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例谈解析几何中的定点定值问题_论文

例谈 解 析几何 中的定 点定 值 问题  扬 州中学教 育集团树 人学校 解析几何 中的定点定值问题一直是高考 与竞赛 中的热点之一 ,   由于现行教材对这 个问题没有做专门 的介绍 ,因此也成 了高中数 学  的难点之一 ,事实上 ,对这类问题的解答还是有规律可循 的 ,如证  明直线过定点 的解 题步骤可以归纳为 :一选 、二求 、三定点 。具 体  操 作程序如下 :   一 陈瑞 飞  ,   ) ,   用  去代 尼 ,得 (   9 k  一1   9一k   k p M …9 k 2 + 1  k 2 + 9 生   1 8 k   1 8 k 9 k 2 一 +1   七 j+9   . 1 0 k ’   .  选 :选择参 变量 。需要证明过定点 的直线往往会 随某一个 量  ? . . 的变化而变化 , 可选择 这个量为参变量 ( 当动直线牵涉 的量 比较 多  时 ,也可以选择多个参变量 ) 。   二求 : 求 出动直线的方程。 求 出只含上述参 变量 的动直 线方程 ,   并 由其他辅助条件减少参变 量的个数 ,最终使动直线 的方程 的系数  跗 一 :  嵩=   ,   1 0 k  詈 5  1   O k   州   4 5   +   . . 直线 户  经过定点 ( 0   4 ) . 中只含有 一个参变量。   . 三定点 : 求出定点的坐标 。 不妨 设动直 线的方程中含有变量  ,   把 直线方 程写成 f ( x ,   ) + Z g (   ,  ) : 0的形式 , 然后解关于 x , Y的方  程组 说明 :1 ) 易知 动直线 MP随着 A、B两点的位置的变化而变化。   {   耋  得 到 定 点 的 坐 标 。   例题 1 、 如图, 椭圆 G :   ‘   事实上 ,A点的位置决定着 B点的位置。   2)如 果仔 细观 察 图像 ,能发 现直 径所对 的圆周 角是 9 0。,   E P , ME 所在直线互相垂直 。引入参 变量 直线 E尸的斜率为 k , 则  a   +   =1( a>b>0) 和圆  :   b   一   直线 ME 的斜率为 一 ÷。   +Y  =b  ,已知 圆 c , 将椭 圆   的长轴 三等分 ,椭 圆   右焦 点  到右 准线的距离为 兰 ,椭 圆G 的下 顶点为 E ,过坐标原点 O且 与  3 ) 利用直线与椭圆联立方程, 将  , P两点的坐标用参数k表  f(   xy) 示 出 来 。 从 而 求 出 直 线 方 程 , ¥ 1 j J  ̄ I ' = 0 求出定点的坐标 。  I g( y) , : u 坐标轴不 重合 的任意直线 , 与圆 G 相 交于点 A 、B.   ( 1 ) 求椭 圆 C 的方程 ;   例 2、 在 平 面 直 角 坐’ 标 系 x Oy 中 , 已 知 椭 圆  c :  +  : l ( a > 6 >0 ) 与直线 z   :  ∽ ∈ R) .   ( 2 ) 若直线 E  、   P、   分别与椭圆Cr I 相交于另一个交点为点  四点( 3 , 1 ) , ( 3 , 一 1 ) , ( - 2 , , / t 2 , 0 ) , ( √ 3 , √ 3 )中有  个点在椭  圆C 上, 剩余一个 点在直线 , 上 .( 1 ) 求椭 圆 C 的方程 ;   ( 2 ) 若动点 P 在直 线 , 上, 过 P作直线 交椭 圆 C 于 M , Ⅳ两  . 求证 :直线』   ’经过一定点;   P   M — ,一I  /   点, "  ̄ - P M =P N ,再过 P作直线 上   Ⅳ .证 明 : 直线 , , 恒过  定 点 ,并 求出该定点 的坐标.   \ / / ,   \ \ \ 、   . .  、   讲解: ( 1 ) 由题 意有 3 个 点在椭 圆 C 上 ,根据椭 圆的对称性 ,   则点 ( 3 , 1 ) , ( 3 , 一 1 ) 一定 在椭 圆 C 上 ,即   +   :1   ① ,若点  ( - 2 √   , 0 ) 在 椭 圆 C上 ,则 点 ( - 2 4 2, 0 ) 必 为 C 的 左 顶 点 ,而  E   3 > 2 √  , 则点 ( - 2 , / 2, o ) - ̄ r 上, 故点( 4 5 , √ j ) 在椭圆   讲 解 :(1)依 题 意 , 2 6 =  . 2 n ,则 以= 3 b,  . ? .   C 上, 点( - 2  ̄ t 2 , 0 ) 在 直 线, 上, 所 以之+   - 3 = 1   ②,联 立 ① ②   ‘   a‘   b‘   可解得 a 。 =1 2, 6  =4,所 以椭圆 C 的方 程为  + — y   Z = c :   : 2   , 又了 a 2 一 c = 譬 =   4  . ㈦  f Y=  ~ 1 ,   1;   (2)由 (1)可 得 直 线 ,的 方 程 为 x : 一 2 √   ,设  P ( 一 2   ,  ) ,    ̄ / 3   一 2 _ 4 32 ., J   , _ 口 : 3 ,. . . 椭圆 方程 为x A+ v 2 : 1 .  9   ( 2 ) 由题意知直线 P E, ME 的斜率存 在且不 为 0 , 设直线 尸  搴为  则 胁   '由   当Y 。 ≠O时 ,设  (  ,  1 ) , Ⅳ(  , Y 2 ),显然 X ≠  , 1   得  1 , 联 立  篝 芏 2   等 4 _ l , 则   苎 : 二 兰 : +   ! : 二   :   0 , 即   芷: 1 ,   1 2   4   + 1 2   4   ‘ ?

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