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高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案

高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案
教学目标: 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 3、常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点:①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式. ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形. ③能解决与三角形有关的实际问题. 教学难点:①根据已知条件判定解的情形,并正确求解. ②将实际问题转化为解斜三角形. 教学过程 一、基础回顾 1、正余弦定理 a b c 正弦定理: = = =2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). sinA sinB sinC 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC 2、变形式 ①a=2RsinA ,b=2RsinB ,c=2RsinC;(其中 R 是△ABC 外接圆半径) ②a∶b∶c=sinA:sinB:sinB b +c -a a +c -b a +b -c ③cosA= ,cosB= ,cosC= . 2bc 2ac 2ab 3、三角形中的常见结论 (1) A+B+C=π . (2) 在三角形中大边对大角,大角对大边:A>B ? a>b ? sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4) △ABC 的面积公式 1 ① S= a·h(h 表示 a 边上的高); 2 1 1 1 abc ② S= absinC= acsinB= bcsinA= ; 2 2 2 4R 1 ③ S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径); 2 1 ④ S= P(P-a)(P-b)(P-c),其中 P= (a+b+c). 2 二、基础自测 1、在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=________. 2、在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A=________. 3、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,若 a=2bcosC,则此三角形一定 是________三角形. 2 2 2 4、已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且 a +b -c =ab,则∠C=________.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

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1 5、在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cosC= ,则△ABC 的面积为________. 3

三、典例分析 例 1 (2013· 惠州模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+ bcos2A= 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.

解:(1)由正弦定理,得 asin B=bsin A,
又 asin Asin B+bcos A= 2a, b 2 2 ∴bsin A+bcos A= 2a,即 b= 2a,因此 = 2. a (2)由 c =b + 3a 及余弦定理,得 a +c -b (1+ 3)a cos B= = , 2ac 2c 又由(1)知,b= 2a,∴b =2a , 因此 c =(2+ 3)a ,c= 2+ 3a= 2 , 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(*)

3+1 a. 2

代入(*)式,得 cos B=

π 又 0<B<π ,所以 B= . 4 规律方法:1.运用正弦定理和余弦定理求解三角形时,要分清条件和目标.若已知两 边与夹角,则用余弦定理;若已知两角和一边,则用正弦定理. 2.在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须 判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.

例 2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向
7 2A 量 m=(4,-1),n=(cos ,cos 2A),且 m·n= . 2 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状.

解:(1)∵m=(4,-1),n=(cos2 ,cos 2A),
2 1+cos A 2A 2 2 ∴m·n=4cos -cos 2A=4· -(2cos A-1)=-2cos A+2cos A+3. 2 2 7 又∵m·n= , 2 7 1 2 ∴-2cos A+2cos A+3= ,解得 cos A= . 2 2 π ∵0<A<π ,∴A= . 3

A

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(2)在△ABC 中,a =b +c -2bccos A,且 a= 3, 1 2 2 2 2 2 ∴( 3) =b +c -2bc· =b +c -bc. 2

2

2

2



又∵b+c=2 3,∴b=2 3-c, 2 代入①式整理得 c -2 3c+3=0,解得 c= 3,∴b= 3, 于是 a=b=c= 3,即△ABC 为等边三角形. 规律方法: 判定三角形的形状, 应围绕三角形的边角关系进行转化. 无论使用哪种方法, 不要随意约掉公因式;要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能. 例 3、(2012· 课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C + 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C- sin B-sin C=0. 因为 B=π -A-C,则 sin B=sin Acos C+cos Asin C. 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 由于 sin C≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π ,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 又 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8. 由①②联立,得 b=c=2. 四、练习
2 2 2 2 2

① ②

变式练习 1:(2012·浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. 变式练习 2:在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状 五、作业布置 六、板书设计 1、正余弦定理 2、变形式 3、三角形中常用结论 典例分析 七、教学反思

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