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2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用作业手册

专题限时集训(一)A

[第 1 讲 集合与常用逻辑用语]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

1.设 U={1,2,3,4,5},A={1,5},B={2,4},则 B∩(?UA)=( )

A.{2,3,4}

B.{2}

C.{2,4}

D.{1,3,4,5}

2.命题“对任意 x∈R,都有 x3>x2”的否定是( )

A.存在 x0∈R,使得 x03>x20 B.不存在 x0∈R,使得 x30>x20 C.存在 x0∈R,使得 x30≤x20 D.对任意 x∈R,都有 x3≤x2

3.若 p:(x-3)(x-4)=0,q:x-3=0,则 p 是 q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知集合 M={x|-2≤x<2},N={x|y=log2(x-1)},则 M∩N=( )

A.{x|-2≤x<0}

B.{x|-1<x<0}

C.{x|1<x<2}

D.{-2,0}

5.已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题 q:“a>b”

是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( )

A.p 真 q 假

B.p 假 q 真

C.p∨q 为假

D.p∧q 为真

提升训练

6.已知全集 I={1,2,3,4,5,6},集合 M={3,4,5},N={1,2,3,4},则图 1-1 中阴影部分表示的集合为( )

图 1-1

A.{1,2}

B.{1,2,6}

C.{1,2,3,4,5}

D.{1,2,3,4,6}

7.已知集合 A=???x??x-1x=0,x∈R???,则满足 A∪B={-1,0,1}的集合 B 的个数是(

)

A.2

B.3

C.4

D.9

8.命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”的逆否命题是( )

A.若 a,b,c 成等比数列,则 b2≠ac

B.若 a,b,c 不成等比数列,则 b2≠ac

C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列

D.若 b2≠ac,则 a,b,c 不成等比数列

9.已知集合 M={x|x2-3x=0},集合 N={x|x=2n-1,n∈Z},则 M∩N=( )

A.{3}

B.{0}

C.{0,3}

D.{-3}

10.设集合 A={y|y=sin x,x∈R},集合 B={ x |y=lg x},则(?RA)∩B=( )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.[-1,1]

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

11.已知 a,b∈(0,1),则“a+b=1”是“不等式 ax2+by2≥(ax+by)2 对任意的 x,y∈R

恒成立”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12.下列命题中为真的是( )

A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2

C.若 ab>1,则 a,b 至少有一个大于 1

D.sin2x+sin22x≥3(x≠kπ ,k∈Z)

13.已知命题 p:x∈A,且 A={x|a-1<x<a+1};命题 q:x∈B,且 B={x|x2-4x+3≥0}.

(1)若 A∩B=?,A∪B=R,则实数 a=________;

(2)若 p 是 q 的充分条件,则实数 a 的取值范围是______.

14.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在区间[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x20+2ax0+2a≤0.若命题“p∨q”是假命题,则实数 a 的取值范围是________.

专题限时集训(一)B

[第 1 讲 集合与常用逻辑用语]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

1.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )

A.{x|x≥0}

B.{x|x≤1}

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|0<x<1}

2.已知命题 p:x≥a,命题 q:|x-1|<1.若 p 是 q 的必要非充分条件,则实数 a 的取值

范围是( )

A.a≥0

B.a≤0

C.a≥2

D.a≤2

3.已知集合 A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则 B 中所含元素的个

数为( )

A.2

B.3

C.4

D.6

4.已知集合 A=???x1x<1,x∈R???,集合 B 是函数 y=lg(x+1)的定义域,则 A∩B=________.

提升训练

5.“3a>3b”是“log3a>log3b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知集合 A={x||x-2|≤1},B=???
??

x???xx- -31

≥0???,则(
??

)

A.A=B

B.A∪B=R

C.A?B

D.A∩B=?

7.已知集合 A={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈R},B={(x,y)|y=x2+1,x,y∈R},则集

合 A∩B 的元素个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

8.已知集合 A={x|y=2x},B={y|y=2x},则 A∩B=( )

A.[0,+∞)

B.(0,+∞)

C.R

D.?

9.“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为π2 ;命题 q:函数 y=cos x 的图像关于直

线 x=π2 对称,则下列判断正确的是( ) A.p 为真 B. q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真
11.设集合 A=???x-12<x<2???,B={x|-1≤x≤1},则 A∩B=________. 12.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A?B,则 a 的取值范围是________. 13.已知下列说法: ①命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0”; ②“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件; ③命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题; ④任意 a∈R,直线 ax+y-a=0 恒过定点(1,0). 其中,说法错误的是________. 14.对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设 A= {y|y=3x,x∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则 A⊕B=________.

专题限时集训(二)A

[第 2 讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )

A.y=x+1

B.y=-x2

C.y=1x

D.y=x|x|

2.已知 a=21.2,b=0.50.8,c=log23 则( )

A.a>b>c

B.c>b>a

C.c>a>b

D.a>c>b

3.已知函数 y=f(2x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(-2)=( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4.函数 y=- l-n(x2x-+31x)+4的定义域为________.

5.已知 f(x)=?????2f(x,x+x>10),,x≤0,则 f??-43??=________.

提升训练

6.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=2- 3,且对任意的 x 都有 f(x+2)=-f(1 x),

则 f(2014)=( )

A.-2- 3

B.-2+ 3

C.2- 3

D.2+ 3

7.若函数 f(x)(x∈R)是奇函数,函数 g(x)(x∈R)是偶函数,则( )

A.函数 f(x)·g(x)是偶函数

B.函数 f(x)·g(x)是奇函数

C.函数 f(x)+g(x)是偶函数

D.函数 f(x)+g(x)是奇函数

8.若当 x∈R 时,函数 f(x)=a|x|始终满足 0<|f(x)|≤1,则函数 y=loga??1x??的图像大致为(

)

A

B

C

D

图 2-1

9.定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1.若函数 y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2], 则区间[a,b]的长度的最大值为( )

A.125

B.145

C.3

D.34

10.设 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga???xx- +11???在区间(1,+∞)上单调递减,则 f(x)(

)

A.在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递增

B.在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减

C.在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递增

D.在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递减

11.设函数 f(x)=x2sin x,则函数 f(x)的图像可能为( )

A

B

C

D

图 2-2

12.已知函数 y=f(x),若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x+a)-f(x)都是其定义域上的

增函数,则函数 y=f(x)可能是( )

A.y=2x C.y=x3

B.y=log3(x+3) D.y=-x2+4x-6

13.函数 f(x)=2x+2-x 的图像关于______对称.

14.已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(m)

<f(1) 的实数 m 的取值范围是________.

15.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l,使得对于任意 x∈M(M?D),有 x+l∈D,

且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数.如果函数 f(x)=(x-1)2 为区间[0,+∞)上的

m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是________. 16.设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ax2+7.若 f(x)≥a

+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为________.

专题限时集训(二)B
[第 2 讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质] (时间:5 分钟+40 分钟)
基础演练
1.设函数 f(x)=x2-ax+a.已知命题 p:方程 f(x)=0 有实数根;q:函数 f(x)在区间[1, 2]上是增函数.若 p 和 q 有且只有一个为真,求实数 a 的取值范围.
2.已知函数 f(x)=lg(2+x)+lg(2-x). (1)求函数 y=f(x)的定义域; (2)判断函数 y=f(x)的奇偶性; (3)若 f(m-2)<f(m),求 m 的取值范围.
3.已知函数 f(x)=x2+x b(b 为常数). (1)当 f(1)=f(4),函数 F(x)=f(x)-k 有且仅有一个零点 x0,且 x0>0 时,求 k 的值; (2)若函数 y=f(x)在区间(1,4)上为单调函数,求 b 的取值范围.

提升训练
4.已知函数 f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; (2)若 f(1)=32,且 g(x)=a2x+a-2x-2m·f(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求 m 的值.
5.已知函数 f(x)=-x2+2|x-a|. (1)若函数 y=f(x)为偶函数,求 a 的值; (2)若 a=12,求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)当 a>0 时,若对任意的 x∈[0,+∞),不等式 f(x-1)≥2f(x)恒成立,求实数 a 的取值 范围.

专题限时集训(三)

[第 3 讲 函数与方程、函数模型及其应用]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

1.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

2.“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.函数 f(x)=tan x-1x在区间??0,π2 ??内零点的个数是(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

4.已知函数 f(x)与 g(x)的图像在 R 上连续,由下表知方程 f(x)=g(x)的实数解所在的区间

是( )

x

-1

0

1

2

3

f(x)

-0.677 3.011 5.432 5.980 7.651

g(x)

-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892

A.(-1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

5.若函数 f(x)=ax+b 的零点为 x=2,则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 x=0 和 x=________.

