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广丰高中数学比赛王英课件:函数图像的变换课件


函数图像的变换

一、教材分析

四、教学方法

二、教学重点、难点

五、教学过程

三、教学目标

六、教材设计说明

一、新课引入
函数图像的平移变换规律: 本质上是函数图像上的每个点的平移

y ? f (x) y ? f (x)
问题思考:
1、如何由函数

y ? f ( x ? a) y ? f ( x) ? k

? a?0 ? ? a?0 ? k ?0 ? ? k?0

向左平移 向右平移 向上平移

a
a

个单位 ? 个单位 ?

?

左右平移
左加右减

k 个单位 ? 上下平移 ? 上加下减 向下平移 k 个单位 ?

y ?3

x

的图像得到函数

1 x y ? 3? ( ) 的图像? 3

2 2、如何由函数 y ? x 2 ? 4x ? 3 的图像作出函数 y ? x ? 4 x ? 3 的图像?

二、问题探究Ⅰ
在同一坐标系下作出函数 你能得出什么结论?
y
4 3

y ? 2 x 与 y ? ?2xx x 2? ? ,的图像,观察函数图像的特征,
y

y
4 3 2 1

y?2

x

4 3 2 1

y ? 2x

y ? 2x

y?2

?x

2 1 -1 0 1 -1 -2 -3 2

-2

x

-2

-1

0 1 -1 -2 -3

2

x

-2

-1

0 1 -1 -2 -3

2

x

y ? ?2 x

y ? ?2? x

关于y轴对称

关于x轴对称

关于原点对称

函数图像的对称变换规律:
关于y轴对称 y ? f (? x) 1、 y ? f (x) (x,y)换成(-x,y)

2、y ? f (x) 关于x轴对称 y ? ? f (x) (x,y)换成(x,-y) 关于原点对称 y ? ? f (? x) 3、y ? f (x) (x,y)换成(-x,-y)

三、适应练习Ⅰ
x 轴 y ? x 2 与 y ? ? x 2 的图像关于_____________对称; 1? x x ?1 y 轴 2、 f ( x) ? 2 与 g ( x) ? 2 的图像关于_____________对称; 1 3、如何由函数 y ? 3x 的图像得到函数 y ? 3? ( ) x 的图像? 3 1 x ?x ? x ?1 1、 解:

?

y ? 3? ( ) ? 3? 3 ? 3 3
向左移1个单位
关于y轴对称

?

y ? 3x
x

y ? 3x?1
y ?3
?x

关于y轴对称 向右移1个单位
y

y ? 3? x?1 y ? 3?( x?1) ? 3? x?1

或: y ? 3
y

4 3

y ?3

x

4 3 2

y ? 3x
y ? 3? x?1 ?1,1?
2 3 4

y ? 3? x

y ? 3x?1
-4 -3 -2

y ? 3? x?1 1 ?1,1? ??1,1? ?0,1?
-1 0 1 -1 -2 2 3 4

2

?0,1?
-4 -3 -2 -1

1

x

0 1 -1 -2

x

注意:当自变 量的系数为负 时,注意平移 变换的方向

-3

-3

四、问题探究Ⅱ
画出函数
y

log x y ? log22
4 3 2

x

的图像,并指出它与

y ? log2
y
4 3 2 1

x

的图像有何联系?

y ? log2

?x

y ? log2

x

y ? log2

x

??1,0? ?1,0?
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3 4

1

?1,0?
2 3 4

x

-4 -3 -2

-1
x

0 1 -1 -2 -3

x
x

y ? log2

x

y ? log2

y ? ? log2

y ? log2

x

? log2 x ( x ? 0) ?? ?x log2 ( x ? 0) ?

y ? log2

x

? log2 x ( x ? 1) ?? x ? log2 (0 ? x ? 1) ?

函数图像的翻折变换规律:
由 由

y ? f (x) y ? f (x)

保留y轴右侧图像,再将y轴 右方图像对称翻折到y轴左方

y ? f ( x) y ? f (x)

保留x轴上方图像,再将x轴
下方图像对称翻折到x轴上方

五、适应练习Ⅱ
分别作出下列函数的图像:
2 1、 y ? x ? 4 x ? 3

2、

y ? x2 ? 4 x ? 3
y ? x2 ? 4x ? 3

2 解: 1、 y ? x ? 4x ? 3

保留x轴上方图像,再将x轴 下方图像对称翻折到x轴上方

y ? x2 ? 4x ? 3 2、

保留y轴右侧图像,再将y轴右 y ? x 2 ? 4 x ? 3 方图像对称翻折到y轴左方
y ? x2 ? 4x ? 3
4 3 2

y

?0,3?

