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江苏专用版2018


学业分层测评(十二) 圆、椭圆的参数方程的应用 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 1.当 x2+y2=4 时,求 u=x2+2 3xy-y2 的最值. 【解】 设 Error!(0≤θ<2π),于是 u=x2+2 3xy-y2 =4cos2θ+8 3cos θsin θ-4sin2θ =4cos 2θ+4 3sin 2θ π= 8sin(2θ+ ). 6 π 7π 所以,当 θ= ,x= 3,y=1 时,或 θ= ,x=- 3,y=-1 时,umax=8; 6 6 当 θ= 2π 5π ,x=-1,y= 3 时,或 θ= ,x=1, 3 3 y=- 3 时,umin=-8. 2.若 x,y 满足(x-1)2+(y+2)2=4,求 2x+y 的最值. 【解】 令 x-1=2cos θ,y+2=2sin θ,则有 x=2cos θ+1,y=2sin θ-2, 故 2x+y=4cos θ+2+2sin θ-2 =4cos θ+2sin θ=2 5sin(θ+φ)(tan φ=2). ∴-2 5≤2x+y≤2 5. 即 2x+y 的最大值为 2 5,最小值为-2 5. 3.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线 Error!(t 为参数)相交于 A、B 两点.求 线段 AB 的长. 【导学号:98990037】 【解】 直线的参数方程为 Error!(s 为参数), 曲线 Error!(t 为参数)可以化为 x2-y2=4. 将直线的参数方程代入上式,得 s2-6 3s+10=0. 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2, ∴s1+s2=6 3,s1s2=10. AB=|s1-s2|= s1+s2 2-4s1s2=2 17. 4.已知 A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点 P,使∠OPA= 1 90°,求椭圆离心率的取值范围. 【解】 设椭圆的方程为 + =1,A(a,0),设 P(acos θ,bsin θ)是椭圆上一点, x2 y2 a2 b2 → → → → 则 AP=(acos θ-a,bsin θ),OP=(acos θ,bsin θ),由于∠OPA=90°,所以 AP·OP =0,即(acos θ-a)acos θ+b2sin2θ=0, a2(cos2θ-cos θ)+b2sin2θ=0, a2cos θ(cos θ-1)+b2(1+cos θ)(1-cos θ)=0. 因为 P 与 A 不重合, 所以 cos θ-1≠0, 则 a2cos θ=b2(1+cos θ), b2 cos θ = , a2 1+cos θ c2 b2 cos θ 1 = 1 - =1- = 2 2 a a 1+cos θ 1+cos θ 因为 θ∈(0, π 3 )∪( π,2π), 2 2 . c2 1 2 所以 2∈( ,1),e∈( ,1). a 2 2 5.已知椭圆 +y2=1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1、B2 的连线分别交 x 4 轴于 P、Q 两点,求证:OP·OQ 为定值. 【证明】 设 M(2cos φ,sin φ),φ 为参数,B1(0,-1), x2 B2(0,1). sin φ+1 则 MB1 的方程:y+1= 2cos φ 令 y=0, 2cos φ 则 x= , sin φ+1 2cos φ 即 OP=| |. 1+sin φ ·x, MB2 的方程:y-1= sin φ-1 2cos φ x, 2cos φ 令 y=0,则 x

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