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等比数列的 性质 幻灯片


2.4 等比数列
第二课时 等比数列的性质

田丽娟

课题导入

1.等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示.

2.等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q (a1, q ? 0)

n ?1

an ? am ? q

n ?m

(am , q ? 0)

3.数列成等比数列

?

an ?1 ? q (n ? N ? , q ? 0) an

目标展示

知识与技能:理解掌握等比数列的定义、通 项公式及等比中项,在此基础上,探究等比 数列的性质及应用. 过程与方法:类比学习等差数列的性质的方 法,思考、探究、分析,归纳等比数列的性 质,并将其应用到解决实际问题中. 情感、态度与价值观:通过等比数列性质的 探究学习,激发和提升学生分析,归纳的能 力和类比迁移的能力.

目标分解

1.等比中项的定义及应用. 2.在等比数列中,若 m ? n ? p ? q,则 am , an , a p , ak 之间的关系. 特别地,在等比数列中,若 m ? n ? 2 p , 则 am , an , a p 之间的关系. 3.等比数列性质的应用.

新课讲授

思考:类比等差中项的概念,你能说出什么是 等比中项吗? 1.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G , 使a, G, b 成等比数列,那么称G 这个数为a与b 的等比中项. 即 则, G ? ? ab(a, b同号)

G b 2 ? ? G ? ab ? G ? ? ab a G 2 反之,若 G ? ab则,即 a, G, b成等比数列 ∴ G 2 ? ab成等比数列? G 2 ? ab(ab ? 0)

例1.三个数成等比数列,它的和为14,它们的 积为64,求这三个数. 解: 设 m, G, n 为所求的三个数,由已知得 m ? G ? n ? 14, m ? n ? G ? 64

?G ? mn,?G ? 64 ? G ? 4,
2
3

?m ? n ? 10, ?m ? 8, ?m ? 2, ?? ?? 或? ? m ? n ? 16, ? n ? 2, ? n ? 8.

这三个数为8,4,2或2,4,8.

思考
除了这种方法,还可不可以用其他方法来解 这道题?
a 解法二:设所求三个数分别为 q , a, aq,



a ? a ? aq ? 14, ? 4 ? 4 ? 4q ? 14 又q q 1

a 3 ? 64,? a ? 4,

解得 q ? 2, 或q ? 2 , 故这三个数为8,4,2或2,4,8.

等比数列的性质 我们知道,对于等差数列,若 m ? n ? p ? k , 则 am ? ak ? a p ? ak 在等比数列中,若 m ? n ? p ? q,则 am , an , a p , ak 有什么关系呢? 分析:由定义得,am ? a1q m?1

an ? a1q

n?1

a p ? a1q

p?1

ak ? a1 ? q
2
2

k ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
a p ? ak ? a1 q p?k ?2
am an ? a p ak

思考
我们知道,对于等差数列,若m ? n ? 2 p, 则 am ? ak ? 2a p 在等比数列中,若 m ? n ? 2 p , 则 am , an , a p 有什 . 么关系呢?

a m ? an ? a p

2

例2. 已知 是等比数列, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 {an } 且 , a3 ? a5 求 .

解: ∵{an } 是等比数列,
∴ ∴

a2 ?a 4 ? a3 ,a4 ?a6 ? a5

2

2

a2 ?a3 ? 2a3 ? a5 ?a4 ?a6 ? (a3 ? a5 ) ? 25
2

又?a n ? 0, ?a3 ?a5 ? 5.

巩固练习
{an }中,已知 a7 ? a12 ? 5 ,则 1.在等比数列 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? ( ) A.10. B.25. C.50 D.5 2.在等比数列{an } 中,已知 a7 a12 ? 5 ,求

a8a9a10a11

课后小结
1、对等比中项的的正确理解,合理运用在解 题时非常重要. 2、若 am an ? a p ak 则________________ ,
a m ?an ? a p ,是使 若 则____________ 用最频繁的,最重要的两个性质. 3、等比数列性质的学习可以通过类比等差数 列来进行.
2

课后作业 习题2.4 A组 1.、3、4


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