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2017优化方案高考总复习·数学·文(北师大版)选修4-5第2讲


选修4-5 不等式选讲 第2讲 不等式的证明 选修4-5 不等式选讲 1.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时, 等号成立. a+b 定理 2:如果 a、b 为正数,则 ≥ ab,当且仅当 a=b 2 时,等号成立. 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 ≥ abc,当且仅 3 当 a=b=c 时,等号成立. 定理 4: (一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1, a2, ?, a1+a2+?+an n an 为 n 个正数,则 ≥ a1a2?an,当且仅当 n a1=a2=?=an 时,等号成立. 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 2.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法 等. 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 考点一 比较法证明不等式 求证: (1)当 x∈ R 时, 1+ 2x4≥ 2x3 + x2; a+b (2)当 a, b∈ (0,+∞ )时, aa bb≥ (ab) 2 . 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 [证明] (1)法一:(1+2x4)-(2x3+x2) =2x3(x-1)-(x+1)(x-1) =(x-1)(2x3-x-1) =(x-1)(2x3-2x+x-1) =(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)] =(x-1)2(2x2+2x+1) 2 1 1? 2? ? ? =(x-1) 2?x+2? + ≥0, 2? ? 所以 1+2x4≥2x3+x2. 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 法二: (1+ 2x )- (2x + x ) = x4- 2x3 + x2+ x4- 2x2+ 1 = (x- 1) · x + (x - 1) ≥ 0, 所以 1+ 2x ≥ 2x + x . 4 3 2 2 2 2 2 4 3 2 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 (2) aa bb a-b b-a 2 a+b = a 2 b 2 ( ab) a-b a-b a a ? 2 ,当 a= b 时,? ? 2 = 1;当 =? ?b ? ?b ? a-b a a a- b ? 2 >1; a>b>0 时, >1, >0,? ?b ? b 2 a-b a a a- b ? 2 >1. 当 b>a>0 时, 0< <1, <0,? ?b ? b 2 a+b 所以 aa bb≥ (ab) 2 . 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商; (2)变形:将商式的分子放(缩 ),分母不变,或分子不变,分 母放 (缩 ),或分子放(缩 ),分母缩(放),从而化简商式为容易 和 1 比较大小的形式; (3)判断: 判断商与 1 的大小关系, 就是判断商大于 1 或小于 1 或等于 1; (4)结论 . 栏目 导引 选修4-5 不等式选讲 a+b 1.已知 a, b∈ (0,+∞ ),求证 a b ≤ (ab) 证明: ab b a b- = a a+b 2 a+ b 2 b a 2 . ba - a+ b 2 ( ab) a-b b ?2 . =? ?a ? a-b b ? 2 = 1; 当 a=b 时,? ?a ? a-b b b a- b b ? ? 2 当 a>b>0 时,0< <1, >0,? ? <

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