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鄂州市2015届高三11月月考理科数学试卷


鄂州市2015届高三11月考试题 理 科 数 学
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上)
x 1. 已知集合 A ? ?? 1,1?, B ? x 1 ? 2 ? 4, x ? R ,则 A ? B 等于( )

?

?

A. ??1, 0,1?

B. ?1?
m n

C. ??1,1? )

D. ?0,1?

2. 已知 m, n ? R, 则“ ln m ? ln n ”是“ e ? e ”的( A. 必要不充分条件

B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 )

3. 已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为( A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

4. 设已知数列 ?an ? 对任意的 m, n ? N ,满足 am?n ? am ? an ,且 a2 ? 1 ,那么 a10 等于( ) A.3 B.5 C.7 D.9

5. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 说法正确的是( A.图象关于点 ( ? C.在区间 [? )

?
6

个单位后,得到函数 y ? g ( x ) ,下列关于 y ? g ( x ) 的

?
3

, 0) 中心对称

B.图象关于 x ? ?

?
6

轴对称

5? ? ? ? D.在 [ ? , ] 单调递减 , ? ] 单调递增 12 6 6 3 6. 如图是某几何体的三视图,则它的体积是( ) 160 32 A. B. 64 C. 3 3
A
4 8 正视图 4 4 俯视图 第6题图 侧视图

D. 32

N P B D M

Q
第7题图

C

7. 如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误 的为 ..

A . AC ? BD

B . AC ? BD D . 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45
试卷第 1 页(共 9 页)
1

C . AC ∥截面 PQMN

8. 已知 f ( x) ? ? y

?x ? 1
2 ?x ? 1

x ? [?1,0) x ? [0,1]
y

,则下列函数的图象错误 的是( .. y

).

y

o

1

2

x

-1

o

1

x

-1

o

1

x -1

o

1

x

A. f ( x ? 1) 的图象

B. f (? x) 的图象

C. f ( x ) 的图象

D. f ( x) 的图象

9. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角 形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是 以原点 O 为中心﹐其中 x, y ,分别为原点 O 到两个顶点的向量﹒若将 原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则

a ? b 的最大值为(
A.2

) 。 B.3

C.4

D.5

(第 9 题图)

10. 对于函数 f ? x ? 和 g ? x ? ,设 m ? x ? R f ? x? ? 0 , n ? x ? R g ? x ? ? 0 ,若存在 m 、 n , 使 得 m ? n ? 1 , 则 称 f ? x? 与 g? x ? 互 为 “ 零 点 关 联 函 数 ” . 若 函 数 f ? x ? ? ex?1 ? x ? 2 与

?

?

?

?

g ? x ? ? x2 ? ax ? a ? 3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为(

) 。

7 A. [2, ] 3

7 B. [ ,3] 3

C. [2,3]

D. [2, 4]

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置) 11. 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos 2? =________________ 3

12. 某几何体三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是等腰梯形,且上 底长为 2,下底长为 4,腰长为 13. 函数 f ? x ? ? ?

5 ,则它的体积与表面积之比是 3
,则

? ?2 ? x,
2

x ? 0,

? ? 4 ? x ,0 ? x ? 2,

?

2 ?2

f ? x ? dx 的值为
第 12 题图

14. 函数 y ? f ? x? 的图像连续且在区间 ? a, b? 上的左右端点分别为 A 和 B ,点 M ? x0 , y0 ? 是 该图像上的一点 , 且 x0 ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ??0,1? , 令向量 ON ?

?OA ? (1 ? ? )OB , 若

MN 有最大值 k ,则称函数 f ? x ? 在?a, b? 上“ k 阶线性近似”.
试卷第 2 页(共 9 页)
2

若函数 f ( x) ? x2 ? 1 在区间 ?0,1? 上“ k 阶线性近似”,则实数 k = _______. 15.已知函数 f ( x) 及其导数 f ?( x) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ,则称 x0 是 f ( x) 的一 个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的是 (填上正确的序号)

(3) f ( x) ? ln x ; (4) f ( x) ? tan x ; (5) f ( x) ? x ? (1) f ( x) ? x 2 ; (2) f ( x) ? e ? x ;

1 x

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 四棱锥 A﹣BCDE 的正视图和俯视图如下,其中正视图是等边三角形,俯视图是直角梯形. (I)若 F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动时,是否总有 BF 丄 CM,请说明理由. (II) 求二面角 B-AD-C 的平面角的正切值。

17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x,?1), b ? ( 3 cos x,? ), 函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; ( 2 )已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 ,且

1 2

f ( A) ? 1,求 ?ABC 的面积 S

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列,且满 足 a2 ? a3 ? a4 , a11 ? a3 ? a4 ,记 bn ? a2n?1 (1)求数列 ?bn ?的通项公式;
2 ? bn ? b ? 1? (2)设数列 ? 2 n ? 的前 2014 项和为 T2014 .求不超过 T2014 的最大整数. ? bn ? bn ?

