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空间向量证明平行和垂直位置关系教案


北京市第九十四中学

北京市第九十四中学教案
学科 课题 数学 班级 高二 3 班 授课人 顾岚 时间 2013 年 12 月 2 日

《空间向量与立体几何》 §4.平行和垂直的证明(1 课时) 知识与技能: 1. 通过上节课直线方向向量和平面法向量的概念引入,能利用方向向量和法向 量判断直线和平面的位置关系; 2. 通过例题的研究,会利用方向向量和法向量证明具体问题中的线面位置关系。 过程与方法: 运用数形结合的方法,初步体会利用空间向量解决立体几何问题的便捷性。 情感态度价值观: 培养学生的空间观念和系统学习概念的意识。 重点:判断三个向量共面的充要条件 难点:空间向量基本定理的探究 启发、讲授 ppt 及学案 教师活动 学生活动 设计意图

教学目标

教学重点和 难点 教学方法 教具和教学 手段

因为方向向量与法向量可以确定直线 和平面的位置,所以我们可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。 本节课我们先来研究平行和垂直的位置关 系。 设空间两条直线 l1 ,l 2 的方向向量分别 为 e1 , e 2 , 两个平面 ? 1 , ? 2 的法向量分别为

3 分钟时间,学生先自行填写学案下列表 复习之前 格,之后跟随教师分析平行和垂直关系的 所学,为本 节课的内 判定方法,学生检查学案是否正确。 容进行铺 直线、平面 平行 垂直 垫。

l1 与 l 2

e1 // e2

e1 ? e2

l1 与 ? 1

e1 ? n1 n1 // n 2

e1 // n1
n1 ? n2

?1 与? 2

n1 , n 2 :
1. l 1 与 l 2 平行

根据结论进行题目的练习 【例】 已知正方体 ABCD ? A B C D 的棱
' ' ' '

长为 2,
D' A' B' C'

l1 // l 2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e 2
2. l 1 与 l 2 垂直

通过例题 在具体实 例中体会 向量法证 明线面位 置关系方 法。

l1 ⊥ l 2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e 2 ? 0
3. l 1 与 ? 1 平行
l1 e1 n1 α1

D A B

C

(1) 建立适当的空间直角坐标系, 并写出 正方体所有顶点的坐标; 【解】

1

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如图可知, l 1 // ? 1 ? e1 ? n1 且 l 1 ? ? 1

(2)求证: B ' D ? 面 A' BC ' 【解】

? e1 ? n1 ? 0 且 l 1 ? ? 1
4. l 1 与 ? 1 垂直
l1 e1 n1

(3)求证: AC / / 面A BC
'

'

α1

【解】

如图可知,

l1 ⊥ ? 1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1
(让学生练习证明 【例】 题的 (1) (2) 、 、 (3)小问) 5. ? 1 与 ? 2 平行
n2 α2 n1 α1

(3)求证:面 BB D D ? 面 A BC
' '
'

'

【解】

? 1 // ? 2 ? n1 // n 2 ? n1 ? ? n2
6. ? 1 与 ? 2 垂直 (4)求证:面 ACD / / 面 A BC 【解】
' ' '

α2 n2

n1 α1

? 1 ⊥ ? 2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n 2 ? 0
(让学生练习证明【例】题的(4)、(5) 小问) 向量法证明线面位置关系只是在我们之前讲过的定理推导方法之外给我们又一个 新的方法,原来的方法依然使用。 教材 P104/练习 目标 P88:8、9(1、2)

课堂小结 课堂练习 作业

2


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