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高三数学(文)一轮复习讲解与练习1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含答案解析)

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [备考方向要明了] 考 什 么 1.了解逻辑联结词 “或”“且”“非”的含 义. 2.理解全称量词与存在量 词的意义. 3.能正确地对含有一个量 词的命题进行否定. 怎 么 考 1.新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解, 但这三个逻辑 联结词却是高考试题中的常客,多为选择题,其中,综合其他 知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命题 的一个热点.如 2012 年山东 T5 等. 2.对全称量词与存在量词的考查, 主要是结合其他知识点考查含 有全称量词与存在量词的命题的判断,多为选择题或填空题, 试题难度一般.如 2012 年安徽 T4,辽宁 T5,湖北 T4 等. [归纳· 知识整合] 1.命题 p∧q、p∨q、綈 p 的真假判定 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真 [探究] 1.逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么 关系? 提示: “且”“或”“非”三个逻辑联结词, 对应着集合运算中的“交”“并”“补”, 因此, 常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词 构成的命题问题. 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“?”表示;存在量词有:存在一 个,至少有一个,有些,用符号“?”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”用符号简 记为:?x∈M,p(x). (3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在 M 中元素 x0,使 p(x0)成立”用符号简 记为:?x0∈M,p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x) [探究] 2.全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗?其真假性与原命题 有什么关系? 提示:不是.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性 与原命题恰好相反. [自测· 牛刀小试] 1.(教材改编题)下列命题是真命题的是( ①27 是 3 的倍数或 27 是 9 的倍数; ②27 是 3 的倍数且 27 是 9 的倍数; ③平行四边形的对角线互相垂直且平分; ④平行四边形的对角线互相垂直或平分; ⑤1 是方程 x-1=0 的根,且是方程 x2-5x+4=0 的根. A.①③⑤ C.①②④⑤ B.①②③⑤ D.①②③④⑤ ) 解析:选 C 平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直,故③错误. π 2.命题 p:“已知 0<x< ,若 xcos x<1,则 xcos2x<1”的否定为( 2 π A.已知 x≤0 或 x≥ ,若 xcos x<1,则 xcos2x≥1 2 π B.已知 x≤0 或 x≥ ,若 xcos x≥1,则 xcos2x≥1 2 π C.已知 0<x< ,若 xcos x<1,则 xcos2x≥1 2 ) π D.已知 0<x< ,若 xcos x≥1,则 xcos2x≥1 2 π 解析:选 C 在命题 p 中,“已知 0<x< ”为大前提,在命题的否定中不能改变,命题 2 π “若 A,则 B”的否定是“若 A,则綈 B”,故命题 p 的否定为:已知 0<x< ,若 xcos x<1, 2 则 xcos2x≥1. 3.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2x 1>0 - ) B.?x∈N*,(x-1)2>0 D.?x0∈R,tan x0=2 C.?x0∈R,lg x0<1 解析:选 B A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x-1>0;B 项,∵x∈N*,∴当 x 1 1 =1 时,(x-1)2=0 与(x-1)2>0 矛盾;C 项,当 x0= 时,lg =-1<1;D 项,当 x0∈R 时, 10 10 tan x0∈R,∴?x0∈R,tan x0=2. 4.(教材改编题)(1)命题 p:任意两个等边三角形都是相似的,则綈 p:__________. (2)命题 p:?x0∈R,x2 0+2x0+2=0,则綈 p:__________. 解析:(1)全称命题的否定为特称命题,则綈 p:存在两个等边三角形,它们不相似. (2)特称命题的否定为全称命题,则 綈 p:?x∈R,x2+2x+2≠0 答案:(1)存在两个等边三角形,它们不相似 (2)?x∈R,x2+2x+2≠0 5.已知命题 p:?x0∈R,x0 2+ p∨q 中是真命题的是________. 解析:x0=± 1 时,p 成立,所以 p 真,q 假,p∧q 假,p∨q 真. 答案:p、p∨q 1 ≤2;命题 q 是命题 p 的否定,则命题 p、q、p∧q、 x0 2 含有逻辑联结词的命题的真假判断 [例 1] 已知命题 p:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),命题 q:x2-3x+2<0 的解集是 {x|1<x<2},给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题; ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题.其中正确的是( A.②③ C.①③④ B.①②④ D.①②③④ ) [自主解答] 命题 p:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R)是真命题,命题 q:x2-3x+2<0 的解 集是{x|1<x<2}也是真命题,故①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题;③命 题“綈 p∨q”是真命题;④命题“綈 p∨綈 q”是假命题. [答案] D ————— —————————————— 判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题 p、q 的真假; (2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”命题的真假. 1.(2013

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