(n ? N ? )

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3

19. (本小题满分 12 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥ CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由。

20. (本小题满分 13 分) 某 商 场 预 计 2015 年 从 1 月 起 前 x 个 月 顾 客 对 某 种 商 品 的 需 求 总 量

p( x) ?

1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x)( x ? 12, x ? Z ? ) (单位:件) 2

(1)写出第 x 个月的需求量 f ( x) 的表达式; (2)若第 x 个月的销售量

? f ( x) ? 21x,1 ? x ? 7, x ? Z ? 10e x ? (单位:件) ,每件利润 q ( x) ? g ( x) ? ? x 2 1 2 ? x ? x ( x ? 10x ? 96),7 ? x ? 12, x ? Z ?e 3
(单位:元) ,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达到最大值?月利润的最大值 是多少?(参考数据: e ? 403)
6

21.(本小题满分 14 分) x 设函数 f ( x) ? ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2) ①是否存在实数 b , 使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在, 求出 b 的 取值范围;若不存在,说明理由; n ②证明:不等式 ?1 ? ? 2k ? ln n ? 1 ? n ? 1, 2, ???? . 2 k ?1 k ? 1

试卷第 4 页(共 9 页)

4

参考答案

一.选择题:
1 ? 5 BBDBC 6? 1 0 ABDDC

二.填空题:
11. ? 5 ; 3
; 12. 14 : 4 5

13. ? ? 6

; 14.?

?3 ? ? 2 ,?? ? ; 15.(1)(3)(5) ?2 ?

三.解答题
16. 解: (Ⅰ)总有 BF 丄 CM.理由如下: 取 BC 的中点 O,连接 AO, 由俯视图可知,AO⊥平面 BCDE,CD?平面 BCDE, 所以 AO⊥CD …(2 分) 又 CD⊥BC,AO∩BC=O,所以 CD⊥面 ABC, 因为 BF?面 ABC, 故 CD⊥BF. 因为 F 是 AC 的中点,所以 BF⊥AC.…(4 分) 又 AC∩CD=D 故 BF⊥面 ACD, 因为 CM?面 ACD,所以 BF 丄 CM.…(6 分) (2)作 BH 垂直于 AD 于 H 点,连 HF, ?BHF 即为该二面角的平面角,tan ?BHF = 6 …(12 分) 17. 解: (Ⅰ)f ( x ) = ( a + b )? a -2 = a ? a b ? 2
=sin
2
2

x +1+ 3 sin x cos x +

1 ? 2------------------------------2 分 2

=

1 1 ? cos 2 x 3 + sin2 x ? 2 2 2 1 ? 3 sin2 x ? cos2 x =sin(2 x ? )---------------------------4 分 2 6 2
------------------------------------------ 6 分

=

因为 ω=2,所以 T = π

? ? ? ? 5? ) = 1 因为 A ∈ (0 , ) ,2 A ? ∈ (? , ), 6 6 2 6 6 ? ? ? 所以 2 A ? = ,A = ------------------------------------------8 分 6 2 3
(Ⅱ)f ( A ) = sin(2 A ? 则a 即b
2

? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,所以 12 = b 2 +16?2×4 b ×

1 2



2

? 4b ? 4 ? 0 则 b ? 2 -------------------------------------------------------10 分
试卷第 5 页(共 9 页)
5

从而 S =

1 1 ? bc sin A = ×2×4× = 2 3 2 2 3

------------------12 分

18. 解:(1)设奇数项构成等差数列的公差为 d ,偶数项构成正项等比数列的公比为 q 由 a2 ? a3 ? a4 , 可得 3 ? d ? 2q , 由 a11 ? a3 ? a4 得 q ? 2d 所以 d ? 1 ,-----------------------------------------------------2 分

a2n?1 ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n , (n ? N ? ) -------------------------------------------------------4 分 bn ? a2n?1 ? n .---------------------------------------------------------------------------------- 6 分
(2)由 bn ? n
2 bn ? bn ? 1 1 1 1 1 ------------------------9 分 ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 2 bn ? bn bn ? bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 T2014 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ---------------------10 分 1 2 2 3 2014 2015 1 T2014 ? 2015 ? -------------------------------------------------------------------11 分 2015
不超过 T2014 的最大整数为 2014.------------------------------ 12 分 19. 解: (1)
CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,

AC ? 平面 A1CD , 1 ? DE ? AC 1

又 A1C ? CD ,
? 平面 BCDE 。----------------------------- 4 分 ? AC 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0? , E ? ?2 , 2, 0? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ? 1, 0? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?
? ?A B ? n ? 0 则? 1 ? ? A1 E ? n ? 0

?

