________.

z ? 1 ? z ? 1 ? 4 表示的区域是___________________________________.
设 f ( z ) ? z sin z, 则由 f ( z ) 所确定的 u ( x, y ) =____________________,

v( x, y ) =_______________________.
5.

?sin z ? e z ? A, z ? 0 设函数 f ( z ) = ? 在 z ? 0 处连续,则常数 A=____________. ?0, z ? 0
设函数 f ( z ) =

6.

3? 2 ? 7? ? 1 ? ? ? z d? ,则 f ?(i ? 1) =________________________. z ?2

若 f ( z) =

3? 3 ? 5? ? ? ? z d? ,则 f ??(i) =________________________. z ?2

7.

设函数 f ( z ) 在单连域 D 内解析 ,G(z) 是它的一个原函数 , 且 z 0 , z1 ? D , 则
z1

z0

? f ( z )dz =_______________________.
2 2

8. 9.

当 a=________时, f ( z ) ? a ln( x ? y ) ? iarctg

y 在区域 x>0 内解析. x

若 z=a 为 f(z) 的 m 阶极点 ,为 g(z)的 n 阶极点 (m>n), 则 z=a 为 f(z)g(z)的 __________阶极点,为

f ( z) 的____________阶极点. g ( z)

10. 函数 f ( z ) =tgz 在 z=0 处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数 f ( z ) =

z 在 z=0 处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________. sin z
5

12. 设

?? sin z c0 ? __________ ____. ? c n z n ,则 c?2 ? ________, ? 3 z n ? ??

13. 积分

z ?1

? ze z dz =________________________.
e sin z ? 1 e sin z ? 1 ,0] ? __________ _, Re s[ ,0] ? __________ . z z2

1

14. 留数 Re s[ 四. 求解下列各题

(共 6 题)

1. 设函数 f ( z ) = my3 ? nx2 y ? i( x 3 ? lxy 2 ) 在复平面可导,试确定常数 m, n, l 并 求 f ?( z ) . 2. 已知 u( x, y) ? 3x 2 ? 3 y 2 , 试求 v( x, y ) 使 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 为解析函 数且满足 f (0) ? i . 3. 试讨论定义于复平面内的函数 f ( z ) ? z 的可导性. 4. 试证 u ( x, y ) ?
2

y 是在不包含原点的复平面内的调和函数 , 并求 v( x, y ) x ? y2
2

使 f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y) 为解析函数且满足 f (i) ? 1 . 5. 证明 f ( z) ? e z 在复平面内可导且 (e z )? ? e z . 6. 证明

?2?i, n ? 1 dz ,其中 n 为正整数,c 是以 z0 为圆心,半径为 r 的圆 ? ?c ( z ? z0 ) n ? 0 , n ? 1 ?

周. 五. 求下列积分 (共 24 题) 1. 计算 sin zdz ,其中 c 是从原点沿 x 轴至 z 0 (1,0) ,然后由 z0 沿直线 x=1 至
c

?

z1 (1,1) 的折线段.
2.

? [2 z ? Re( z )]dz ,其中 c 是从点 A(1,0)到点 B(-1,0)的上半个圆周.
c

6

3.

? (2 z
c

2

? 5 z ? 6) dz , 其中 c 为连接 A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.

1??i

4.

? ze dz .
z 1

5.

1 dz ( z ? 1)(z 2 ? 4) z ?i ? 1

?

2

2

6.

z?? ?? 2

?

cos2 z dz . z ( z ? 1)

7.

sin z dz . ? 3 ( z ? ) z ?2 2

?

8.

I ??

dz ,其中 c 为 z ? r, r 为不等于 1,2 的正常数. 2 ( z ? 1 ) ( z ? 2 ) c dz ,其中曲线 c 分别为 (2 z ? 1)(1 ? z 2 )
2)

9.

I ??
c

1)

z ?i ?1

z?i ?

3 2

10. 设 c 为任意不通过 z=0 和 z=1 的闭曲线,求

ez dz . 3 ? c z (1 ? z )

11. I ?

z ?3

?[ ?

e cos z sin e z ? ]dz . z z ( z ? 2) 2

z

12.

2z ? 1 dz . z ( z ? 1) z ?2

?

