当前位置:首页 >> 数学 >>

导数的几何意义


3.1.3导数的
几何意义1
高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一、复习
1、导数的定义
函数y=f ? x ? 在x=x 0处的导数,记作:f ? ? x 0 ? 或y?
x=x 0

f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
其中:⑴

? + ? ? x x ?y f 0 ?x-f 0? = 表示“平均变化率” ?x ?x

其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是曲线 的割线)的斜率。
?x 反映了函数在x=x 0附近的变化情况。

?2?f ??x 0 ?=?lim0 ?y 表示函数f ?x ?在x=x 0处的瞬时变化率, x?

其几何意义是?

y

观 察 如图 1 .1 ? 2 ,当点 Pn ? xn , f ? xn ??

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

P1

P2

T P
O

T

?n ? 1, 2, 3, 4 ?
沿着曲线 P ? x0 , f ? x0 ?? f ? x ?趋近于点

x

O

x

?1?
y
y ? f ?x ?

?2?
y
y ? f ?x ?

时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O

P3

T
P4 P

T

x

O

x

?3?

?4 ?

图1.1 ? 2

新 授

1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线

P

结论:当Q点无限逼近P点时,此时 点P处的割线与切线存在什么关系? 直线PQ就是P点处的切线PT.

o

x

曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象,
y=f(x)

在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割 线, 当点Q沿着曲线无限接近于点P

y

Q
△y

T P o
△x

即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x

点P处的切线。 此处切线定义与以前的定义有何不同?

此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 ? 同
y
y=f(x)

Pn

割 线

T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

y

圆的切线定义并不适
l1
A

用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
割线趋于的确定位置的
l2

直线定义为切线(交点
x

B

可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

C

割线与切线的斜率有何关系呢?
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? = ?x ?x

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,

P(x0,y0)
△x

M

o

x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
y=f(x) y Q1 Q2 Q3 P o Q4
观察图像,可以发现,在点P附近, PQ 2比PQ 1更贴紧曲线f ?x ?, PQ 3比PQ 2 更贴紧曲线f ?x ?, PQ 4比PQ 3 更贴紧曲线f ?x ?,

T??? 过点P的切线PT 最贴紧点P

曲线f ?x ?就可以用过点P的切线PT

附近的曲线f ?x ?。因此,在点P附近, 近似代替。这是微积分中的重要思

x

想方法--以直代曲!

数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, ? 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .

当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y 即: k切线 ? tan ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.

题型三:导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

题型三:导数的几何意义的应用
例1:(1)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
3(1 ? ?x) 2 ? 3 ?12 3?x 2 ? 6?x 解:y? |x ?1 ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
? lim 3(?x ? 2) ? 6
?x ? 0

(2)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 解:y? |x ?1 ? lim ? lim ?2 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

? 切线方程:y ? 2 ? 2( x ? 1)

即:x ? y ? 0 2

1 3 8 y ? x 上一点P ( 2, ) 例2:如图,已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解: y ? x , (1) 1 1 3 3 3 ( x ? ?x) ? x ?y 3 ? y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
1 3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x)3 ? lim 3 ?x ?0 ?x

y 4 3

y?

1 3 x 3

P
2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 x

? | x ? 2 ? 2 2 ? 4. ?y

1 ? lim[3x 2 ? 3x?x ? (?x)2 ] ? x 2 . 3 ?x?0

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

题型三:导数的几何意义的应用
f (1) ? f (1 ? x ) lim ? ?1 , 练:设f(x)为可导函数,且满足条件 x ?0 2x 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

f (1) ? f (1 ? x ) 解: f ( x )是可导函数且 ? lim ? ?1, x ?0 2x 1 f (1) ? f (1 ? x) ? lim ? ?1, 2 x?0 1 ? (1 ? x)

f (1 ? x) ? f (1) ? lim ? ?2, x ?0 (1 ? x) ? 1

? f ?(1) ? ?2.

