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2018届高考数学二轮复习(文数)三角恒等变换与解三角形学案含答案(全国通用)

$来& 源:ziyua nku.com 【2017 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有: (1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是 C 级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是 B 级要 求,应用时要适当选择公式,灵活应用. (2)正弦定理、余弦定理及其应用,要求是 B 级,能够应用定理实现三角形中边和角的 转化,以及应用定理解决实际问题. 试题类型一般是填空题,同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查,构成中档题. 【重点、难点剖析】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α ±β )=sinα cos β ±cos α sin β . (2)cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β . tan α ±tan β (3)tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α . (2)cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α . 2tan α (3)tan 2α = . 2 1-tan α 3.正弦定理 = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R 2 2 2 2 $来&源:ziyua nku.co m a b c a b c a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 4.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 推论:cos A= cos C= b2+c2-a2 a2+c2-b2 ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 . 2ab 5.三角形面积公式 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 6.三角恒等变换的基本思路 (1)“化异为同”, “切化弦”, “1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. 如 1=cos θ +sin θ =tan 45°等. “化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化异角为同角”. (2)角的变换是三角变换的核心,如 β =(α +β )-α ,2α =(α +β )+(α -β ), β ? ?α α +β ? =?α - ?-? -β 2? ?2 2 ? 2 2 1 2 1 2 1 2 ?等. ? ? 7.解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 8.利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中, 通过解这样的三角形即可 求出实际问题的答案.注意要检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得 出正确结果. 【题型示例】 题型 1、三角变换及应用 π? 3 ? 【例 1】(1)(2016?高考全国乙卷)已知 θ 是第四象限角,且 sin?θ + ?= ,则 4? 5 ? π? ? tan?θ - ?=________. 4? ? 4 【答案】 :- 3 π? 4 ? cos?θ + ? 4 5 4 ? ? =- =- =- . π 3 3 ? ? sin?θ + ? 4? 5 ? π π 速解法:由题意知 θ + 为第一象限角,设 θ + =α , 4 4 π ∴θ =α - , 4 π? π? ? ? ?π ? ∴tan?θ - ?=tan?α - ?=-tan? -α ?. 4? 2? ? ? ?2 ? 3 如图,不妨设在 Rt△ACB 中,∠A=α ,由 sin α = 可得, 5 BC=3,AB=5,AC=4, π 4 ∴∠B= -α ,∴tan B= , 2 3 4 ∴tan B=- . 3 4 答案:- 3 (2)若 tan α >0,则( A.sin α >0 ) B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 【答案】 :C 【解析】 :基本法:由 tan α >0 得 α 是第一或第三象限角,若 α 是第三象限角,则 π 2 A,B 错;由 sin 2α =2sin α cos α 知 sin 2α >0,C 正确;α 取 时,cos 2α =2cos α 3 1 ?1?2 -1=2?? ? -1=- <0,D 错.故选 C. 2 ?2? sin α 速解法:∵tan α = >0,即 sin α cos α >0, cos α ∴sin 2α =2sin α cos α >0,故选 C. 【举一反三】(2015?新课标全国Ⅰ, 2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 【答案】 D 【解析】 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 1 10°=sin 30°= . 2 【变式探究】(2015?四川,12)sin 15°+sin 75°的值是________. 【答案】 6 2 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 D. 1 2 ) 【解析】 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°= 2sin(15°+45°)= 2sin 60°= 6 . 2 1 【举一反三】(2015?江苏,8)已知 tan α =-2,tan(α +β )= ,则 tan β 的值为 7 ________. 【答案】 3 ? π? ? π? 【变式探究】(1)(2014?新课标全国卷Ⅰ)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = 2 2? ? ?

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