用留数定理计算下列各题.

e2z dz ,其中 z0 为 z 0 ? 1 的任意复数. 13. ? 3 z ?1 ( z ? z 0 )
14.

e ?z ? 2 2 dz . z ? 2 ( z ? 1)

7

15.

sin ?z dz . 4 z ? 2 ( z ? 1)

?

16.

sin ?z dz . 2 ( z ? 2 )( 2 z ? 1 ) z ?1

?

17.

z ?1

? tg?zdz .

18.

z dz . 2 z ? 2 sin z

?

19.

1 dz . 2 z ? 5 z ? 2 z ?1

?

2

20.

1 dz . z ?1 z ? 4 z ? 1

?

4

21.

1 dz . z ?1 2 z ? 5iz ? 2

?

2

22.

z2 dz ,其中 c 为实轴与上半圆周 z ? 3( y ? 0) 所围的闭曲线. 2 2 ? c ( z ? 1)(z ? 4)

z2 ?1 23. ? 4 dz ,其中 c 同上. c z ?1
24.

? (z
c

2

1 dz ,其中 c 为实轴与上半圆周 z ? 4( y ? 0) 所围的闭曲线. ? 9)(z 2 ? 1)
(共 8 题)

六. 求下列函数在奇点处的留数 1.

f ( z) ?

1 ? e2z . z4
z . z ?1

2. 3.

f ( z ) ? sin

f ( z) ?

sin z . (1 ? z ) 3
8

4.

f ( z) ?
f ( z) ?

1? z4 . ( z 2 ? 1) 2
z . e ?1
z

5.

6.

ez . f ( z) ? z ( z ? 1) 2
f ( z) ? 1
3 2

7. 8.

z ? z ? z ?1 1? z f ( z) ? . sin z

.

七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 1.

(共 10 题)

f ( z) ?
f ( z) ?

1 ( z ? 1) (2 z ? z 2 )
2

0 ? z ?1 ? 1
z ?1 ? 3 2

2.

2 ? 3z 2 z ? 3z ? 1
2

3.

ez f ( z) ? z ?1
f ( z) ? 1 z ?z?2
2

0 ? z ? 1 ? ??

4. 1)

z ? 1,
f ( z) ?

2). 1< z <2,

3). 2< z ? ?

5.

1 z (1 ? z 2 )

0 ? z ?1 ? 1 z ? ? ? ?? z ?1
0 ? z ??
(写出不为零的前四项)

6.

f ( z ) ? cos z

7.

f ( z) ?
f ( z) ?

1 (1 ? z ) 2
1? z sin z

8.

9.

cos z 2 f ( z) ? z (e z ? 1)

0 ? z ? ?? (写出不为零的前三项)

9

10.

f ( z) ?

z sin z

0 ? z ??

(写出不为零的前三项)

10

第二部分
一、判断题.(共 20 题) 1. × 2. √ 3. × 4. × 5. × 6. ×

解答

7. √ 8. √ 9. × 10. √

11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √ 二、单项选择题.(共 20 题) 1. A. 2. B. 3. C. 4. A. 5. B. 6. A. 7. A. 8. B. 9. C. 10. C.

11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B. 三、填空题 1.

ln 2 ? i (

5? ? 2k? )( k ? 0, ? 1, ? 2, ? ) 3

2.

7? 3 7? i , ln 2 ? 4 2 4

3. 4. 5. 6. 7.

x2 y2 ? ?1 4 3
x sin xchy ? y cos xshy , x cos xchy ? y sin xchy
1

? 12? ? 26?i , ? 36?

G( z1 ) ? G( z 0 )
1 2

8.

9.

m? n , m? n
? 2

10.

11. 0 ? z ? ?
11

12. 1 ,13. ?i

1 6

14. 0 , 1

四、求解下列各题 1. 由题意得 ?
3 2 ? ?u ( x, y ) ? m y ? nx y 3 2 ? ?v( x, y ) ? x ? lxy

利用

?u ?v ? 2nxy ? ,得 n ? l ?x ?y ?u ?v ? 3m y2 ? nx2 ? ? ? ?3x 2 ? ly 2 ,得 n ? ?3 , l ? ?3 , m ? 1 ?y ?x

则 f ?( z ) ?