故所求的斜率为-2.

例 2 如图1.1 ? 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函 数 h ? t ? ? ?4.9 t ? 6.5 t ? 10的
2

h

l0

l1

图象 . 根 据图象 , 请描 述、比较曲线h ? t ? 在t 3, t 4,t0 , t1 , t2附近的变化情况.

O t3 t4

t0

t1

t2

t

l2

图1.1 ? 3

利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近

解 我们用曲线h? x ?在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的变化情况.

的变化情况 .

例 3 如图 .1 ? 4, 它 1 表示人体血管中药 物浓度 c ? f ?t ? (单 位 : mg / ml ) 随时间 t ?单位 : min ?变化的 函数图象.根据图象, 估计 t ? 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 ?精确到0.1 ?.

c?mg / ml?
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.1 t

?min?

图1.1 ? 4

解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是 药物浓度 f ?t ?在此时刻的导数.从图象上看,它表示

曲线 f ?t ?在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 ? 4, 画出曲线上某点处的切线, 利用网格 估计这条切线的斜率, 可以得到此刻药物浓度瞬 时变化率的近似值. 作t ? 0.8处的切线, 它的斜率约为? 1.4, 所以
f ' ?0.8 ? ? ?1.4.

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
药物浓度的瞬时变化率 f ' ?t ? 0.4 0 ? 0.7 ? 1.4 t 0.2 0.4 0.6 0.8

二、函数的导数:

函数在点 x0 处的导数 f ?( x0 )、导函数 f ?( x) 、导数 之 间的区别与联系。 1)函数在一点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是 一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x) 3)函数在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。

作业
1.已知曲线 y
2

? 2 x ? x上有两点A(2,0),B(1,1),

求: (1)割线AB的斜率

(2)过点A的切线的斜率 (3)点A处的切线的方程.

2.曲线

f ( x) ? x 3 在点A处的切线的斜率为3,求该曲线在A 点处的切线方程


赞助商链接
相关文章:
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式 - 导数的几何意义及导数公式 一、 基础知识讲析 1、函数 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的导数的几何意义是___...
导数的几何意义
导数的几何意义 - 导数的几何意义 一新知导学 1.曲线的切线:过曲线 y=f(x)上一点 P 作曲线的割线 PQ,当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时, 若割线 PQ ...
导数的概念及导数的几何意义
导数的概念及导数的几何意义 - 导数的概念及导数的几何意义 一.知识梳理 1、导数的概念及意义 求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的...
导数的几何意义
导数的几何意义 - 美阳中学高二备课组 第 23 课时 《导数的几何意义》导学案 设计人:黄清 班级:___ 【教学目标】 审核人:李锁详 日期:2013/12...
利用导数的几何意义解题
利用导数的几何意义解题 - 利用导数的几何意义解题 函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) 处的切线的...
导数的几何意义
导数的几何意义 - 3.1.3 导数的几何意义 班级: 姓名: 编者:白静 高二数学备课组 学习目标 1. 通过函数图像直观的理解导数的几何意义 ,体会导数在研究函数变化...
导数的几何意义
导数的几何意义 - 专题:导数的几何意义 原题呈现: (南通一模)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的 切线,则当 a ? 0 ...
导数的几何意义
导数的几何意义 - 导数的几何意义 例 1:(1)求抛物线 y ? x 2 在点 (2, ) 处的切线方程; 1 2 练习: (1)求抛物线 y ? 1 1 在点 (2, ) 处的...
导数的几何意义
导数的几何意义 - 导数的几何意义 一、导数的几何意义: 函数 ()在点0 处的导数在几何上表示曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的切线的 斜率,即′ 0 = ,...
导数的概念及其几何意义
导数的概念及其几何意义 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 导数的概念及其几何意义 作者:刘晓华 邬坚耀 来源:《数学金刊· 高考版》2015 年第 09 期 ...
更多相关文章: