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hg0334com:最新人教A版选修4-1高中数学2.1圆周角定理公开课课件_图文

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第二讲 直线与圆的位置关系 1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题. 2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题. 1 2 3 1.圆周角定理 文字 语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形 语言 符号 语言 作用 在☉O 中 , BC 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠ BOC,则有∠BAC= ∠BOC 2 1 确定圆中两个角的大小关系 1 2 3 名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才 有上面定理中所说的数量关系. 1 2 3 【做一做1】 如图,在☉O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于( A.25° B.50° C.30° D.12.5° 解析:根据圆周角定理,得 ∠BOC=2∠BAC=50°. 答案:B ) 1 2 3 2.圆心角定理 文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A,B 是☉O 上两点,则 AB 的度数等于∠AOB 的度数 作用 确定圆弧或圆心角的度数 1 2 3 【做一做 2】 如图,两个同心圆中, 的度数是 30° , 且大圆的半径 = 4, 小圆的半径 = 2, 则 的度数是________. 解析: 的度数等于∠AOB,又 的度数也等于∠AOB,则 的度数是30° . 答案:30° 1 2 3 3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的 弦是直径. 1 2 3 名师点拨1.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆 心角等于它所对的弧”. 2.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆 中”. 3.由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同圆或等圆中同是优弧 或同是劣弧,一般选劣弧. 4.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的 相等关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦 相等. 1 2 3 【做一做3-1】 如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于( A.30° B.45° C.60° D.75° 解析:∠BDC=∠BAC=60°. 答案:C ) 1 2 3 【做一做 3-2】 如图,AB 是☉O 的直径,C是 上的一点, 且 = 4, = 3, 则☉O 的半径 r 等于( A. 5 2 ) B. 5 D.不确定 C.10 解析 :∵AB 是☉O 的直径 , ∴∠ACB=90° . ∴AB= 2 + 2 = 42 + 32 = 5. ∴2r=AB=5.∴r= 2. 答案:A 5 圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立. (2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想 以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研 究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系, 然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之 间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆 周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后 得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何 里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到 这种分情况证明的定理. (3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论 问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解 决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C 很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下 的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图的情况,通 过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样利用特殊 情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证. 题型一 题型二 题型三 题型一 求线段的长 【例1】 如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与BC 边和☉O分别交于点D,E. (1)指出图中相似的三角形,并说明理由; (2)若EC=4,DE=2,求AD的长. 分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理, 而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度, 先由三角形相似得线段成比例,再求其长度. 题型一 题型二 题型三 解:(1)∵AE平分∠BAC, ∴∠BAD=∠EAC. 又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC. ∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE, ∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED. (2)∵△CED∽△AEC, ∴ ∴16=2AE,∴AE=8. ∴AD=AE-DE=6. =∴CE . 2=ED· AE, 反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三 角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长. 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于 ☉O , = , 点是 上任意一点, 与交于点 , = 6 cm, = 5 cm, = 3 cm, 求的长. 解 : ∵ = , ∴∠ADB=∠CDE. 又 ∵ = , ∴∠BAD=∠ECD, ∴△ABD∽△CED, 6 5 ∴ = ,即 = , 3 ∴ED=2.5(cm). 题型一 题型二 题型三 题型二 证明线段相等 【例 2】 如图,BC 为圆 O 的直径,AD⊥BC, = , 和相交于 . 求证: = . 证明:∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC为直角. 又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠ACB.

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