?u ?v ?i ? ?6 xy ? i (3x 2 ? 3 y 2 ) ?x ?x

? 3iz 2
2. 由于

?v ?u ? ? 6 x 所以 ?y ?x
?v ? 6 y ? ? ?( x ) ?x

v( x, y ) ? ? 6 xdy ? 6 xy ? ? ( x) ,
又由

?v ?u ? ? ,即 6 y ? ? ?( x) ? 6 y ?x ?y

所以 ? ?( x) ? 0 , ? ( x) ? C ( C 为常数) 故 v( x, y) ? 6 xy ? c , f ( z) ? 3x 2 ? 3 y 2 ? (6xy ? c)i ? 3z 2 ? ci
2 将条件 f (0) ? i 代入可得 C ? 1 , 因此, 满足条件 f (0) ? i 的函数 f ( z ) ? 3z ? i

3.

?u ( x, y) ? x 2 ? y 2 由题意知 ? ,由于 ?v( x, y) ? 0
12

?x ? 0 ?u ?v ?u ?v ? 2x ? ?0, ? 2 y ? ? ? 0 可得 ? ?x ?y ?y ?x ?y ? 0
由函数可导条件知, f ( z ) ? z 仅在 z ? 0 处可导。
2

4.

? 2u 6 x 2 y ? 2 y 3 ?u ? 2 xy 由于 , 2 ? ? ?x ( x 2 ? y 2 ) 2 ?x ( x 2 ? y 2 )3 ?v x2 ? y2 ? 2v ? 6x 2 y ? 2 y 3 , ? 2 ? (x 2 ? y 2 )3 ?y ( x ? y 2 ) 2 ?y 2


( x 2 ? y 2 ? 0)

? 2u ? 2 v ? ?0 ?x 2 ?y 2

所以 u ( x, y ) ?

y 是调和函数 x ? y2
2

( x 2 ? y 2 ? 0)

v( x, y) ? ?

?v ? 2 xy x dy ? ? 2 dy ? 2 ? g ( x) , 2 2 ?y (x ? y ) (x ? y 2 )

?v y2 ? x2 ?u y2 ? x2 ? ? 2 ? g ( x ) ? ? ? ?x ( x ? y 2 ) 2 ?y ( x 2 ? y 2 ) 2
故有

g ?( x) ? 0 , g ( x) ? C

( C 为常数)

所以 v( x, y) ?

x ?C (x ? y 2 )
2

f ( z) ?

y x i ? i( 2 ? c) ? ? ci 2 2 z (x ? y ) (x ? y )
2

由于 f (i) ? 1 代入上式可求得 C ? 0 ,故满足条件 f (i) ? 1 的函数 f ( z ) ?

i z

5.

因为 e ? e
z

x ?iy

? e x (cos y ? i sin y) ,有
且可微, 同时有

u( x, y) ? e x cos y , v( x, y) ? e x sin y

13

?u ?v ?u ?v ? e x cos y ? ? ?e x sin y ? ? , ?x ?y ?y ?x
所以, e 在全平面处处可导且
z

(e z ) ? ?

?u ?v ?i ? e x cos y ? ie x sin y ? e x (cos y ? i sin y ) ? e z ?x ?x

6.

设 C 的复数方程为 z ? z0 ? re it ,不妨设 C 的起点对应的参数值为 0,有终点对 应的参数值为 2? ,则
2? ( z o ? re it )? 1 t dz ? ?C ( z ? zo ) n ?0 ( zo ? re it ? zo ) n dt

??

2?

i r
n ?1

0

e ?i ( n ?1) t dt

1 ? ? i ( n ?1) t 2? | 0 ? 0,n ? 1 ? r n ?1 (1 ? n) e ?? ?it | 2? ? 2?i,n ? 1 ? 0


?

?2?i,n ? 1 dz ?? n C (z ? z ) ?0,n ? 1 o

五、求下列积分 1. I ?

?

OZ 1

sin zdz ? ?

OZ 0

sin zdz ? ?

