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高二圆锥曲线方程练习题


高二数学专题复习圆锥曲线
一、选择题 1. 设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲 25 9


线的渐近线的斜率为( A. ? 2
2

B. ?

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

2. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

3.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 中的 m 和 n,则能组成 m2 n2

落在矩形区域 B={(x,y)| |x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为( ) A.43 B. 72 C. 86 D. 90 4. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 、F 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( (A) ) (C) 2 ? 2 (D) 2 ? 1

2 2

(B)

2 ?1 2

5. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 6 3 ) F2 M 的距离为(
(A)
3 6 5

(B)

5 6 6

(C)

6 5

(D)

5 6

x2 y2 6.已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, a b
△OAF 的面积为 A.30?

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为( 2
B.45? C.60?

) D.90?

7、若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 围( ) (B)(0, 1)

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,那么 m 的取值范 5 m
(D)[1, 5)

(A)(0, 5)

(C)[1, 5]

8.过双曲线 ( ) A.28

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点)的周长是 16 9
B.22
2

C.14

D.12 )

2 9.已知点 ( x, y ) 在抛物线 y ? 4 x 上,则 z = x +

1 2 y + 3 的最小值是 ( 2
D. 3

A.2
2

B. 0

C.4

10.F 是抛物线 y =2x 的焦点,P 是抛物线上任一点,A(3,1)是定点,则|PF|+|PA|的 最小值是 ( ) A.2 B.

7 2

C.3

D.

1 2

二、填空题 11.直线 y=x+b(b≠0)交抛物线 y ? 0,则 b=_______.

??? ??? ? ? 1 2 x 于 A、B 两点,O 为抛物线的顶点, OA ? OB = 2

12.椭圆 mx ? ny ? 1与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点,过 AB 中点 M 与坐标原点的
2 2

直线的斜率为

2 m ,则 的值为 2 n

13.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,若
2

y1 ? y2 ? 2 2, 则 AB 的值为
14.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 动点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OA ? OB), 则 2

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. ④双曲线 25 9 35
其中真命题的序号为 15、椭圆 为 (写出所有真命题的序号)

x2 y2 + =1 的焦点为 F1,F2.点 P 在椭圆上,若 PF1 ? PF2,则点 P 到 x 轴的距离 25 16

x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4

16、过点 M (3,?1) 且被点M平分的双曲线 三、解答题

17.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且抛物 a 2 b2

线与双曲线的一个交 P(

3 , 6 )点,求抛物线和双曲线方程。 2

18、已知点 A ? 3,0 和 B

?

?

?

3,0 ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2,点 C

?

的轨迹与直线 y ? x ? 2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长.

19、设抛物线 y ? 4 x 被直线 y ? 2 x ? 4 截得的弦长为 AB ,以 AB 为底边,以 x 轴上的 点 P 为顶点作三角形,当此三角形的面积为 9 时,求 P 点坐标。
2

20.如图,已知直线 l 与抛物线 y2 = x 相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,与 x 轴相交于 点 M,若 y1y2 = -1, y (1)求证:M 点的坐标为(1,0) ; (2)求证:OA⊥OB; A (3)求△AOB 的面积的最小值. O B M x

21、已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

22. 已知椭圆 C1:

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 4 3

过椭圆 C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条 件的 m 、 p 的值;若不存在,请说明理由.

高二数学(文科)专题复习(十二)圆锥曲线答案
一、选择题 CBBDCDDADB 二、填空题 11. 2 15. 12.

2 2

13. 6

14.⑶⑷

16 ; 3
2

16、 3 x ? 4 y ? 5 ? 0

三、解答题 17. 抛物线 : y ? 4 x

4y2 ?1 双曲线: 4 x ? 3
2

y2 ? 1. 18、解:根据双曲线的定义,可知 C 的轨迹方程为 x ? 2 ? y ? x ? 2, ? 2 联 立 ? 2 y2 得 x ? 4 x ? 6 ? 0 . 设 D ? x1 , y1 ? , E ? x2 , y2 ? , 则 ? 1. ?x ? ? 2 x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? ?6 .
2

所以 DE ?

2 x1 ? x2 ? 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 4 5 .

故线段 DE 的长为 4 5 .

? y ? 2x ? 4 ? 2 19、 (1) ? y 2 ? 4 x , 解: 由? 可得 x ? 5x ? 4 ? 0 设抛物线与直线交于 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ?
把 直 线

y ? 2x ? 4





y 2 ? ax





? x1 ? x2 ? 5 ? ? AB ? (1 ? 22 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ] ? 3 5 ? x1 x2 ? 16
又 ? S A ? 9, 底边长为 3 5 , ?三角形高h ?

6 5 5

? P点在x轴上, 可设P点坐标是(x0, ? 0)

20. (1 ) 设 M 点的坐标为(x0, 0), 直线 l 方程为 x = my + x0 , 代入 y2 = x 得 y2-my-x0 = 0 ① y1、y2 是此方程的两根, ∴ x0 =-y1y2 =1,即 M 点的坐标为(1, 0). (2 ) ∵ y1y2 =-1 ∴ x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 =y1y2 (y1y2 +1) = 0 ∴ OA⊥OB. (3)由方程①,y1+y2 = m , y1y2 =-1 , 且 | OM | = x0 =1, 于是 S△AOB =

1 1 1 | OM | |y1-y2| = ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = m 2 ? 4 ≥1, 2 2 2

∴ 当 m = 0 时,△AOB 的面积取最小值 1.

21、解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 ? y 2 ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? y ? x?2 ? 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线段的中点为 M( x0 , y0 )那么: 18 x ?x 9 x1 ? x2 ? ? , x0 = 1 2 ? 2 5 5 1 9 1 所以 y0 = x0 +2= .也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ). 5 5 5

22.解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为
3 3 )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p ,即 p ? . 4 8 9 此时 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16

x=1,从而点 A 的坐标为(1,

(Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1) .
? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ? 4

……①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k 2 3 ? 4k 2

.

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦, 1 1 1 所以 AB ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) ? 4 ? ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2

y A O B x

p p AB ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p . 2 2 1 从而 x1 ? x2 ? p ? 4 ? ( x1 ? x2 ) . 2 8k 2 4?6p 4?6p ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 . 2 3 ? 4k 3 3
解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ?1) 上,所以 m ? ? k . 即m? 当m ?
6 6 . 或m ? ? 3 3
6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3

2 3

1 3

当m? ?

6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ?1) . 由?
8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

……①

因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ?1) 上, 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? 即 k 2 x 2 ? (k 2 ? 2) x ?
4 3 4k 2 ?0. 9
4(k 2 ? 2) 3k 2

2 3

2 3

1 3

2k 2 8 ) ? x. 3 3

……②

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ? ?1 ? 3 ? 4

……③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4(k 2 ? 2) 3k 2

8k 2 3 ? 4k 2

.



8k 2 3 ? 4k 2

. 解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 .

因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ?1) 上,所以 m ? ? k . 即m? 当m ?
6 6 . 或m ? ? 3 3
6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3

2 3

1 3

当m? ?

6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ?( , m) ,
p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2
2 3

即 x1 ? x 2 ?

2 16 (4 ? p) ? . 3 9

……①
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ? 且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) , 所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ? 又因为 ?
2 ? 2 ?3 x1 ? 4 y1 ? 12 2 ?3 x 2 ? 2 ? 4 y2

……②

2m . 3
y 2 ? y1 ?0. x 2 ? x1

……③ ……④

? 12

,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ?

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 ,即 m ? . 或m ? ? 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3

当m? ?

6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3


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