提升训练

6.已知函数 f(x)=?????0ex,,xx≤>00,,则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围是

()

A.[0,1)

B.(-∞,1)

C.(-∞,0]∪(1,+∞)

D.(-∞,1]∪(2,+∞)

7.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且当 x≤0 时,f(x)=2x-12x+a,则函数 f(x)的

零点的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知函数 f(x)=4-ax,g(x)=4-logbx,h(x)=4-xc 的图像都经过点 P??12,2??,若函数

f(x),g(x),h(x)的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=( )

A.76

B.65

C.54

D.32

9.若直角坐标平面内的两个不同的点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图像

上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,

Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x)=?????12??x,x>0,

则此函数的“友好

??-x2-4x,x≤0,

点对”有( )

A.0 对

B.1 对

C.2 对

D.3 对

10.若关于 x 的方程??x+1x??-??x-1x??-kx-1=0 有五个互不相等的实根,则 k 的取值范

围是( )

A.??-14,14??

B.??-∞,-14??∪??14,+∞??

C.??-∞,-18??∪??18,+∞??

D.??-18,0??∪??0,18??

11.对于任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3.已知定义

在 R 上的函数 f(x)=[2x]+[4x]+[8x],若 A={y|y=f(x), 0≤x≤1},则 A 中所有元素的

和为( )

A.65

B.63

C.58

D.55

12.已知函数 f(x)=x+1 2-m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围为________.

13.已知定义在 R 上的函数 f(x)为增函数,且对任意 x∈(0,+∞),有 f[f(x)-log2x]=1 恒成立,则函数 f(x)的零点为________.

??1,x>0, 14.已知函数 g(x)=?0,x=0, 若函数 f(x)=2x·g(ln x)+1-x2,则函数 f(x)的零点个数

??-1,x<0,

为________.

15.若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(t)的一个次不动点.设函数 f(x)=ln x 与函数

g(x)=ex 的所有次不动点之和为 m,则 m=________.

16.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=|log0.5x|的定义域为[a,b],值 域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最小值为________.

专题限时集训(四)A
[第 4 讲 不等式与线性规划]
(时间:5 分钟+30 分钟)
基础演练
1.已知集合 A={x|0<x<2},B={x|(x-1)(x+1)>0},则 A∩B= ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
2.已知全集 U=R,集合 M=???x???xx- +11<0???,N={x|x2-x<0},则集合 M,N 的关系用
图示法可以表示为( )

图 4-1
??x+y≥1, 3.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, 则目标函数 z=x-2y 的最大值为( )
??2x-y-2≤0,

A.32

B.1

C.-12

D.-2

4.若 a<b<0,则下列不等式不成立的是( )

A.a-1 b>1a

B.1a>1b

C.|a|>|b|

D.a2>b2

5.若 x>0,y>0,则 xx++yy的最小值为(

)

A. 2

B.1

C.

2 2

D.12

提升训练

6.已知集合 A={x|x2-2x-3<0},集合 B={x|2x+1>1},则?BA=( )

A.(3,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-1]∪[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

7.已知集合 A={x|x2-6x+5≤0},B={y|y=2x+2},则 A∩B=( )

A.?

B.[1,2)

C.[1,5]

D.(2,5]

8.已知向量 a=(m,1-n),b=(1,2),其中 m>0,n>0.若 a∥b,则m1 +1n的最小值是( )

A.2 2

B.3+2 2

C.4 2

D.3+ 2

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a2+b2=3c2,则 cos C 的最

小值为( )

A.12

B.14

C.

3 2

D.23

??x≥0, 10.已知?x-3y≤0,

则 z=x-y 的最大值是________.

??2x+3y-9≤0,

??y≥0, 11.设 x,y 满足约束条件?y≤x,

若目标函数 z=3x+y 的最大值为 6,则 a=

??x+2y-a≤0,

________.

12.已知 x,y 均为正实数,且 xy=x+y+3,则 xy 的最小值为________.

13.已知正实数 a,b 满足 2ab=a+b+12,则 ab 的最小值是________.