Z 0 Z1

sin zdz

? I1 ? I 2

其中

OZ0 : z ? t

(0 ? t ? 1)

I1 ? ? sin tdt ? ? cost |1 0 ? 1 ? cos1
0

1

Z 0 Z1 : z ? 1 ? it (0 ? t ? 1)
I 2 ? ? sin(1 ? it )d (1 ? it ) ? ?? sin(1 ? it )d (1 ? it ) ? cos(1 ? it ) |1 1 ? i) ? cos1 0 ? cos(
0 0 1 1

? cos 1ch1 ? cos 1 ? i sin 1sh1
所以 I ? 1 ? cos1(ch1 ? 2) ? i sin 1sh1

14

2.

? [2 z ? Re( z)]dz
C

(令 z ? cost ? i sin t, 0 ? t ? ?)

? ? (3 cost ? 2 sin ti)(? sin t ? costi)dt
0

?

? ? (?5 sin t cost )dt ? i ? (3 cos2 t ? 2 sin 2 t )dt
0 0

?

?

?
3.

5 t 5 ? cos 2t |? ? sin 2t ]? i 0 ?i[ 0 ? 4 2 4 2

由于被积函数在全平面处处解析,积分仅与起、终点有关,

所以,原式 ?

?

( 0, 0 )

(1, ?1)

(2z 2 ? 5z ? 6)dz

2 5 0, 0 ) ? [ z 3 ? z 2 ? 6 z ]((1 , ?1) 3 2

2 5 ? ?[ (1 ? i ) 3 ? (1 ? i ) 2 ? 6(1 ? i )] 3 2 ?4 7 ? ?( (1 ? i ) ? 5i ? 6 ? 6i ) ? ? (2 ? i ) 3 3

4.

?

1??i

1

??i ze z dz ? e z ( z ? 1) |1 ? ?e?i 1

5.

根据柯西积分公式,原式 ?

?
z ?i ?

1 2

1 ( z ? i )(z 2 ? 4) dz z ?i

? 2?i
cos2 z dz ? z ?1

1 ? | z ?i ? 2 3 ( z ? i)(z ? 4)
cos2 z dz z

6.

原式 ?
z?

?

?
2 ??

z?

?

?
2 ??

? 2?i[cos2 z |z ?1 ? cos2 z |z ? 0 ] ? 2?i(cos2 1 ? 1)
由于 z ?

7.

?
2

为被积函数的三阶极点,所以由高阶导数公式有

15

原式 ?

2?i (sin z )?? | ? ? ??i z? 2! 2
1 在C内解析, I ? 0 ; ( z ? 1) ( z ? 2)
2

8.

当 0 ? r ? 1 时, f ( z ) ?

当 1 ? r ? 2 时, z ? ?1 在C内,由高阶导数公式可知

1 2 )? | x ? ?1 ? ? ?i z?2 9 r ? 2 z ? ? 1 , z ? 2 当 时, 均在C内,根据柯西积分定理 I ? 2?i (

I?

? f ( z )dz ? ? f ( z )dz
z ?1 ? 1 4 z ?2 ? 1 4

? 2?i(

1 1 2 2 ) z ??1 ? 2?i | ? ? ?i ? ?i ? 0 2 z ?2 z?2 9 9 ( z ? 1)

9.

1)

当C为 z ? i ? 1 时

I= 2?i

1 ? | z ?i ? (1 ? 2i) (2 z ? 1)(z ? i) 5
3 时 2

2) I=

当C为 z ? i ?

?

c1

1 f ( z )dz ? ? f ( z )dz (其中 c1 , c 2 分别以 ? i,? 为圆心, r1 , r2 为半径且互不相 c2 2

交的两个圆) = 2?i[

1 1 | z ??i ? | 1] (2 z ? 1)(z ? i) 2( z ? i )(z ? i) z ?? 2
8?i ? ? (?1 ? 6i ) 5 5

=

?
5

(?1 ? 2i ) ?

10. 1). 若 z ? 0, z ? 1 均不在C内,则I=0 2). 若 z ? 0 在C内, z ? 1 在C外,则

ez I= 2?i | z ?0 ? 2?i (1 ? z ) 3
16

3). 若 z ? 1 在C内, z ? 0 在C外,则 I=

2?i e z ( )? | z ?1 ? e?i 2! z

4). 若 z ? 0, z ? 1 均在C内,则 I=

1 1 ez ez dz ? dz (其中 c1 , z ? ; c 2 , z ? 1 ? ) 3 3 ? ? 4 4 c1 z (1 ? z ) c2 z (1 ? z )
z

= 2?i ? e?i =(2+e) ?i

e cos z dz ? 11. I ? ? z z ?3
= 2?i[e 3 cos z | z ?0 ?

sin e z dz 2 ? z ?3 z ( z ? 2)

sin e z sin e z | ? ( )? | z ? 2 z ?0 z ( z ? 2) 2

= 2?i[e ?
3

1 e2 1 sin 1 ? cose 2 ? sin e 2 ] 4 2 4

12.

