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高中数学人教A版必修4:3章末过关检测卷(含答案)


数学· 必修 4(人教 A 版)

章末过关检测卷(三)
第三章 三角恒等变换
评价分值:150 分)

(测试时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.sin 347° cos 32° +sin 77° cos 58° 的值为( 1 A. 2 C. 2 2 B.- D.- 1 2 2 2 )

解析:原式=sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin 45° = C. 答案:C

2 .故选 2

2.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 3

) D. 3 2

解析:原式=cos 45° =

2 ,故选 B. 2

答案:B

π π 3.sin - 3cos 的值是( 12 12 A.0 B.- 2

) C. 2 D.2

?1 π 3 π? 解析:原式=2? sin - cos ? 2 12? ?2 12 ? π π? π =2sin?12-3?=-2sin =- 2,故选 B. 4 ? ?

答案:B

4.(2014· 揭阳一模)下列函数是偶函数,且在[0,1]上单调递增的 是( )
? π? A.y=sin ?x+2? ? ?

B.y=1-2cos22x C.y=-x2 D.y=|sin(π+x)|

答案:D

5.化简 2 1-sin 8+ 2+2cos 8得(

)

A.2sin 4 C.4cos 4-2sin 4

B.2sin 4-4cos 4 D.-2sin 4

解析:原式=2 sin24+cos24-2sin 4cos 4+ 2+2?2cos24-1?= 2 ?sin 4-cos 4?2+2|cos 4|=2(cos 4-sin 4)-2cos 4=-2sin 4. 故选 D. 答案:D

6.(2013· 上海卷)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数 是( ) A.y=sin x C.y=sin 2x B.y=cos x D.y=cos 2x

答案:B

7.设向量 a=(sin 15° ,cos 15° ),b=(cos 15° ,sin 15° ),则 a、b 的夹角为( A.90° C.45° ) B.60° D.30°

解析:∵|a|=|b|=1,且 a· b=sin 15° cos 15° +cos 15° sin 15° =sin

1 a· b 1 30° = ,∴a、b 的夹角 θ,cos θ= = , 2 |a||b| 2 又∵θ∈[0,π],∴θ=60° .故选 B. 答案:B

? ? π? ? π? ? ? ? π? ? π?? 8.函数 y=?cos?x+ 4?+sin?x+4???cos?x+ 4?-sin?x+4??在一个 ? ? ? ? ??? ? ? ? ??

周期内的图象是(

)

解析:y=?

? 2 ? 2 2 2 cos x- sin x+ sin x+ cos x?· 2 2 2 ?2 ?

? 2 ? 2 2 2 ? cos x- sin x- sin x- cos x ? 2 2 2 ?2 ?

= 2cos x· (- 2sin x)=-2sin xcos x=-sin 2x,故选 B. 答案:B

π 9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,|φ|< 的图象如图所示,为 2 了得到 g(x)=sin 3x 的图象,只需将 f(x)的图象( )

π A.向右平移 个单位长度 4 C.向右平移 π 个单位长度 12

π B.向左平移 个单位长度 4 D.向左平移 π 个单位长度 12

2π 2π T 5π π π 解析:由图象可知,A=1, = - = ,即 T= = ω ,∴ω 4 12 4 6 3
?5π? ? 5π ? ?5π ? =3, ∴f(x)=sin(3x+φ), 又 f?12?=sin?3× 12+φ?=sin? 4 +φ?=-1, ? ? ? ? ? ?

5π 3π π π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ= +2kπ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= , 4 2 4 2 4 即
? π? f(x) = sin ?3x+4? .∵g(x) = sin ? ? ? π π? 3x = sin ?3x-4+4? = ? ?

? ? π ? π? π sin?3?x-12?+4?,∴只需将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,即可 ? 12 ? ? ?

