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福建省福州三中2015届高三数学10月月考试题 理


福建省福州三中 2015 届高三 10 月月考数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分,在每小魉给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若(a+bi)i=1+2i(其中 i 为虚数单位,a,b ? R) ,则 a-b=( ) A.—3 B. 3 C.—1 D.l 2.已知集合 A= ? x ? N | x ? 6? , B ? x ? R | x 2 ? 3x ? 0 ,则 A A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3<x≤6}
2

?

?

B =(

) D.{x|3≤x<6}

3.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x) ? 2 x ? x ,则 f (1) ? ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3

4.已知函数 f ( x) 在区间[a,b](a<b)上为连续函数,则“ f (a ) f (b) ? 0 ”是“函数 f ( x) 在区间(a,b)内存在零点”的( ) A.充分而不必要条件 C.必要两不充分条件 5.若函数 f ( x) ? 2 A.[一 1,0)
?| x|

B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? c 的图象与 x 轴有公共点,则实数 c 的职值薄豳起()
B.[0,1] C. (0,1] D.[1,+ ?)

6.设函数 f ( x) ?| sin x | ? ? cos 2 x, x ? ? ? A.-1 B.0

? ? ?? ,则函数 f ( x) 的最小值是( ) , ? 2 2? ?
C.

1 2

D.

9 8

7 . 已 知 平 面 向 量 OA 、 OB 、 OC 为 三 个 单 位 向 量 , 且 OA.OB ? 0 , 满 足

OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则 x+y 的最大值为(
A.1 B. 2 C. 3

) D.2

8.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x) ? f ( x ? 3), f ( ?2) ? 0 ,则 f ( x) 在区间(0,6)内 零点个数( ) A.至多 4 个

B.至多 5 个
3

C.恰好 6 个

D.至少 6 个

9.已知点 A(l,2)a 函数 f ( x) ? ax 的图象上,则过点 A 的曲线 C:y= f ( x) 的切线方程是 ( ) A.6x-y-4=0 C.6x-y-4=0 或 x-4y+7=0
2

B.x-4y+7=0 D.6x-y-4=0 或 3x-2y +1=0
2 2

10.已知函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? 3 | ,若关于 x 的方程 f ( x) ? (a ? 2) f ( x) ? a ? 2a ? 0 有 5 个

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不等实根,则实数 a 值是( ) A.2 B.4 C.2 或 4 D.不确定的 二、填空题;本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.已知 f ( x) ? 1og 3 ( x 2 ? 2 x) ,则函数 f ( x) 的单调递减区间是 12.已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1) ,若向量 a ? b 与向量 a ? b 平行,则实数 x= 13.二项式 (1 ? )9 的展开式中第 4 项的系数等于 . .

x 2

(用数字作答) .

14.设 (1 ? )9 S ? xe x dx (其中 e 为自然对数的底) ,则 S 的值为
0

x 2

?

2

2



15. 若函数 f ( x) ?

1 3 则实数 a 的取值范围是______. ax ? ax 2 ? (2a ? 3) x ? 1 在 R 上存在极值, 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知函数簇 f n ( x) ? x 2 ? 2(n ? 1) x ? n 2 ? 5n ? 7(n ? N * ) . (1)设曲线列 Cn : y ? f n ( x) 的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:数列{an}为等差数列; (2) 设曲线列 Cn : y ? f n ( x) 的顶点到 x 轴的距离构成数列{bn}, Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求 S20. 17. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?
6

)( x ? R)

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及其在区间 [0,

?
2

] 上的值域;

(2)记△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若, f ( A) ?

3 3 ,且 a ? b ,求角 2 2

B 的值. 18. (本小题满分 l3 分) 某大学志愿者协会有 6 窑男同学,4 名女同学,在这 10 名同学中,3 名同学自数学学院, 其 余 7 名同学自物理、 化学等其他互不相同的 7 个学院, 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学, 到 希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) . (1)求选出的 3 名同学是自互不相同学院的概率: (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望,

-2-

19. (本小题满分 13 分) 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月, 预测上市初期和厢期会因供应 不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格 模拟函数:① f ( x) ? p.q ; ② f ( x) ? px ? qx ? 1; ③ f ( x) ? x( x ? q ) ? p (以上三式中
x 2 2

p,q 均为常数,且 q>l) . (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由) ; (2)若 f (0) ? 4, f (2) ? 6 ,求出所选函数 f ( x) 的解析式(注:函数定义域是[0,5].其 中 x=0 表示 8 月 1 日,x=l 表示 9 月 1 日,?,以此类推) ; (3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下 跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a1nx ? ax ? 3(a ? 0) (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 y ? f ( x) 的图像在点(2, f (2) )处的切线的倾斜角为 45°,那么实数 m 在什 么范围取值时,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? (3)求证:

?m ? ? f '( x) ? 在区间(2,3)内总存在极值? ?2 ?

1n 2 1n3 1n4 1n5 1nn 1 ? ? ? ? ? (n ? 2, n ? N * ) 。 2 3 4 5 n n

-3-

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 在平面直角坐标系 xOy 中, 把矩阵 B ? ? 2 ? ?0

? 0? ?0 确定的压缩变换 ? 与矩阵 A ? ? ? ?1 1?

?1? ? 0 ?

确定的旋转变换 R90 进行复合,得到复合变换 R90 .? . (I)求复合变换 R90 .? 的坐标变换公式; (Ⅱ)求圆 C:x + y =1 在复合变换 R90 .? 的作用下所得曲线 C ' 的方程.
2 2

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标蒹 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? ?x ? 2 ? t , P. Q 分别为直线 l 与 (t 为参数) y ? 3 t ? ?

x 轴、y 轴的交点,线段 PQ 的中点为 M. (I)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标和直线 OM 的极坐标方程. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 2 已知不等式|x-2|>1 的解集与关于 x 的不等式 x -ax+b>0 的解集相等. (I)求实数 a,b 的值: . (Ⅱ)求函数 f ( x) ? a x ? 3 ? b 4 ? x 的最大值.

-4-

-5-

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