2z ? 1 dz ? z ( z ? 1) z ?2

?

z ?2

?

(

2z ? 1 2z ? 1 ? )dz z ?1 z

= 2?i[(2 z ? 1) z ?1 ? (2 z ? 1) z ?0 ] = 4? i 13. 由于 z0 为 z 0 ? 1 的任意复数,所以当 z 0 ? z ? 1 内时, z0 为被积函数的三阶极点. 此时原式=

2?i 2 z (e )?? | z ? z0 ? 4e 2 z0 ?i, 当 z0 ? z ? 1 内时, 被积函数在 z ? 1内为解 2!

析函数, 所以原式=0.即

?4e 2 z0 ?i, z 0 ? z ? 1 e2z ? ? ( z ? z 0 ) 3 dz ? ? ? ?0, z 0 ? z ? 1
14. 原式= 2?i{Re s[ f ( z ), i] ? Re s[ f ( z ),?i]},其中 i , ? i 均为二阶极点.

e?z e?z (?z ? ?i ? 2) ? i Re s[ f ( z), i] ? lim[ ]? ? lim ? ? 2 z ?i 4 4 z ?i ( z ? i ) ( z ? i) 3

17

Re s[ f ( z ),?i] ? lim[
z ?? i

e?z e?z (?z ? ?i ? 2) ? i ? ] ? lim ? ? z ?? i 4 4 ( z ? i) 2 ( z ? i) 3

所以,原式= 2?i (

?
4

?

i ? i ? ? ) ? ? 2i 4 4 4

15. z ? 1 为 f ( z ) 的三阶极点,将 f ( z ) 在 z ? 1 处展开可得

f ( z) ?

sin(?z ? ? ? ? ) sin ? ( z ? 1) ?? 4 ( z ? 1) ( z ? 1) 4

=

?1 ? 3 ( z ? 1) 3 ? 5 ( z ? 1) 5 [ ? ( z ? 1 ) ? ? ?? 3! 5! ( z ? 1) 4 ?? ?3 ? 5 ( z ? 1) ? ? ?? 5! ( z ? 1) 3 3!( z ? 1)

=

所以

Re s[ f ( z ),1] ?

?3
3!

,原式 2?i

?3
3!

?

?4
3

i

16.

sin ?z 1 dz ? 2?i Re s[ f ( z ), ] 2 2 z ?1 ( z ? 2)(2 z ? 1)

?

[ = 2?i lim 1
z? 2

sin ?z ]? 4( z ? 2)

=

?i
2

lim 1
z? 2

? sin ?z ( z ? 2) ? sin ?z
( z ? 2)
2

??

2 ?i 25

17. 令 cos ?z ? 0 得 ?z ? Arc cos0 ? ?iLn(?i) 求得

z?k?

1 1 (k ? 0,?1,?2, ?) 在 z ? 1内仅有奇点 z ? ? 且均为简单极点 2 2

z ?1

? tg?zdz ? 2?i[Re s(tg?z, 2 ) ? Re s(tg?z,? 2 )],其中
1 sin ?z 1 Re s(tg?z, ) ? | z? 1 ? ? 2 2 (cos?z )? ?

1

1

18

1 sin ?z 1 Re s(tg?z,? ) ? ?? 2 (cos?z)? z ?? 1 ?
2

故有

z ?1

? tg?zdz ? 2?i(? ? ? ? ) ? ?4i
z 在 z ? 2 内仅有奇点 z ? 0 且为简单极点,故有 sin 2 z

1

1

18. 被积函数 f ( z ) ?

z z dz ? 2?i Re s( 2 ,0) 2 sin z z ? 2 sin z

?

