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【创新设计】2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)学案:第3章 空间向量与立体几何 1.2


3.1.2 共面向量定理 [学习目标] 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件. [知识链接] 1.空间两向量共线,一定共面吗?反之还成立吗? 答:一定共面,反之不成立. 2.空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系? 答:空间共面向量定理中,当向量 a,b 是平面向量时,即为平面向量基本定理. [预习导引] 1.共面向量 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量. 2.共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x,y), 使得 p=xa+yb,即向量 p 可以由两个不共线的向量 a,b 线性表示. 3.空间四点共面的条件 → → → 若空间任意无三点共线的四点,对于空间任一点 O,存在实数 x、y、z 使得OA=xOB+yOC+ → zOD,且 x、y、z 满足 x+y+z=1,则 A、B、C、D 共面. 要点一 应用共面向量定理证明点共面 → 1→ 1→ 1→ 例 1 已知 A、B、C 三点不共线,平面 ABC 外的一点 M 满足OM= OA+ OB+ OC. 3 3 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → 解 (1)∵OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC). → → → → → ∴MA=BM+CM=-MB-MC. → → 又MB与MC不共线. → → → ∴向量MA、MB、MC共面. → → → (2)∵向量MA、MB、MC共面且具有公共起点 M, ∴M、A、B、C 共面.即点 M 在平面 ABC 内. 规律方法 利用共面向量定理证明四点共面时,通常构造有公共起点的三个向量,用其中的 两个向量线性表示另一个向量,得到向量共面,即四点共面. → → → 跟踪演练 1 已知两个非零向量 e1、 e2 不共线, 如果AB=e1+e2, AC=2e1+8e2, AD=3e1-3e2, 求证:A、B、C、D 共面. → → → → 1 → → 1→ 1→ → → 证明 ∵AD+AC=5e1+5e2=5AB,∴AB= (AD+AC)= AD+ AC,又AD与AC不共线. 5 5 5 → → → ∴AB、AD、AC共面,又它们有一个公共起点 A. ∴A、B、C、D 四点共面. 要点二 应用共面向量定理证明线面平行 例 2 如图, 在底面为正三角形的斜棱柱 ABCA1B1C1 中, D 为 AC 的中 点, 求证:AB1∥平面 C1BD. → → → 证明 记AB=a,AC=b,AA1=c,则 1 → → → → AB1=a+c,DB=AB-AD=a- b, 2 → → → 1 DC1=DC+CC1= b+c, 2 → → → → → 所以DB+DC1=a+c=AB1,又DB与DC1 不共线, → → → 所以AB1,DB,DC1共面. 又由于 AB1 不在平面 C1BD 内,所以 AB1∥平面 C1BD. 规律方法 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明过 程和证明步骤. → → → 跟踪演练 2 如图所示,已知斜三棱柱 ABCA1B1C1,设AB=a,AC=b,AA1=c,在面对角线 → → → → AC1 上和棱 BC 上分别取点 M、N,使AM=kAC1,BN=kBC (0≤k≤1). 求证:MN∥平面 ABB1A1. → → → → 证明 AM=k· AC1=k(AA1+AC)=kb

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