4 y ? x2 ? 4x ? 3 3 2 1

注意区分

y

?2,1? ?1,0?
2

?3,0?
3 4

y ? f ( x )与 y ? f (x) 的表
x

?0,3?

-4

-3 -2

-1

0 1 -1 -2 -3

现形式哦!

?? 3,0?
-4 -3 -2

??1,0?
-1

1 0 1 -1 -2 -3

?1,0?
2

?3,0?
3 4

?2,?1?
y ? x ? 4x ? 3
2

x

?? 2,?1?
y ? x ?4 x ?3
2

?2,?1?

图1

图2

六、实例讲解
例1、作出下列函数的图像,并指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性:
1、 y ? ( )

1 2

x

2、 y ? log2 ? 1
x

1 x ) 2 保留y轴右侧图像,再将y轴

解:1、 y ? (

y

4 3
y ? (
? 1? ?1, ? ? 2?

y
1 x ) 2

4 3

y ? log2

x

右方图像对称翻折到y轴左方 1 x y ? ( ) 2

?? 1,2?
1? ? ? ? 1, ? 2? ?

2
?0,1?

y ? log2 ? 1
x

2 1
? ,1? 1
?1,0?

?4,2? ?4,1?

1

2、y ? log2
x

x

向下移1 个单位

-4

-3 -2
y ? (

-1
1 ) 2
x

0 1 -1 -2 -3

2

3

4

x

-4 -3

-2

-1

0 ? 1 ,?1? 2 1 ? ? ?2 ? -1 ?1,?1? -2? 1 ,?2 ? ? ?
?2 ?

3

4
x

x

y ? log2 ?1

y ? log2 ?1 保留x轴上方图
像,再将x轴
x

-3

下方图像对称翻 折到x轴上方

y ? log2 ? 1

函数
1 x y?( ) 2

定义域
R

值域
(0,1]

奇偶性
偶 非奇非偶

单调性
增区间(? ?,0) 减区间(0, ?) : : ? 增区间(2,??) 减区间(0, : : 2)

x y ? log2 ? 1 {x | x ? 0}

[0,??)

六、实例讲解
例2:求关于x的方程 x ? 2 x ? 3 ? a ( a ? R ) 的不同实根的个数。
2

解:在同一坐标系
中,作出 y=|x2+2x-3|和y=a 的图像。 由图可知: 当a<0时, 方程无解; 当a=0时, 方程有两个解;

y=a(a=4) 有三个交点

y 4 3

y=a(a>4) 有二个交点

y=a(0<a<4) 有四个交点

2 1 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4 2 3 x

当0<a<4时, 方程有四个解; 当a=4时, 方程有三个解; 当a>4或a=0时,方程有两个解. 当a>4时, 方程有两个解.

y=a(a<0) 没有交点

y=a(a=0) 有两个交点

七、抽像概括
1、图像变换法:

(1)对称变换法
y ? f (? x)
关于y轴对称

(2)翻折变换法
y ? f ( x)
保留y轴右侧图像, 再将y轴右方图像对 称翻折到y轴左方 保留x轴上方图像, 再将x轴下方图像对 称翻折到x轴上方

y ? ? f (x)

关于x 轴对称

y ? f (x)

关于直线 y=x对称

y ? f ?1 ( x)

y ? f (x)

关于原点对称

y ? ? f ( ? x)

y ? f (x)

2、用图像变换法画函数图像时,往往要找出该函数的基本初等函数,分析其 通过怎样变换得到所求函数图像,有时要先对解析式进行适当变形。 3、利用函数的图像判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等,体现 了数形结合的数学思想。

八、课外作业
1、试画出下列函数的图像:
(1) y ? 2
1? x

1 y? ; (2) x ? 1.

x 2、求方程的 lg ? x ? 3 ? 0 实数解的个数。


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