14.已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)的导函数为 f′(x),且 f′(0)=4,则 a2+2b2 的最小值为

________.

2x-y+2≥0,

??8x-y-4≤0,

? 15.设 x,y 满足约束条件 x≥0,

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值

??y≥0,

为 8,则 ab 的最大值为________.

专题限时集训(四)B

[第 4 讲 不等式与线性规划]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

??y≤x, 1.已知 x,y 满足不等式组?x+y≥2,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为( )

??x≤2,

A.12

B.2

C.32

D.43

2.若正实数 x,y 满足 x+y+1x+1y=5,则 x+y 的最大值是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

3.设变量

x,y

??x+y≤7, 满足约束条件?x-y≤-2,则目标函数
??x-1≥0,

z=yx的最大值为(

)

A.95

B.3

C.6

D.9

4.若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________.

提升训练

x-y≥0,
??2x+y≤2, ? 5.若不等式组 y≥0, 所表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是(
??x+y≤a

)

A.a≥43

B.0<a≤1

C.1≤a≤43

D.0<a≤1 或 a≥43 6.已知 a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( )

A.a+1b>b+1a

B.a+1a>b+1b C.ba>ba+ +11

D.b-1b>a-1a

??x≥1, 7.已知实数 x,y 满足?x+y≤4,

且目标函数 z=2x+y 的最大值为 6,最小值为 1,

??ax+by+c≤0,

其中 b≠0,则bc的值为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

x≥0,
??y≥0, ? 8.已知点 M(x,y)是平面区域 x-y+1≥0,内的动点,则(x+1)2+(y+1)2 的最大值是
??2x+y-4≤0

()

A.10

B.459

C. 13

D.13

??|O→P·O→M|≤12, 9.已知点 P(3,3),Q(3,-3),O 为坐标原点,动点 M(x,y)满足???|O→Q·O→M|≤12, 则

点 M 所构成的平面区域的面积是( )

A.12

B.16

C.32

D.64

10.某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客

量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过

21 辆,且 B 型车比 A 型车至多多 7 辆,则租金最少为( )

A.31 200 元

B.36 000 元

C.36 800 元

D.38 400 元

11.不等式(x-2)2≤2x+11 的解集为________.

12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若-1<a3<1,0<a6<3,则 S9 的取值范围是________. 13.已知函数 f(x)=x2-2x,点集 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},

则 M∩N 所构成的平面区域的面积为________.

14.已知函数 f(x)=x2+axx++17+a,a∈R.若对任意的 x∈N*,f(x)≥4 恒成立,则 a 的取

值范围是________.

15.已知不等式 xy≤ax2+2y2 对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数 a 的取值范围

是________.

专题限时集训(五)

[第 5 讲 三角函数的图像与性质]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.函数 y=sin xsin??π2 +x??的最小正周期是(

)

A.π2

B.2π

C.π

D.4π

2.将函数 y=sin??x+π6 ??(x∈R)的图像上所有的点向左平移π4 个单位长度,再把所得图

像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,所得的函数图像的解析式为( )

A.y=sin??2x+51π2 ??(x∈R)

B.y=sin??2x+51π2 ??(x∈R)

C.y=sin??2x-π12??(x∈R)

D.y=sin??2x+52π4 ??(x∈R)

3.为了得到函数 y=cos??2x+π3 ??的图像,可将函数 y=sin 2x 的图像(

)

A.向左平移5π6

B.向右平移

5π 6

C.向左平移

5π 12

D.向右平移51π2

4.已知向量 a=(sinθ ,cosθ ),b=(2,-3),且 a∥b,则 tan θ =________.

5.已知 α∈??π2 ,π ??,sin α = 33,则 sin 2α =________.

提升训练

6.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ ≤π )的部分图像如图 5-1 所示,其 中 A,B 两 点之间的距离为 5,则 f(x)的单调递增区间是( )

图 5-1 A.[6k-1,6k+2](k∈Z) B.[6k-4,6k-1](k∈Z) C.[3k-1,3k+2](k∈Z) D.[3k-4,3k-1](k∈Z) 7.已知 P 是圆(x-1)2+y2=1 上异于坐标原点 O 的任意一点,直线 OP 的倾斜角为 θ. 若|OP|=d,则函数 d=f(θ)的大致图像是( )

A

B

C

D

图 5-2

8.函数 f(x)=sin(2x+φ)??|φ |<π2 ??的图像向左平移π6 个单位后关于原点对称,则函数 f(x)

在区间??0,π2 ??上的最小值为( )

A.-

3 2

B.-12

C.12

D.

