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山东省菏泽市曹县中学2015-2016学年高二上学期期中测试数学试题


高二数学上学期期中考模拟卷
(满分 150 分,时间 120 分钟) 学生姓名: 成绩: 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1 等差数列 {an }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项的和 S9 等于( ) A

66

B

99

C

144

D

297


2 在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A 1 B

?1

C

2 3
1 1 ? a b

D

?2 3
) D

3 设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( A

1 1 ? a b

B

C

a ? b2

a2 ? 2b

4 在公比为整数的等比数列 ?an ? 中, 如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之 和为( A )

513

B

512

C

510

D

225 8
D

5 在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于( ) B A 2b s i nA B 2b c o sA C 2b s i n 6 关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? )
2 x 2

2b c o sB
) D

5 2

5 2

1? x

的解集是 (

A

x?

1 2
x

B
x

x?

1 2

C

x?2

x?2


7 若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A 1 B

0 或 32

C

32

D

log 25
)

8 在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A

900

B

600

C

1350

D

1500

9.已知 ?1 ? a ? b ? 3且2 ? a ? b ? 4 ,则 2a+3b 的取值范围是 A 10

(?

13 17 , ) 2 2

B (?

7 11 , ) 2 2

C

7 13 (? , ) 2 2

D

9 13 (? , ) 2 2

等 比 数 列

?an ?
?
10

的 各 项 均 为 正 数 , 且 a5a ? , 则 6 a a 4? 18 7

l o3 a g? 1
A 12

la g 3o ? 2
B

(? )g . . a3 . 1l 0o C

1? l o 3 g 5

D

2? l o3 g 5

? x ? 0, ? 11、不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)的个 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填二、空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.不需要写出解答过程,请把答 案直接填空在答题卡相应位置上 。 ........ 13 两个等差数列 ?an ? , ?bn ?,

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________ b5 b1 ? b2 ? ... ? bn n?3
a?b?c =_______ sin A ? sin B ? sin C


14 若在△ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则

? x ? y ≥ ?1 ? 15、设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 z =2 x +4 y 的最大值为( ?y≥ 2 ?

16 在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tanC, 则 B 的取值范围是_______________ 三、解答题:本大题共 6 小题,前 5 道每题 12 分,最后一题 14 分,共 74 分.请在答题卡指 .... 定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... 17、如 图 所 示 的 四 边 形 ABCD 中 已 知 A D ? C D , AD=10 , AB=14 ,

?BDA ? 600 , ?BCD ? 1350 , 求 BC 的长

18.已知:等差数列{ an }中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185. (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)将{ an }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列 的前 n 项和 Gn .
n

mx 2 ? 4 3x ? n 19 已知函数 y ? f ( x) ? 的最大值为 7 ,最小值为 ?1,求此函数式 x2 ? 1

20、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产

1 ,本年度当地旅游业收 5 入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上 1 年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的 表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

21、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

22. (本题满分 14 分) 对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R, 使f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0为f ( x) 的不动点.如果函数

f ( x) ?

1 x2 ? a (b, c ? N ) 有且只有两个不动点 0,2,且 f (?2) ? ? , 2 bx ? c (1)求函数 f ( x) 的解析式; 1 (2)已知各项不为零的数列 {a n }满足4S n ? f ( ) ? 1 ,求数列通项 an ; an
(3)如果数列 {an } 满足 a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,求证:当 n ? 2 时,恒有 an ? 3 成立.

高二数学上学期期中考模拟卷参考答案
1 B

a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27,3a4 ? 39,3a6 ? 27, a4 ? 13, a6 ? 9

S9 ?
2 C 3 C

9 9 9 ( a1 ? a9) ? ( a4 ? a6) ? ( 1 3? 9 ) ? 99 2 2 2

b ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3 a 1 1 对于 A,B,倒数法则: a ? b, ab ? 0 ? ? ,要求 a , b 同号, a b