得到 g(x)=sin 3x 的图象,故选 C. 答案:C

3 10.观察等式:sin230° +cos260° +sin 30° · cos 60° = ,sin220° + 4 3 cos250° + sin 20° cos 50° = 和 sin215° + cos245° + sin 15° cos 45° = 4 3 ,…,由此得出以下推广命题不正确的是( 4 3 A.sin2α+cos2β+sin αcos β= 4 B.sin2(α-30° )+cos2α+sin(α-30° )cos α= 3 4 )

3 C.sin2(α-15° )+cos2(α+15° )+sin(α-15° )cos(α+15° )= 4

D.sin2α+cos2(α+30° )+sin αcos(α+30° )=

3 4

解析:由 3 个等式观察可知,其结构形式如 A 选项, 且 β-α =30° .故选 A. 答案:A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 1 α α 11.已知 sin α= (2π<α<3π),那么 sin +cos =________. 3 2 2

α 3π 解析:∵2π<α<3π,∴π< < , 2 2 α α ∴sin <0,cos <0. 2 2
? α α? 1 4 α α 由?sin2+cos2?2=1+2sin cos =1+ = , 2 2 3 3 ? ?

2 3 α α 知 sin +cos =- . 2 2 3 答案:- 2 3 3

? π? 12.设 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a,当 x∈?0,2?时,f(x)有最大 ? ?

值 4,则 a=________.

解析:f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a =cos 2x+ 3sin 2x+a+1
? π? =2sin?2x+6?+a+1. ? ? ? π? ? π? ?π 7π? 由 x∈?0,2 ???2x+6?∈?6, 6 ?, ? ? ? ? ? ?

∴f(x)max=3+a=4,∴a=1. 答案:1

π 1 13.(2013· 新课标Ⅱ卷)设 θ 为第二象限角,若 tan(θ+ )= ,则 4 2 sin θ+cos θ=________.

解析:本题先求出 tan θ,然后运用同角三角函数关系式进行变 形求解. 1+tanθ 1 ? π? 1 1 ∵tan?θ+4?= ,∴ = ,解得 tan θ=- . 3 ? ? 2 1-tan θ 2 sin2θ+cos2θ+2sin θ· cos θ ∴(sin θ+cos θ) = 2 2 sin θ+cos θ
2

1 2 - +1 tan θ+2tan θ+1 9 3 2 = = = . 2 1 5 tan θ+1 +1 9
2

1 ∵θ 为第二象限角,tan θ=- , 3

3 ∴2kπ+ π<θ<2kπ+π,k∈Z. 4 ∴sin θ+cos θ=- 答案:- 10 5 10 . 5

? π? 14.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?x∈R,A>0,ω>0,|φ|<2?的部 ? ?

分图象如图所示,则 f(x)的解析式为________________.

5 1 1 1 解析:由题意知 A=2, - = 是 f(x)周期的 ,故 T=2. 6 3 2 4 ∴ω =
?1 ? 2π = π , 则 f(x) = 2sin(πx + φ) , 再 将 点 ?3,2? 代 入 知 2 ? ?

?π ? π π π 2sin?3+φ?=2 得 φ=2kπ+ ,k∈Z,又|φ|< 得 φ= , 6 2 6 ? ? ? π? ∴f(x)=2sin?πx+6?. ? ? ? π? 答案:f(x)=2sin?πx+6? ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(2014· 湛江一模)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin (ωx
? ? π?? +φ)?ω>0,A>0,φ∈?0, 2??的部分图象如图所示,其中点 P 是图象 ? ? ??

的一个最高点。

(1)求函数 f(x)的解析式;

解析:由函数最大值为 2,得 A=2.
? π ? π?? 2π 由图可得周期 T=4?12-?-6??=π,由 ω =π,得 ω=2. ? ? ?? ? π? π π 又 ω· +φ=2kπ+ ,k∈Z,及 φ∈?0,2?, 12 2 ? ?

π 得 φ= . 3 π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 3

?π ? ?α? 5 (2)已知 a∈?2,π?且 sin α= ,求 f?2 ?. 13 ? ? ? ?

?π ? 5 解析:由 α∈?2,π?,且 sin α= ,得 cos α=- 1-sin2α=- 13 ? ?

12 , 13
? α π? ?α? + ? ∴f?2 ?=2sin?2· 2 3 ? ? ? ? ? ? ? π π? =2?sin αcos3+cos α sin3?,



5-12 3 . 13

3 3 16.(本小题满分 12 分)已知 sin(α-β)= ,sin(α+β)=- ,且 α 5 5
?π ? ?3π ? -β∈?2,π?, α+β∈? 2 ,2π?,求 cos 2β 的值. ? ? ? ?