= 2?i lim

z2 ? 2?i z ?0 sin 2 z
2

19.

dz 1 1 ? 2?i Re s[ , ] (2 z ? 1)(z ? 2) 2 z ?1 2 z ? 5 z ? 2

?

= 2? i lim 1
z? 2

1 2? ?? i 2( z ? 2) 3

20.

dz 1 ? 2?i Re s[ 2 , (2 ? 3)] z ? 4z ? 1 z ?1 z ? 4 z ? 1

?

2

= 2? i lim

z ?2? 3

1 ?? i ? z ? (2 ? 3) 3

21.

dz 1 i ? 2?i Re s[ ? ] ( z ? 2i)(2 z ? i), 2 z ?1 2 z ? 5iz ? 2

?

2

= 2? i limi

1 2? ? z ?? 2 2( z ? 2i ) 3

22.

z2 dz ? 2?i{Re s[ f ( z ), i] ? Re s[ f ( z ),2i]} 2 2 ? c ( z ? 1)(z ? 4)
= 2? i[lim
z ?i

z2 z2 1 1 ? ? lim ] ? 2? i( ? ? ) ? 2 2 ( z ? i )( z ? 4) z?2i ( z ? 1)( z ? 2i ) 6i 3i 3

19

23.

? 3?i z2 ?1 i dz ? 2?i{Re s[ f ( z), e 4 ] ? Re s[ f ( z), e 4 ]} 4 ? c z ?1

= 2? i[ lim ?
z ?e 4

z2 ? 1 ( z ? e )( z 2 ? i )
? 1 2 2i ) ? 2?
5? i 4

i

? lim 3?
z ?e
4

z2 ? 1
i

( z ? e 4 )( z 2 ? i )

7?

i

]

= 2?i (

1 2 2i

24.

? (z
c

2

dz ? 2?i{Re s[ f ( z ), i] ? Re s[ f ( z ),3i]} ? 9)(z 2 ? 1)
1 1 ? lim 2 ] ( z ? 9)( z ? i ) z?3i ( z ? 1)( z ? 3i )
2

= 2? i[lim
z ?i

= 2?i ( 六. 1.

1 1 ? ? )? 16i 48i 12
(共8题)

求下列函数在奇点处的留数

1 ? e2z f ( z) ? 的奇点为 0 ,且 z ? 0 为其三阶极点. z4
Re s( 1 ? e2 z 1 1 ? e2 z 4 ,0) ? lim( )?? ? ? 4 z ? 0 z 2! z 3 1 (2 z ) 2 (2 z ) 3 [ 1 ? ( 1 ? 2 z ? ? ? ?] 2! 3! z4
2 2 4 ? 2 ? ?? 3 3z z z



f ( z) ?

=?



1 ? e2z 4 Re s( 4 ,0) ? c ?1 ? ? 3 z
z 的奇点为 z ? 1 ,且 z ?1 z 1 1 1 sin ? s i n1(? )?sin 1c o s ? cos 1s i n z ?1 z ?1 z ?1 z ?1 f ( z ) ? sin
= sin 1[1 ?

2.

1 1 1 1 ? ? ?] ? cos1[ ? ? ?] 2 4 z ? 1 3!( z ? 1) 3 2!( z ? 1) 4!( z ? 1)
20

= sin 1 ?

cos1 sin 1 ? ?? z ? 1 2!( z ? 1) 2

所以 Re s (sin 3.

z ,1) ? cos 1 z ?1

f ( z) ?

sin z 的奇点为 z ? ?1 且为三阶极点,所以 (1 ? z ) 3
1 sin1 lim(sin z )?? ? z ?? 1 2! 2

Re s[ f ( z ), ?1] ?


f ( z) ?

1 [sin(z ? 1) cos1 ? cos(z ? 1) sin 1] (1 ? z ) 3 sin 1 cos1 sin 1 cos1 ? ? ? ?? 3 2 2(1 ? z ) 3! (1 ? z ) (1 ? z )
sin 1 2

=?

故有 Re s[ f ( z ), ?1] ?

4.

f ( z) ?

1? z4 的奇点为 z ? ?i 且均为二阶极点, 故有 ( z 2 ? 1) 2
1 ? z4 i ]? ? 2 ( z ? i) 2
1 ? z4 i ]? ? ? 2 ( z ? i) 2

Re s[ f ( z ), i ] ? lim[
z ?i

Re s[ f ( z ), ?i ] ? lim[
z ?? i

5.



e z ? 1 ? 0 时, z ? 2k?i(k ? 0,?1,?2,?) 是 f ( z ) 的奇点,其中
z 的可去奇点 e ?1
z

z ? 0 是 f ( z) ?

(lim
z ?0

z 1 ? lim z ? 1) ,所以 z ? 0 e ?1 e
z

Re s[ f ( z),0] ? 0 z ? 2k?i(k ? ?1,?2,?) 均是 f ( z ) 的一阶极点,所以

Re s[ f ( z ),2k?i] ?

z | z ?2 k?i ? 2k?i, (k ? ?1,?2,?) (e ? 1)?
z

21

6.

显然,z=0,z=1是 f ( z ) 的奇点且z=0为一阶极点, z=1为二阶极点, 所以

Re s[ f ( z ),0] ? lim

ez ?1 z ?0 ( z ? 1) 2
ez e z ( z ? 1) )? ? lim ?0 z ?1 z z2

Re s[ f ( z ),1] ? lim(
z ?1

7.

z ? ?1 是 f ( z ) 的奇点且z=1为二阶极点, z=-1为一阶极点, 所以

1 1 )? ? ? z ?1 z ? 1 4 1 1 Re s[ f ( z ), ?1] ? lim ? 2 z ??1 ( z ? 1) 4 Re s[ f ( z ),1] ? lim(
8. 当

sin z ? 0 时 , 函数无意义 , 则 z ? k? (k ? 0,?1,?2,?) 为被积函数的奇点且均

为 f ( z ) 的一阶极点,其中

1? z 1? z ? lim ?1 z ?0 (sin z )? z ?0 cos z 1? z k Re s[ f ( z ), k? ] ? lim ? ( ?1) (1 ? k? ).( k ? ?1, ?2,?) z ?k? cos z Re s[ f ( z ),0] ? lim
七. 1. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)

f ( z) ?

1 1 2 ( z ? 1) 1 ? ( z ? 1) 2

=

1 ( z ? 1) 2

? ( z ? 1)
n ?0
2 n?2

??

2n

0 ? z ?1 ? 1

=

? ( z ? 1)
n ?0

??

0 ? z ?1 ? 1

2.

f ( z) ?

1 1 ? 1 ? z 1 ? 2z

22

=

1 2

1 1 1 ? z ?1 3 2 1? 1 ? ( z ? 1) 2 3
z ?1 ? 3 2 3 2

1 ?? z ? 1 n 1 2 n ( z ? 1) n = ?( ) ? ? 2 n ?0 2 3 3n
=

?(

1 2
n ?1

?

2n )(z ? 1) n n ?1 3

z ?1 ?

3.

f ( z) ?
=

1 e z ?1 (e z ?1?1 ) ? e z ?1 z ?1

e ?? ( z ? 1) n ? z ? 1 n?0 n!

0 ? z ? 1 ? ??

=e

( z ? 1) n ?1 ? n! n ?0
??

0 ? z ? 1 ? ??

4.

1 1 1 f ( z) ? ( ? ) 3 z ? 2 z ?1
1). 当 z ? 1时,

1 f ( z) ? [ 3
1 3

1 z ? 2(1 ? ) 2
1 z

?

1 ] 1 ? (? z )
n

= [

? (? 2 )(2 ) ? ? (?1)
n n ?0

??

zn ]

= 2). 当 1 ? z ? 2 时,

1 1 [ n?1 ? (?1) n ]z n ? 3 2

1 f ( z) ? [ 3
1 3

1 z ? 2(1 ? ) 2

?

1 1 ] 1 z 1? z

= [

??
n ?0 ??

??

?? zn (?1) n ? ] ? 2 n?1 n?0 z n?1

=? [

1 3

?1 zn ? (?1) n?1 z n ] ? ? n ?1 n ?0 2 n ? ??

23

3). 当 2 ? z ? ?? 时, f ( z ) ?

1 1 [ 3 z

1 2 (1 ? ) z

?

1 z

1 1 (1 ? ) z

]

= [

1 3

2n (?1) n?1 ? ? ? z n?1 ] n ?1 n ?0 z
??

