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数列的求和,涵盖所有高中数列求和的方法。


数列的求和
一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 二、教学重点:特殊数列求和的方法.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? 1? q ?
2.公式法:

?k
k ?1

n

2

2 2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ? ? n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

? n(n ? 1) ? ? k ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? 2 ? ? ? k ?1
n 3 3 3 3 3

3.错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
n ? n!? (n ? 1)!?n!



1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
2 2 2 2 2 2 6.合并求和法:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。

7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11? 111? ? ? 11?1 ?? ?
n个

② Sn ? (x ?

1 2 1 1 ) ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前 n 项和 S n 思路分析:通过分组,直接用公式求和。

解:① ak ? 11?1 ? 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? ?? ?
2 k k个

1 k (10 ? 1) 9

1 10(10n ? 1) 10n?1 ? 9n ? 10 1 1 S n ? [(10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] ? [(10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n] ? [ ? n] ? 9 9 9 9 81
2 ② Sn ? (x ?

1 1 1 ? 2) ? ( x 4 ? 4 ? 2) ? ? ? ( x 2 n ? 2 n ? 2) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x

(1)当 x ? ?1 时, S n ?

x 2 ( x 2n ? 1) x ?2 ( x ?2n ? 1) ( x 2n ? 1)(x 2n?2 ? 1) ? ? 2n ? ? 2n x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2n ( x 2 ? 1)

(2)当 x ? ?1 , S n ? 4n 时 ③ a k ? (2k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? ? ? [( 2k ? 1) ? (k ? 1)] ?

k[( 2k ? 1) ? (3k ? 2)] 5 2 3 ? k ? k 2 2 2 5 3 5 n(n ? 1)( 2n ? 1) 3 n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ? 2 2 2 6 2 2 1 ? n( n ? 1)( 5n ? 2) 6

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1讨论。 2.错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3a,5a 2 ,?, (2n ? 1)a n?1 (a ? 0) ,求前 n 项和。 思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,…2n-1 与等比数列 a , a, a ,?, a 和。 解: S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n?1
0 2 n?1

对应项积,可用错位相减法求

?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a3 ? ?? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n
当 a ? 1 , (1 ? a) S n ? 1 ? 时 当 a ? 1 , Sn ? n2 时 3.裂项相消法求和 例 3.求和 S n ?

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a) 2

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

22 42 (2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: ak ?

(2k ) 2 (2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 练习: 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

求 Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

4.倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n m n 思路分析:由 Cn ? Cn ?m 可用倒序相加法求和。 0 1 2 n 证:令 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn

(1) (2)
m n ? Cn ? Cn ?m

n n 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ?1 ? ? ? 5Cn ? 3Cn ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? ? ? (2n ? 2)Cn 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2n

等式成立

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?an ? an ? ?2[n ? (?1) n ],求S n 。 , 思路分析: an ? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。 解: an ? ?2n ? 2(?1) n ,若 n ? 2m, 则S n ? S 2 m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2

? (?1)
k ?1

2m

k

S n ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1)2m ? ?n(n ? 1)
若 n ? 2m ? 1, 则S n ? S 2m?1 ? S 2m ? a2m ? ?(2m ? 1)2m ? 2[2m ? (?1) 2m ] ? ?(2m ? 1)2m ? 2(2m ? 1)

? ?4m 2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2

(n为正偶数) ?? n(n ? 1) ? Sn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 (n为正奇数)
预备:已知 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n , 且a1 , a2 , a3 ,?an 成等差数列,n 为正偶数,
2 又 f (1) ? n , f (?1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。

1 2

? (a1 ? a n )n ? n 2 ?a ? a ? 2n ? f (1) ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n 2 ? n 2 解: ? ?? ?? 1 n d ?2 ? ? f (?1) ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? d ?n 2 ?
?a ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ?? 1 ? a1 ? 1? an ? 2n ? 1 ? d ?2
f ( x) ? x ? 3x 2 ? 5 x 3 ? ? ? (2n ? 1) x n 1 1 1 1 1 f ( ) ? ? 3( ) 2 ? 5( ) 3 ? ? ? (2n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2

n?2 ? (2n ? 1)( ) n ,∵n 为正偶数,? f ( ) ? 3 可求得 f ( ) ? 3 ? ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

(四)巩固练习: 1.求下列数列的前 n 项和 Sn :
n (1)5,55,555,5555,…, (10 ? 1) ,…; (2)

5 9

1 1 1 1 , , ,?, ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

(3) an ?

1

n ? n ?1 (5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ; (6) sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? . n n ?个 ? ? 5 ?个 ? ? 解: (1) S n ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99?9) 9 5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9 1 1 1 1 ? ( ? ), (2)∵ n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 1 n ?1 ? n (3)∵ an ? ? ? n ?1 ? n n ? n ? 1 ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n ) 1 1 1 ? ??? ∴ Sn ? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n ? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? n ? 1 ?1 .
(4) Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,



(4) a, 2a2 ,3a3 ,?, na n ,?;

n(n ? 1) , 2 n 当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? … ? na ,
当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?

aSn ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? … ? na n ?1 ,
两式相减得 (1 ? a)Sn ? a ? a2 ? a3 ? … ? a ? na
n n ?1

?

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

na n? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? a . (1 ? a)2 2 (5)∵ n(n ? 2) ? n ? 2n ,
∴ Sn ? ∴ 原式 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ?n ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ?
2 2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

(6)设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ??? sin 89 , 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 又∵ S ? sin 89 ? sin 88 ? sin 87 ? ?? ? sin 1 ,
2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

∴ 2 S ? 89 , S ?

89 . 2

2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列;

当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 所以, Sn ? ? . n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) (n为偶数) ? 2 3 ?
四、小结:
1.掌握各种求和基本方法; 2.利用等比数列求和公式时注意分 q ? 1或q ? 1讨论。


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