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1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理2_图文

1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理(2)

1. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班 和晚班,有多少种不同的选法?

第一步:选1人上日班; 有3种方法 第二步:选1人上晚班. 有2种方法

N=3×2=6(种)
2. 从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛,其中 数学2人,理、化各1人,求共有多少种不同的选 法?

物理1人 化学1人 数学2人
5种 4种 3种 N=5×4×3=60(种)

3.有不同的中文书9本,不同的英文书7本,不同 的日文书5本.从其中取出不是同一国文字的书2 本,问有多少种不同的取法?

9×7+9×5+7×5=143
4. 有架楼梯共6级,每次只允许上一级或两级, 求上完这架楼梯共有多少种不同的走法?

1种走法 第1类:走3步 6种走法 第2类:走4步 5种走法 第3类:走5步 第4类:走6步 1种走法 N=1+6+5+1=13(种)

题型一:排数字问题
例1. 用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数 ? 有 (2)可以组成多少个无重复数字的三位的偶数? (3)可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数?
131

(4)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字无重 179 复的四位数?

练习1.用0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成多少个无重复数字 的比 2000大的 4 位偶数?
解:完成这件事可分为3类方法: 第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数,它可以分三 步去完成: 第一步,选取千位上的数字,只有2, 3, 4, 5可以选择,有4种 选法; 第二步,选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数 字以外,还有4个数字可供选择,有4种选法; 第三步,选取十位上的数字,还有3种选法. 依据分步乘法计数原理,这类数的个数有4×4×3=48(个);

第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数,它可以分三 步去完成; 第一步,选取千位上的数字,除去2,1,0只有3个数字可 以选择,有3种选法; 第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾 两数字之后,还有4个数字可供选择,有4种选法; 第三步,选取十位上的数字,还有3种选法. 依据分步乘法计数原理,这类数的个数有3×4×3= 36(个); 第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数, 其步骤同第二类,有3×4×3=36(个). 对以上三类结论用分类加法计数原理,可得所求无重 复数字的比2 000大的4位偶数有48+36+36=120(个).

练习2. 在1,2,3,…,200这些自然数中,各个 数位上都不含数字8的自然数共有多少个?

不含8的一位数
不含8的二位数 不含8的三位数

8个 8×9=72个
9×9+1=82个

N=8+72+82=162(个)

题型二:染色问题
例2. 用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域 涂色,每个区域只涂一种颜色,相邻区域的颜色 不同,求共有多少种不同的涂色方法?

A5 C3

4B D 3

N=5×4×3×3=180

练习 1.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入 图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜 色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?

72

练习2. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱上的两端点颜色不同,如果只有5种 颜色可供使用,求共有多少种不同的染色方法?
S C D A

涂S 点 涂A 点 涂D 点 B 涂B 、C 点

5 4 3 7

N=5×4×3×7=420(种)

题型三:“m ”和“n ”型问题
1.三个比赛项目,六人报名参加。
(1)每人参加一项有多少种不同的方法?36 ? 729 (2)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不 3 同的方法? 6 ? 216 (3)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不 同的方法? 6 ? 5 ? 4 ? 120

n

m

练习 1:有 4 位同学参加 3 项不同的竞赛. (1)每位同学必须参加且只参加一项竞赛, 有多少 种不同结果? (2) 每项竞赛只允许一位同学且必须有一位同学 参加,有多少种不同结果?

题型四:约数问题

例4. 630的正约数(包括1和630)共有 多少个?
630=2×32×5×7

正约数:2a×3b×5c×7d 2×3×2×2=24(个)

练习1. 75600 有多少个正约数 ?有多少个 奇约数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 2 l ? 3 j ? 5 k ? 7 l 的形式,其中 0 ? i ? 4 ,0 ? j ? 3 ,0 ? k ? 2,0 ? l ? 1 于是 , 要确定 75600 的一个约数 , 可分四步完成 , 即 i,j,k,l 分别在各自的范围内任取一个值 , 这样 i 有 5 种取法,j 有4种取法,k有3种取法,l 有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

1.用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域 涂一种颜色. (1)共有多少种不同的涂色方法? (2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么有多少种 不同的涂色方法?

180

2.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格 里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填 的数字均不同的填法有_____种.

1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填 法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相 同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只 有1种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。

3、如果把两条异面直线看成“一对”, 那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面 B )对 直线共有( A.12 B.24 C.36 D.48

4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶 点爬到相对的另一个顶点的最近路线 共有多少条?
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成, 所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最 近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。

5. 将20个大小相同的小球放入编号为1, 2,3的三个盒子中,要求每个盒子内的 球数不小于该盒子的编号数,求共有多 少种不同的放法?
15+14+?+2+1=120(种)

6. 从-3,-2,-1,0,1,2,3中 任取三个不同的数作为抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物 线过原点,且顶点在第一象限,问 这样的抛物线共有多少条? c取值 c=0 1种 a取值 a<0 3种 3种 b取值 b>0 N=3×3×1=9(种)

例10 从-3,-2,-1,0,1,2, 3中任取三个不同的数作为抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物 线过原点,且顶点在第一象限,问 这样的抛物线共有多少条? c取值 c=0 1种 a取值 a<0 3种 3种 b取值 b>0 N=3×3×1=9(种)

4、某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为6个部分(如右图)现要栽 种4种不同颜色的花,每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 6 不同的栽种方法有______种.(以 数字作答)

5 1 2 3 4

解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看 知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求 (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种; (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种; (3)②与④且③与⑥同色,则共N3=4×3×2×1=24种 所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.


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