1 ?? 2 n ? (?1) n = ? 3 n ?0 z n ?1
5.

f ( z) ?

1 1 1 ? z z (1 ? z ) 1 1 1 [ ? ] z ? 1 2 ? ( z ? 1) 1 ? ( z ? 1)
?? 1 1 ?? (?1) n [ ? n ( z ? 1) n ? ? (?1) n ( z ? 1) n ] z ? 1 2 n ?0 2 n ?0
??

=

=

0 ? z ?1 ? 1

=

? (?1)
n ?0

n

(

1 2
n ?1

? 1)(z ? 1) n ?1

0 ? z ?1 ? 1

6.

f ( z) ? cos[? ? ( z ? ? )] ? ? cos(z ? ? )
=?

(?1) n ( z ? ? ) 2 n ? (2n)! n ?0
??

z ? ? ? ??

=

(?1) n?1 ( z ? ? ) 2 n ? (2n)!
?? 1 ? ? (? z ) n 1 ? z n ?0

z ? ? ? ??

7.

因为

z ?1





1 ?1 ( )? ? ? ? (?1) n nzn?1 1? z (1 ? z) 2 1 ? ? (?1) n?1nzn?1 2 (1 ? z)

所以

z ?1

24

8.

f ( z) ?

1? z 1 ? g ( z) 4 6 z z z z z (1 ? ? ? ? ?) 3! 5! 7!
2

由于 g ( z ) 在 z ? 0 处解析,可设 g ( z) ? a0 ? a1 z ? a2 z 2 ? ? 可得

1 ? z ? a0 ? a1 z ? (a 2 ?
f ( z) ?
=

a0 2 a ) z ? (a3 ? 1 ) z 3 ? ? 6 6

所以

1 1 1 (1 ? z ? z 2 ? z 3 ? ? ) z 6 6

0 ? z ??

1 z z2 ?1? ? ?? z 6 6
1?

0 ? z ??

9.

z2 z4 z6 ? ? ?? 1 2 ! 4 ! 6 ! f ( z) ? ? 2 g ( z) 2 z z z z 2 (1 ? ? ? ?) 2! 3!
可得



g ( z) ? c0 ? c1 z ? c2 z 2 ? ?

1?

z2 z4 z6 z z2 ? ? ? ? ? ( c0 ? c1 z ? c2 z 2 ? ?) (1 ? ? ? ?) 2! 4! 6! 2! 3!
= c0 ? (c1 ?

c0 c c ) z ? (c 2 ? 1 ? 0 ) z 2 ? ? 2! 2! 3!

?c 0 ? 1 ? ?c1 ? c 0 ? 0 ? 2 ? ?c ? c1 ? c 0 ? ? 1 ? 2 2 6 2 ?? ?
g ( z) ? 1 ?


解得

?c 0 ? 1 ? ?c1 ? ? 1 ? 2 ? ?c ? ? 5 ? 3 12 ?? ?

z 5z 2 ? ?? 2 12

z ? ??
0 ? z ? ??
25

f ( z) ?

1 1 5 ? ? ?? 2 2 z 12 z

10.

f ( z) ? z?

z z z5 ? ?? 3! 5! 1 ? c0 ? c1 z ? c 2 z 2 ? ?
3

=

1?

z z ? ?? 3! 5!
2

2

4

z2 z4 ? ? ?) 即 1 ? (c0 ? c1 z ? c 2 z ? ?)(1 ? 3! 5!
= c0 ? c1 z ? (c 2 ?

c0 2 c c c ) z ? (c 3 ? 1 ) z 3 ? (c 4 ? 2 ? 0 ) z 4 ? ? 3! 3! 3! 5!



?c0 ? 1 ?c ? 0 ? 1 ? c0 ?0 ?c 2 ? 6 ? ? c1 ?c3 ? 6 ? 0 ? c 2 c0 ? ?c 4 ? 6 ? 120 ? 0 ? ??
f ( z) ?

解得

?c1 ? 1 ?c ? 0 ? 1 ? 1 c2 ? ? ? 6 ? ?c 3 ? 0 ? 7 ?c 4 ? 360 ? ? ? ?



z z 2 7z 4 ? 1? ? ?? sin z 6 360

0 ? z ??

26


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