?π ? 3 解析:由 sin(α-β)= 及 α-β∈?2,π?得: 5 ? ?

4 cos(α-β)= - , 5
?3π ? 3 由 sin(α+β)=- 及 α+β∈? 2 ,2π?得: 5 ? ?

4 cos(α+β)= . 5 ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

4 ? 4? ? 3? 3 = ×?-5?+?-5?× =-1. 5 ? ? ? ? 5

17.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=

sin 2x-cos 2x+1 . 2sin x

(1)求 f(x)的定义域;

解析:由 sin x≠0 得函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.

(2)求 f(x)的值域;

2sin xcos x-?1-2sin2x?+1 解析:f(x)= 2sin x 2sin xcos x+2sin2x = 2sin x
? π? =cos x+sin x= 2sin?x+4?(x≠kπ,k∈Z), ? ? ? π? 又由于 x=kπ,k∈Z 时, 2sin?x+4?的值为± 1. ? ?

所以 f(x)的值域为:[- 2,-1)∪(1, 2].

α 1 (3)设 α 为锐角,且 tan = ,求 f(α)的值. 2 2

2t 4 α 1 解析:令 t=tan = ,得 tan α= 2= , 2 2 1-t 3 4 3 由 α 为锐角,得 sin α= ,cos α= , 5 5 4 3 7 ∴f(α)=sin α+cos α= + = . 5 5 5

18 . (2013· 天津卷 )( 本小题满分 14 分 ) 已知函数 f(x) =- 2
? π? sin?2x+4?+6 sin xcos x-2cos2x+1,x∈R. ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期;

π π 解析:f(x)=- 2sin 2x· cos - 2cos 2x· sin +3sin 2x-cos 2x= 4 4
? π? 2π 2sin 2x-2cos 2x=2 2sin?2x-4?.所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2 ? ?

? π? (2)求 f(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值. ? ?

? 3π? ?3π π? 解析:因为 f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2?上是 ? ? ? ? ?3π? ?π? ? π? 减函数. 又 f(0)=-2, f? 8 ?=2 2, f?2?=2, 故函数 f(x)在区间?0,2? ? ? ? ? ? ?

上的最大值为 2 2,最小值为-2.

19.(本小题满分 14 分)如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3, ∠BAC=60° ,以点 A 为圆心,r=2 为半径作一个圆,设 PQ 为圆 A 的一条直径.

→ ,AB → 表示BP → , 用AP → ,AC → 表示CQ →; (1)请用AP

→ =AP → -AB →, 解析:BP → =-AP → -AC →. CQ

→· → 的最大值. (2)记∠BAP=θ,求BP CQ

解析:∵∠BAC=60° ,∠BAP=θ, ∴∠CAP=60° +θ, ∵AB=8,AC=3,AP=2,

→ ∴BP

→ =? → → ? · ? → →? ·CQ ?AP-AB? ?-AP-AC?

=8-6cos(θ+60° )+16cos θ =3 3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8,
? 13 3 ? ?其中sin φ= ,cos φ= 3? 14 14 ? ?

→ ∴当 sin(θ+φ)=1 时,BP

→ 的最大值为 22. ·CQ

20.(本小题满分 14 分)设 a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+
?π ? ? π? ? π 11π? cos2?2-x?,满足 f?-3?=f(0),求函数 f(x)在? 4 , 24 ?上的最大值 ? ? ? ? ? ?

和最小值.

解析:f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x a = sin 2x-cos 2x. 2
? π? 3 由 f?-3?=f(0)得- 2 ? ?

a 1 ·2 + =-1, 2

解得 a=2 3.
? π? 因此 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?. ? ? ?π π? π ?π π? 当 x∈?4,3?时,2x- ∈?3,2?,f(x)为增函数, 6 ? ? ? ? ?π 11π? π ?π 3π? 当 x∈?3, 24 ?时,2x- ∈?2, 4 ?,f(x)为减函数, 6 ? ? ? ? ?π 11π? ?π? 所以 f(x)在?4, 24 ?上的最大值为 f?3?=2, ? ? ? ?

?π? ?11π? 又因 f?4?= 3,f? 24 ?= 2, ? ? ? ? ?π 11π? ?11π? 故 f(x)在?4, 24 ?上的最小值为 f? 24 ?= 2. ? ? ? ?


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