?

?

?

? ?3 y ? 2 3z ? 0 ∴? ? ??2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)
6

∴ n ? ?1 ,2 , 3

?

?
C (0,0,0) x

D (-2,0,0)

试卷第 6 页(共 9 页)

又∵ M ?1 ,0 , 3

?

?

∴ CM ? ?1 ,0 , 3 ∴ cos ? ?

?

?

CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴ CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。----------------------------- 6 分 (3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , a, 0? ,则 a ? ? 0 , 3? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 , a, 0? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,

?

?

? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0
∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a

? 3 z1 ? ay1 ? ? 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。 ----------------------------- 12 分 20.解: (1)当 x ? 1 时, f (1) ? p(1) ? 39; ----------------------------------------1 分 当 x ? 2 时,

f ( x) ? p( x) ? p( x ? 1) ?

1 1 x( x ? 1)( 41 ? 2 x) ? ( x ? 1) x(43 ? 2 x) ? 3x(14 ? x) ---2 分 2 2

? f ( x) ? ?3x 2 ? 42x( x ? 12 且 x ? Z ? )---------------------------------------------5 分
(2)设月利润为 h( x) ,则

?30e x (7 ? x),1 ? x ? 7, x ? Z ? ? ------------------6 分 h( x) ? q( x) g ( x) ? ?10 3 2 ? ? x ? 100x ? 960,7 ? x ? 12, x ? Z ?3
x ? ? ?30e (6 ? x),1 ? x ? 7, x ? Z ? ? h ( x) ? ? ----------------------------------8 分 ? ? ?10( x ? 8)(x ? 12),7 ? x ? 12, x ? Z

当 1 ? x ? 6 时, h ?( x) ? 0 ,当 6 ? x ? 7 时, h ?( x) ? 0 ,

h( x) 在 x ? ?1,6? 单调递增,在 (6,7) 上单调递减----------------------------------9 分
试卷第 7 页(共 9 页)
7

? 当 1 ? x ? 7 且 x ? Z ? 时, h( x) max ? h(6) ? 30e 6 ? 12090 ; ---------------11 分
当 7 ? x ? 8 时, h?( x) ? 0, 当 8 ? x ? 12 时, h?( x) ? 0,

? h( x) 在 x ? ?7,8? 上单调递增,在 (8,12) 上单调递减,----------------------12 分
当 7 ? x ? 12 且 x ? Z ? 时, h( x) max ? h(8) ? 2987? 12090 ; 综上,预计该商品第 6 个月的月利润达到最大,最大利润约为 12090 元-----13 分 21.解: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x ) 在 x ? 0 处有极值 1? x

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0?

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 ------------------------------------------1 分 1? 0

∴ f ( x) ?

x 1 1 ?x ? ln(1 ? x), ∴ f ?( x) ? ,-----------------2 分 ? ? 2 2 1? x ?1 ? x ? 1 ? x ?1 ? x ?

当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? ? 0, ??? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ∴函数 f ( x ) 的最大值为 f (0) ? 0 ------------------------------------------------4 分 (2)①由已知得: g ?( x ) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;---------------------5 分 (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, g ?( x ) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;----6 分 (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x ) ? 当 x ? ?0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , 试卷第 8 页(共 9 页)
8

∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;-----------------------------------------------8 分 综上所述, b 的取值范围是 ?1,??? ---------------------------------------------------9 分 ②由以上得:

1 x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) ,取 x ? 得: n 1? x 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ----------------------------------------------------------------------10 分 1? n n n

令 xn ?

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n

?

?

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?
n

n 1 k 1 ;即: ? 2 ? ln n ? .------ -----------------------12 分 2 2 k ?1 k ? 1

又 ln n ?

n ?1 ? 1? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? k? k ?2 k ?1

故 xn ?

n ?1 k n ? 1 ? n?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ?? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

? ?(
k ?1

n ?1

n ?1 n ?1 k 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? 2 2 n k ?1 k k ?1 (k ? 1)k k ?1 (k ? 1)k

n 综上所述:不等式 ?1 ? ? 2k ? ln n ? 1 ? n ? 1, 2, ???? 成立--------------------------------------14 分 2 k ?1 k ? 1

试卷第 9 页(共 9 页)

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