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第五讲 不等式(师)


第五讲 不等式
类型一、不等式的性质
1、对于实数 a、b、c,判断下列命题的真假. (1)若 a>b,则 ac>bc;(2)若 a>b,则 ac2>bc2;(3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; b a 1 1 (4)若 a<b<0,则 > ;(5)若 a<b<0,则 > . a b a b 答案:(1)因未知 c 的正负或是否为零,无法确定 ac 与 bc 的大小,所以是假命题. (2)因为 c2≥0,所以只有 c≠0 时才正确.c=0 时,ac2=bc2,所以是假命题. (3)因为 a<b,a<0?a2>ab;a<b,b<0?ab>b2,所以 a2>ab>b2,命题是真命题. 1 1 (4)由性质定理 a<b<0?a>b,命题是真命题. -a>-b>0 ? ? 2 3 (5)例如-3<-2<0, < ,命题是假命题.或者由 a<b<0??1 1 3 2 ?b<a<0 ? -a>-b>0 ? ? a b ?? 1 ?b>a,命题是假命题. 1 - > - >0 ? ? b a 2、已知 a≠1 且 a∈R,试比较 答案:解 1 与 1+a 的大小. 1-a a2 1 ∵ -(1+a)= , 1-a 1-a

a2 1 ①当 a=0 时, =0,∴ =1+a. 1-a 1-a a2 1 ②当 a<1,且 a≠0 时, >0,∴ >1+a. 1-a 1-a ③当 a>1 时, a2 1 <0,∴ <1+a. 1-a 1-a

类型二、一元二次不等式
1、已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b 的值;(2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解 (1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程

ax2-3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.由根与系数的关系,

?1+b=a, 得? 2 ?1×b=a.

3

? ?a=1, 解得? ?b=2. ?

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,
1

即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为?. 2、已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, ① ②
2

因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程 f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程②有两个相等的根,所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 1 即 5a2-4a-1=0,解得 a=1 或 a=- . 5 1 1 6 3 由于 a<0,舍去 a=1,将 a=- 代入①得 f(x)的解析式 f(x)=- x2- x- . 5 5 5 5 1+2a?2 a +4a+1 (2)由 f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a?x- - 及 a<0, a a ? ?
2 2

? a +4a+1>0, a +4a+1 ?- a 可得 f(x)的最大值为- .由? a ?a<0, ?
2

2

解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.故当 f(x)的最大值为正数时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3)∪(-2+ 3,0). 3、设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,

?m<0, ? 若 m=0,显然-1<0;若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ?Δ=m +4m<0 ?

所以-4<m≤0. 1? 2 3 (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,即 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立.

有以下两种方法:
2

1?2 3 方法一 令 g(x)=m? ?x-2? +4m-6,x∈[1,3]. 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 当 m=0 时,-6<0 恒成立;

当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以 g(x)max=g(1)?m-6<0, 6 所以 m<6,所以 m<0.综上所述:m 的取值范围是{m|m< }. 7 1?2 3 方法二 因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 6 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 2 . x -x+1 因为函数 y= 6 6 6 6 = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 7 7 x2-x+1 ? 1?2 3 ?x-2? +4
? ?

6? ? 所以,m 的取值范围是?m|m<7?.

类型三、基本不等式及应用
4 1、(1)已知 x<0,求 f(x)=2+ +x 的最大值; x 1 (2)已知 x>1,求 f(x)=x+ 的最小值; x-1 2 (3)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值. 5 解 4 4 (1)∵x<0,∴-x>0,∴f(x)=2+x+x=2-?-x+?-x??.

?

?

4 4 ∵-x+(-x)≥2 4=4,当且仅当-x= ,即 x=-2 时等号成立. -x 4 ∴f(x)=2-?-x+?-x??≤2-4=-2,∴f(x)的最大值为-2.

?

?

(2)∵x>1,∴x-1>0,∴f(x)=x+ 当且仅当 x-1=

1 1 =x-1+ +1≥2 x-1 x-1

? 1 ?+1=2+1=3. ?x-1?· x-1 ? ?

1 ,即 x=2 时,等号成立.∴f(x)的最小值为 3. x-1

1 (3)y=2x-5x2=x(2-5x)= · 5x· (2-5x), 5 5x+2-5x?2 2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0,∴5x(2-5x)≤? 5 2 ? ? =1, 1 1 1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x,即 x= 时,ymax= . 5 5 5 2、若 x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30.
3

(1)求 xy 的取值范围;(2)求 x+y 的取值范围. 30-x 解 由 x+2y+xy=30,(2+x)y=30-x,则 2+x≠0,y= >0,0<x<30. 2+x (1)xy= -x2+30x -x2-2x+32x+64-64 64 = =-x- +32 x+2 x+2 x+2

64 =-??x+2?+x+2?+34≤18,x=6 时取等号,因此 xy 的取值范围是(0,18].

?

?

(2)x+y=x+

30-x 32 32 =x+ -1=x+2+ -3≥8 2-3, 2+ x x+2 x+2

?x=4 2-2 32 当且仅当? 时,等号成立,又 x+y=x+2+ -3<30,因此 x+y 的取值范围 x+2 ?y=4 2-1
是[8 2-3,30).

巩固训练
1、设 a, b ? R ,若 a ? | b |? 0, 则下列不等式中正确的是( C ) A、 b ? a ? 0 B、 a ? b ? 0
3 3

C、 b ? a ? 0

D、 a ? b ? 0
2 2

2、设 a, b, c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( C ) A、 | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | C、 | a ? b | ? B、 a ?
2

1 1 ?a? 2 a a

1 ?2 a ?b

D、 a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

3、若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 , 且 a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1, 则下列代数式中值最大的是( A ) A、 a1b1 ? a2b2 B、 a1a2 ? b1b2 C、 a1b2 ? a2b1 D、

1 2

4、下列结论正确的是( B ) A、当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? C、当 x ? 2 时, x ?

1 ?2 lg x

B、当 x ? 0 , x ?

1 ?2 x
1 无最大值 x

1 的最小值是 2 x

D、当 0 ? x ? 2 时, x ? 12

12 的最小值为 x 12 (2)若 x ? 0 时,函数 f ( x) ? 3 x ? 的值域为 x
5、 (1)若 x ? 0 时,函数 f ( x) ? 3 x ?

(? ?, ?1 2 ]
18 4

6、已知 x ? 0, y ? 0, 2 x ? 8 y ? xy ? 0, 则 x ? y 的最小值为 7、已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8, 则 x ? 2 y 的最小值是

4

8、设 x, y 为实数,若 4 x2 ? y 2 ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值为 9、不等式 A、 [ ?3, ]

2 10 5

x?5 ? 2 的解集是( D ) ( x ? 1)2
B、 [? ,3]

1 2

1 2

C、 [ ,1) ? (1,3]

1 2

D、 [ ?

1 ,1) ? (1,3] 2
a ?1 a ?1 a ? ?1 a ?1

10、 (1) 若不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 (2)若不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集在 R 上不是空集,则实数 a 的取值范围是 (3)若不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (4)若不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 11、 (1)解关于 x 的不等式 x2 ? (a ? a2 ) x ? a3 ? 0(a ? R) ;

(2)已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0}, 若 A 是 B 的真子集, 求实数 a 的取值范围。 答案: (1)分三种情况; (2) [ ?1, ? ]

2 3

5


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