1 ? b ? ?1 ? b2 ? 1, 而a ? 1,对于 a2 ? 2b 的反例: a ? 1.1, a2 ? 1.21, b ? 0.8, 2b ? 1.6
4 C

a1 (1 ? q3 ) ? 18, a1 (q ? q 2 ) ? 12,

1 ? q3 3 1 ? , q ? 或q ? 2, 2 q?q 2 2

而 q ? Z , q ? 2, a1 ? 2, S8 ? 5 D 6 B 7 D

2(1 ? 28 ) ? 29 ? 2 ? 510 1? 2

sin A ? sin 2B ? 2sin B cos B, a ? 2b cos B
? k 2 ? 2k ? 5 3 1 ? (k ? 1) 2 ? ? 1,? x ? 1 ? x, x ? 2 2 2

lg 2 ? lg(2x ? 3) ? 2lg(2x ?1), 2(2x ? 3) ? (2x ?1)2
x 2 (2 )? 4 ? x2 ? 5 ? 0x, 2 ?x 5, ? 2

log 5

8

B

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc,(b ? c)2 ? a2 ? 3bc,
b2 ? c 2 ? a 2 1 b ? c ? a ? 3bc , c oA s? ? A,? 2bc 2
2 2 2

60 0

9.用待定系数法,解出 2a+3b= 10.B

5 1 (a+b) ? (a-b),求出结果为 D。 2 2

log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? log3 (a1a2 ...a10 ) ? log3 (a4a5 )5 ? log3 (310 ) ? 10
n?1 n n n ?P 0 (1 ? k ) = P 0 (1 ? k ) (1 ? k ?1) ? P 0 (1 ? k ) k ,

11.解析: (1,1) , (1,2) , (2,1) ,共 3 个 答案:3 12、 答案: B 解析:P n ?1 ? P n ? P 0 (1 ? k )

n ??1 ? k ? 0,?0 ? 1? k ? 1,(1? k )n ? 0.又? P 0 ? 0, k ? 0,? P 0 (1 ? k ) k ? 0, 即P n?1 ? P n ? 0.? P n?1 ? P n

13

65 12

9 a5 2a5 a1 ? a9 2 (a1 ? a9 ) S9 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? ? ? ? b5 2b5 b1 ? b9 9 (b ? b ) S "9 9?3 12 1 9 2

14

2 39 3

1 1 3 S?ABC ? bc s i n A ? c? ? 2 2 2

3 c ,?

a 42 ,?

a 1? 3,

13

a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2
15、13 16

x-y=-1 y=2

? ? tan A ? tan C [ , ) tan 2 B ? tan A tan C , tan B ? ? tan( A ? C ) ? 3 2 tan A tan C ? 1 tan A ? tan C tan B ? ? tan( A ? C ) ? tan 2 B ? 1
tan3 B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ? 2 tan B

x+y=4

tan 3 B ? 3 tan B, tan B ? 0 ? tan B ? 3 ? B ?
2

?
3
2 2

cos ?BDA. 17、解:在 ?ABC 中,由余弦定理得 BA ? BD ? AD ? 2BD?AD?
设 BD=x,则 14 ? x ? 10 ? 2 ?10 x cos 60
2 2 2
2

0

,

得 x -10x-90=0 ? x1 ? 16, x2 ? ?6(舍去) 即 BD=16.在 ?BDC 中,

?CDB ? ?ADC ? ?BDA ? 900 ? 600 ? 300

由正弦定理得

BC BD 16 ? ,? BC ? ? sin 30o ? 8 2 o sin ?CDB sin ?BCD sin ?135 ?a1 ? 3d ? 1 4 , ?a4 ? 14 ?a1 ? 5 ? 18、 (Ⅰ)由 ? ∴ ? ……3 分 ? 1 10 a1 ? ? 1 ? 0 ?9 d 9 ? 185 , ?3 ?d ?S10 ? 185 ? ? 2 由 an ? 5 ? (n ? 1) ? 3 ? an ? 3n ? 2 ……………………………6 分
(Ⅱ)设新数列为{ bn },由已知, bn ? 3 ? 2 n ? 2
1 2 3 n n

………………… 9 分

?Gn ? 3(2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2n ? 6(2 ? 1) ? 2n. ?Gn ? 3 ? 2n?1 ? 2n ? 6, (n ? N*) ……………………………………12分
19、解: y( x2 ?1) ? mx2 ? 4 3x ? n,( y ? m) x2 ? 4 3x ? y ? n ? 0 显然 y ? m 可以成立,当 y ? m 时,方程 ( y ? m) x2 ? 4 3x ? y ? n ? 0 必然有实数根,? ? ? 48 ? 4( y ? m)( y ? n) ? 0, 即 y ? (m ? n) y ? mn ?12 ? 0, 而 ?1 ? y ? 7
2

??1和7 是方程 y 2 ? (m ? n) y ? mn ?12 ? 0 的两个实数根

则?