3 2

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)??A>0,ω>0,|φ|<π2 ??的图像如图 5-3 所示,为了得到 g(x)=Asin

ω x 的图像,可以将 f(x)的图像( )

图 5-3

A.向右平移π6 个单位长度

B.向左平移π3 个单位长度

C.向左平移π6 个单位长度

D.向右平移π3 个单位长度

10.将函数 f(x)= 3sin 2x-cos 2x 的图像向左平移 m 个单位??m>-π2 ??,若所得的图像

关于直线 x=π6 对称,则 m 的最小值为(

)

A.-π6

B.-π3

C.0

D.π12

11.设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x+2cos x 取得最大值,则 cos θ =________.

12.将函数 f(x)=sin??3x+π4 ??的图像向右平移π3 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图像,

则函数 y=g(x)在区间??π3 ,23π ??上的最小值为 ________ .

13.已知 α∈R,sin α +3cos α = 5,则 tan 2α =________.

14.已知函数 f(x)=2 3cos xsin x+2cos2 x.

(1)求 f??4π3 ??的值;

(2)当 x∈??0,π2 ??时,求函数 f(x)的值域.

15.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x+c(ω>0,c 是常实数)的图像上的一个最高点是

?π ?6

,1??,与该最高点最近的一个最低点是??23π

,-3??.

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间;

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且A→B·B→C=-12ac,设角 A

的取值范围是区间 M,当 x∈M 时,试求函数 f(x)的值域.

16.设 λ∈R,f(x)=cos x(λsin x-cos x)+cos2??π2 -x??满足 f??-π3 ??=f(0).
(1)求函数 f(x)的图像的对称轴和单调递减区间; (2)设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且ccooss AB=-b+a2c,求 f(x)在
区间(0,A]上的值域.

专题限时集训(六)A

[第 6 讲 三角恒等变换与解三角形]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.在钝角三角形 ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积为( )

A.14

B.

3 2

C.

3 4

D.12

2.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,A=45°,B=105°,

则 c= ( )

A.

3 2

B.1

C. 3

D.

6+ 2

2

3.函数 f(x)=sin 2x-sin??2x+π3 ??的最小值为( )

A.0

B.-1

C.- 2 D.-2

4. 若 cos 2θ =13,则 sin4θ +cos4θ 的值为(

)

A.1138

B.1118

C.59

D.1

5. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin2 A+sin2C-sin2B= 3sin

Asin C,则 B=________.

提升训练

6.已知 sin 2α =13,则 cos2 ??α -π4 ??=(

)

A.13

B.-13

C.23

D.-23

7.已知△ABC 的外接圆 O 的半径为 1,且O→A·O→B=-12,C=π3 .从圆 O 内随机取一点

M,若点 M 在△ABC 内的概率恰为34π3,则△ABC 为(

)

A.直角三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

8.已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,其对边分别为 a,b,c.若(sin A+sin B)(sin A-

sin B)=sin C( 2sin A-sin C),则 B=( )

A.π4

B.π3

C.π2

D.2π3

| | 9.在△ABC 中,若A→B·A→C=7, A→B-A→C =6,则△ABC 的面积的最大值为( )

A.24

B.16

C.12

D.8

10.已知△ABC 的重心为 G,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 aG→A+bG→B+ 33cG→C

=0,则 A 等于( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

11.已知 α∈??-π2 ,0??,cos(π -α)=-45,则 tan 2α =______

.

12.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,AB 边上的高为43,则 AC+BC=________. 13.已知∠MON=60°,由此角内一点 A 向角的两边引垂线,垂足分别为 B,C,AB =a,AC=b,若 a+b=2,则△ABC 外接圆的直径的最小值是________. 14.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2B2= 3sin B,b=1. (1)若 A=51π2 ,求 c; (2)若 a=2c,求△ABC 的面积.
15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos2C2+ccos2A2=32b. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 B=60°,b=4,求△ABC 的面积.

