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湖北省鄂州高中2015届高三第三次模拟考试数学理科试题


试卷类型:A

绝密★启用前

鄂州高中 2015 年高三年级第三次模拟考试
数 学(理工类)

本试题卷共 5 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★
注意事项: 1. 答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的 答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内 均无效。 5. 考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合 A ? {x | A. (??,1]

x ? 0, x ? R} , B ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? R} ,则 CR ( A ? B) ? x ?1
B. (??,1) C. (0,1] D. [0,1]

2.若 (1 ? ai)i ? 2 ? bi ,其中 a 、 b ? R , i 是虚数单位,则 | a ? bi |? A.

5

B. 1

C.

3.

D. 3

3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积为

A.

3π ? 3 2

B. π ? 3

C.

3π 2
9

D.

5π ? 3 2

4.已知 a ?

?

?

2 0

1 ? ? 2 x 1? ? ? sin ? ?dx ,则 ? ax ? ? 展开式中, x 的 2 2? 2ax ? ? ?
63 16
C. ?

一次项系数为 A. ?

63 16

B.

63 8

D.

63 8

数学(理工类) 试卷 A 型 第 1 页 (共 5 页)

试卷类型:A
? x ? y ? 2 2 ? 0, ? ? 5 .已知不等式组 ? x ? 2 2, 表示平面区域 ? , 过区域 ? 中的任意一个点 P , 作圆 ? ? ?y ? 2 2

x2 ? y 2 ? 1的两条切线且切点分别为 A, B ,当 ?APB 最大时, PA ? PB 的值为
A. 2 B.

3 2

C.

5 2

D. 3

6. 如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 32 ? 64 ”的值, 则 判断框内可以填入 A. k ? 132? B. k ? 70 ? C. k ? 64 ? D. k ? 63? 7 . 已 知 X 和 Y 是 两 个 分 类 变 量 , 由 公 式

K2 ?

n(ad ? bc)2 2 算出 K 的观测值 k 约为 7.822 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

根据下面的临界值表可推断

P(K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10. 828

k0

A.推断“分类变量 X 和 Y 没有关系”犯错误的概率上界为 0.010 B.推断“分类变量 X 和 Y 有关系”犯错误的概率上界为 0.010 C.有至少 99%的把握认为分类变量 X 和 Y 没有关系 D.有至多 99%的把握认为分类变量 X 和 Y 有关系 8.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数, b 是从 3
C.

0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为 A.

7 9

B.

1 3

5 9

D.

2 3

9.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且满足
?AFB ? 2? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 | MN | 的最大值是 | AB | 3

A. 3

B. 3 2

C. 3 3

D. 3 4

10.对定义在 [0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 M 函数: (i)对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 ; (ii)当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.

数学(理工类) 试卷 A 型 第 2 页 (共 5 页)

试卷类型:A
则下列四个函数中不是 M 函数的个数是( ① f ( x) ? x2 ② f ( x) ? x2 ? 1 ) ④ f ( x) ? 2 x ? 1

③ f ( x) ? ln( x2 ? 1)

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模凌两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题) 11.设 e1 , e 2 为单位向量,其中 a ? 2e1 ? e2 , b ? e2 ,且 a 在 b 上的投影为 2,则 e1 与 e2 的 夹角为 12 . 设 随 机 . 变 量

? ~ N ? ? , ? 2 ?,且P ?? ? ?1? =P ?? ? 2 ? =0.3





P ? ?2 ? ?

?______. = ?0

13 . 设 等 差 数 列 ?an ? 满 足 a5 ? 11 , a12 ? ?3 , ?an ? 的 前 n 项 和 Sn 的 最 大 值 为 M , 则

lg M =__________.
14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 , 圆 C2 :

( x ? 17)2 ? ( y ? 30)2 ? r 2 .若圆 C2 上存在一点 P ,使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于
点 A , B ,满足 PA ? 2AB ,则半径 r 的取值范围是 . (二)选考题() 15. (选修 4-1:几何证明选讲选) 如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于点 D,若 AD ? 1 , 设 ?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______.

B O A E C D

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标中,已知点 P 为方程 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 所表示的曲线上一动点,点 Q 的坐标为

? ? ? ? 2, ? ,则 PQ 的最小值为____________. ? 3 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分)

数学(理工类) 试卷 A 型 第 3 页 (共 5 页)

试卷类型:A
3 . 3

如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D ? 2?B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 , cos B ? (1)求 ?ACD 的面积; (2)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

18. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABB1A1⊥底面 ABC, AB ? BC ? CA ? =120°,D、E 分别是 BC、A1C1 的中点. (Ⅰ)试在棱 AB 上找一点 F,使 DE∥平面 A1CF; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角 A-A1C-F 的余弦值.
1 AA1 ,∠A1AB 2

20. (本小题满分 12 分) 据报道, 全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点, 一时间 “英语考试该如何改革” 引起广泛关注, 为了解某地区学生和包括老师、 家长在内的社会人士对高考英语改革的 看法,某媒体在该地区选择了 3600 人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了 问卷调查统计,结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2100 人 600 人 应该保留 120 人 无所谓

x人

y人 z人

(1)已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05 ,现用 分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度 的人中抽取多少人? (2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人,再平均分成两组进行深 入交流,求第一组中在校学生人数 ? 的分布列和数学期望.

数学(理工类) 试卷 A 型 第 4 页 (共 5 页)

试卷类型:A
21. (本小题满分 15 分) 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过 A 与 a2 b2

AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 2F1F2 ? F2Q ? 0 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)过 F2 的直线 l 与(Ⅱ)中椭圆交于不同的两点 M 、 N ,则 ?F1MN 的内切圆的面积 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 l4 分) 已知 函数 f ( x) ?

2 1 x ? , h( x ) ? 3 2

x

(I)设函数 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,求 F ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 log 4 [ (Ⅲ)试比较 f (81)h(81) ?
81

3 3 f ( x ? 1) ? ] ? log 2 h(a ? x) ? log 2 (4 ? x) 2 4

? h(k ) 与 6 的大小.
k ?1

1

数学(理工类) 试卷 A 型 第 5 页 (共 5 页)


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