?m ? n ? 6 x 2 ? 4 3x ? 5 , m ? 1, n ? 5 ? y ? x2 ? 1 ?mn ? 12 ? ?7
1 )万元,…第 n 年投入 5

20、解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- 为 800×(1-

1 n-1 ) 万元,所以,n 年内的总投入为 5 1 1 - n 1 - 4 )+…+800×(1- )n 1= 800×(1- )k 1=4000×[1-( )n] 5 5 5 5 k ?1

an=800+800×(1-

?

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 收入 400×(1+

1 ),…,第 n 年旅游业 4

1 n-1 ) 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 4 1 1 - n 5 - 5 )+…+400×(1+ )k 1= 400×( )k 1.=1600×[( )n-1] 4 4 4 4 k ?1

bn=400+400×(1+

?

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即:

5 n 4 4 ) -1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2> 4 5 5 2 4 2 0.解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去).即( )n< ,由此得 n≥5. 5 5 5 ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.
1600×[( 21 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

1 3 ?? ?? ? ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 3? ?6 ? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?A? ?B, ?B? ? ? . ? A? ? , 2 2 2 2 6 3 3 3 6
所以

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? .由此有 sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

c ? 2?0 ? ? , ? x ?a ? 1? b 2 ? x 22 解:设 得: (1 ? b) x ? cx ? a ? 0, 由违达定理得: ? bx ? c ?2 ? 0 ? a , ? 1? b ? ?a ? 0 ?2 1 x2 ? ?? , f ( x ) ? 解得 ? 代入表达式 ,由 f ( ?2) ? , c c 1? c 2 b ? 1? ? (1 ? ) x ? c 2 ? 2 得 c ? 3, 又c ? N , b ? N , 若c ? 0, b ? 1, 则f ( x) ? x 不止有两个不动点,
2

x2 ? c ? 2, b ? 2, 于是f ( x) ? , ( x ? 1). ………………………………………5 分 2( x ? 1) 1 ( )2 an 2 (2)由题设得 4 S n ? (A) ? 1得 : 2S n ? a n ? a n , 1 2( ? 1) an
2 且 an ? 1,以n ? 1代n得 : 2S n?1 ? an?1 ? an ?1

(B)

2 2 由(A) ? (B)得: 2an ? (an ? an?1 ) ? (an ? an (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0, ?1 )即

? an ? ?an?1或an ? an?1 ? ?1,以n ? 1代入( A)得 : 2a1 ? a1 ? a12 , 解得 a1 ? 0 (舍去)或 a1 ? ?1 ;由 a1 ? ?1 ,若 an ? ?an?1得a2 ? 1, 这与 an ? 1 矛
盾,

? an ? an?1 ? ?1 ,即{ a n } 是以 ? 1 为首项, ? 1 为公差的等差数列, ………………………………………………………………10 分 ? an ? ?n ;
(3)证法(一) :运用反证法,假设 an ? 3(n ? 2), 则由(1)知 a n ?1 ? f (a n ) ?
2 an 2a n ? 2

?

an?1 an 1 1 1 1 3 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 1,即an?1 ? an (n ? 2, n ? N ) an 2(an ? 1) 2 an ? 1 2 2 4

∴ an ? an?1 ? ? ? a2 ,而当 n ? 2时, a2 ?

a12 16 8 ? ? ? 3; ? an ? 3, 2a1 ? 2 8 ? 2 3 这与假设矛盾,故假设不成立,∴ an ? 3 .………………………………………14 分

2 an 1 1 1 1 1 证法(二) :由 an?1 ? f (an )得a n?1 ? , ? ?2( ? ) 2 ? ? 2an ? 2 an?1 an 2 2 2 得 a n ?1 <0 或 an?1 ? 2, 若an?1 ? 0, 则an?1 ? 0 ? 3, 结论成立; ? an (an ? 2) 若 a n ?1 ? 2 ,此时 n ? 2, 从而 an?1 ? an ? ? 0, 2(an ? 1) 2 2 即数列 { an } 在 n ? 2 时单调递减,由 a 2 ? 2 ,可知 a n ? a 2 ? 2 ? 3, 在n ? 2 上成 3 3

立.………………………………………………………………………………………14 分

天 · 星 o


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