时集训(六)B
[第 6 讲 三角恒等变换与解三角形] (时间:5 分钟+40 分钟)
基础演练
1.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x+m 在区间??0,π3 ??上的最大值为 2.
(1)求常数 m 的值; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(A)=1,sin B=3sin C,△ABC 的面积为94 3,求边长 a.
2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 的面积的最大值.
3.已知函数 f(x)=2sin??x+π3 ??cos x.
(1)求 f(x)的值域; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A 为锐角,f(A)= 23,b=2, c=3,求 cos(A-B)的值.

提升训练

4.已知函数

f(x)=

3 2 sin

2x+cos2x-32

(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间??0,π2 ??上的最大值;

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,a=2,f(A)=-12,求△ABC

周长的最大值 L.

5.已知函数 f(x)=sin ω x(ω>0)在区间??0,π3 ??上单调递增,在区间??π3 ,23π ??上单调递

减.如图 6-1 所示,四边形 OACB 中,a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满

足sin

B+sin sin A

4ω C= 3

-cos cos

B-cos A

C .

图 6-1 (1)证明:b+c=2a. (2)若 b=c,∠AOB=θ(0<θ<π ),OA=2OB=2,求四边形 OACB 的面积的最大值.

专题限时集训(七)

[第 7 讲 平面向量]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.已知|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量 a 在 b 方向上的投影是( )

A.-12

B.-1

C.12

D.1

2.若向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有( )

A.c⊥a

B.c⊥b

C.c∥b

D.c∥a

3.在△ABC 中,“A→B·B→C>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.向量 a=(3,-4),向量|b|=2,若 a·b=-5,则向量 a 与 b 的夹角为( )

A.π3

B.π6

C.23π

D.3π4

5.已知平面向量 a,b,若|a|=3,|a-b|= 13,a·b=6,则|b|=________,向量 a,b 夹角的大小为________.
提升训练

6.在△ABC 中,A→B=(cos 18°,cos 72°),B→C=(2cos 63°,2cos 27°),则△ABC 的 面积为( )

A.

2 4

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

7.正三角形 ABC 的边长为 3,点 P 在其外接圆上运动,则A→P·P→B的取值范围是( )

A.??-32,32??

B.??-32,12??

C.??-12,32??

D.??-12,12??

8.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且B→C=C→D,点 O 在线段 CD 上(与点 C,

D 不重合).若A→O=xA→B+(1-x)A→C,则 x 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.??0,13??

C.(-1,0)

D.??-13,0??

9.已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意一点,则C→P·(B→A-

B→C)的最大值为( )

A.8

B.9

C.12

D.15

10.已知向量 a·(a+2b)=0,|a|=|b|=1,且|c-a-2b|=1,则|c|的最大值为( )

A.2

B.4

C. 5+1

D. 3+1

11.已知向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=5,则|4a-b|=________.

12.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(1+aib)+(i 1-i)=2-i,则 a+bi=________.

13.O 是平面上一点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足O→P=O→A+λ(A→B+A→C),

λ∈??0,12??,已知 λ=12时,|A→P|=2,则P→A·P→B+P→A·P→C的最小值是________.

14.已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.

(1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值;

(2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t.

15.设△ABC 是边长为 1 的正三角形,点 P1,P2,P3 四等分线段 BC(如图 7-1 所示). (1)求A→B·A→P1+A→P1·A→P2 的值. (2)设动点 P 在 BC 上. (i)请写出一个|B→P|的值使P→A·P→C>0,并说明理由; (ii)当P→A·P→C取得最小值时,求 cos∠PAB 的值.
图 7-1

16.已知函数 f(x)=m·n,其中 m=(1,sin 2x),n=(cos 2x, 3),在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且 f(A)=1.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 a= 3,b+c=3,求△ABC 的面积.

专题限时集训(八)

[第 8 讲 等差数列、等比数列]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9=( )

A.8

B.12

C.16

D.24

2.等比数列{an}中,a2=1,a8=64,则 a5=( )

A.8

B.12

C.8 或-8

D.12 或-12

3.已知等差数列{an}中,a3+a4-a5+a6=8,则 S7=( )

A.8

B.21

C.28

D.35

4.已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=π ,则 tan(a2+a12)的值为

A. 3

B.- 3

()

C.

3 3

D.-

3 3

5.等比数列{an}满足对任意 n∈N*,2(an+2-an)=3an+1,an+1>an,则数列{an}的公比 q =________.

提升训练

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a4+a9=24,则 S9= ( )

A.36

B.72

C.144

D.70

7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2-Sn=36,则 n=( )

A.5

B.6

C.7

D.8

8.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若 a2=2,2a3+a4=16,则 a5=( )

A.4

B.8

C.16

D.32

9.在各项均为正数的等比数列{an}中,am+1am-1=2am(m≥2),数列{an}的前 n 项积为 Tn,

若 T2k-1=512(k∈N*),则 k 的值为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

10.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,

若对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( )

A.22

B.21

C.20

D.19

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=11,S11=9,则 S20=________. 12.已知等比数列{an}的前 n 项积为 Tn,若 a3a4a8=8,则 T9=________.

13.已知数列{an}的首项为 1,其前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n,有 n,an,Sn 成等 差数列.

(1)求证:数列{Sn+n+2}为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1 且 3an+1+2Sn=3(n 为正整数). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若?n∈N*,32k≤Sn 恒成立,求实数 k 的最大值.

15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n42,数列{bn}满足 3bn-bn-1=n(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:当 b1≠14时,数列{bn-an}为等比数列;
(3)在(2)的条件下,设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若数列{Tn}中只有 T3 最小,求 b1 的取
值范围.

专题限时集训(九)

[第 9 讲 数列求和及数列的简单应用]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列???Snn???的前 10 项和为

()

A.70

B.75

C.100

D.120

2.已知等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10

=( )

A.12

B.10

C. 8

D.2+log3 5

3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn (n=1,2,3,…),若当首项 a1 和公差 d 变化时, a5

+a8+a11 是一个定值,则下列选项中为定值的是( )

A.S17

B.S16

C.S15

D.S14

4. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=n(n1+2),则 S10 等于(

)

A..1112

B.2114

C.117352

D.127654

5.设等比数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn.若 a1=1,a3=4,Sk=63,则 k=

________.

提升训练

6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且满足 S35=S3992,a=(1,an),b=(2014,a2014), 则 a·b 的值为( )

A.2014

B.-2014

C.1

D.0

7.已知一次函数 f(x)=kx+b 的图像经过点 P(1,2)和 Q(-2,-4),令 an=f(n)f(n+1),

n∈N*,记数列???a1n???的前 n 项和为 Sn,当 Sn=265时,n 的值为(

)

A.24

B.25

C.23

D.26

8.已知幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),令 an=f(n+1)+f(n),n∈N*,记数列???a1n???的前

n 项和为 Sn,则当 Sn=10 时,n 的值是( )

A.110

B.120

C.130

D.140

9.数列{an}满足 a1=2,a2=1,aann-·1-an-an1=aann-·aann++11(n≥2),则数列{an}的第 100 项为(

)

A.21100

B.2150

C.1100

D.510

10.设数列{an}满足 a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,则数列{an}的前 n 项和可以表示 为( )

11.设直线 nx+(n+1)y= 2(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn,则 S1+S2+… +S2014=________ .
12.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S100=________ . 13.已知数列{an}中,a1=1,a2n=n-an,a2n+1=an+1,则 a1+a2+a3+…+a100= ________. 14.已知数列{an}与{bn},若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1-an=2, 数列{bn}的前 n 项和 Sn=n2+an. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列???bnb1n+1???的前 n 项和 Tn.
15.已知函数 f(x)=4x,数列{an}中,2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 数列{bn}
中, b1=2,bn=f??an1-1??(n≥2,n∈N*).
(1)求证:数列???a1n???是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列???bann???的前 n 项和 Tn.

16.在数列{an}中,a1=1,an+1=ana+n 3(n∈N*). (1)试说明???a1n+12???是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 bn=(3n-1)·2nn·an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(-1)nλ <Tn +2nn-1对一切 n∈N*恒成立,求 λ 的取值范围.

专题限时集训(十)A
[第 10 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积]
(时间:5 分钟+30 分钟)
基础演练
1.某几何体的三视图如图 10-1 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可得这个几何体 的体积是( )

图 10-1

A.13 cm3

B.23 cm3

C.43 cm3

D.83 cm3

2.图 10-2 是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

图 10-2

A.7π

B.8π

C.9π

D.11π

3.一只蚂蚁从正方体 ABCD -A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线 爬行到达顶点 C1 的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是

()

图 10-3

图 10-4

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④

4.已知一个三棱锥的三视图如图 10-5 所示,其中俯视图是顶角为 120°的等腰三角形,

则该三棱锥的体积为________.

提升训练

图 10-5

5.如图 10-6 所示,三棱柱 ABC -A1B1C1 的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面 积为( )

图 10-6

A. 3

B.2 3

C.4

D.4 3

6.某几何体的三视图如图 10-7 所示,则它的体积是( )

图 10-7

A.8+4 3 3

B.8+43 2

C.8+23 3

D.332

7.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图 10-8 所示,则该棱锥的体积等于( )

图 10-8

A.10 cm3

B.20 cm3

C.30 cm3

D.40 cm3

8.一个简单组合体的三视图及尺寸如图 10-9 所示,则该组合体的体积为( )

图 10-9

A.42

B.48

C.56

D.44

9.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 10-10 所示,其中俯视图是中心角为 60°

的扇形, 则该几何体的侧面积为( )

图 10-10

A.12+130π

B.6+130π

C.12+2π

D.6+4π

10. 如图 10-11 所示,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,

△AED,△EBF,△FCD 分别沿 DE,EF,FD 折起,使 A,B,C 三点重合于点 A′.若四面体

A′EFD 的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为( )

图 10-11

A. 2

B.

6 2

C.

11 2

D.

5 2

11.边长是 2 2的正三角形 ABC 内接于体积为 4 3π 的球 O,则球面上的点到平面 ABC 的最大距离为________.

专题限时集训(十)B
[第 10 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积]
(时间:5 分钟+30 分钟)
基础演练
1.某空间几何体的三视图如图 10-12 所示,则该几何体的体积为( )

图 10-12

A.83

B.8

C.332

D.16

2.一个几何体的三视图如图 10-13 所示,则该几何体的体积为( )

图 10-13

A.13

B.23

C.2

D.1

3.图 10-14 为一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )

图 10-14

A. 3+π6

B. 3+43π

C.3 3+43π

D.3 3+π6

4.某几何体的三视图如图 10-15 所示,则其体积为________.

图 10-15

提升训练
5.一个几何体的三视图如图 10-16 所示,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图为 正六边形,则该几何体的侧视图的面积为( )

图 10-16

A.32

B.1

C.52

D.12

6.一个几何体的三视图如图 10-17 所示,则它的体积为( )

图 10-17

A.230

B.430

C.20

D.40

7.已知某几何体的三视图如图 10-18 所示,其中俯视图是圆,则该几何体的体积为( )

图 10-18

A.π3

B.23π

C.23

D.13

8.图 10-19 是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )

图 10-19

A.54

B.27

C.18

D.9

9.用一个边长为 4 的正三角形硬纸,沿各边中点连线垂直折起三个小三角形,做成一个

蛋托,半径为 1 的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图 10-20 所示),则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面

的距离为___________.

图 10-20 10.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一个球面上.若 AB=AC=AA1=2,∠BAC= 120°,则此球的表面积为________. 11.如图 10-21 所示,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 的内切球,则平 面 ACD1 截球 O 的截面面积为________.

图 10-21

专题限时集训(十一)

[第 11 讲 空间中的平行与垂直]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.能够得出平面 α 与平面 β 一定重合的条件是:它们的公共部分有( )

A.两个公共点

B.三个公共点

C. 无数个公共点

D.共圆的四个公共点

2.直线 a⊥平面 α,b∥α,则 a 与 b 的关系为( )

A.a⊥b,且 a 与 b 相交

B.a⊥b,且 a 与 b 不相交

C.a⊥b

D.a 与 b 不一定垂直

3.a,b,c 表示不同直线,M 表示平面,给出四个命题:

①若 a∥M,b∥M,则 a∥b 或 a,b 相交或 a,b 异面;

②若 b?M,a∥b,则 a∥M;

③a⊥c,b⊥c,则 a∥b;

④a⊥M,b⊥M,则 a∥b.

其中为真命题的是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

4.设 α,β,γ 为平面,m,n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( )

A.α ⊥β ,α∩β=n,m⊥n

B.α ∩γ =m,α⊥γ,β⊥γ

C.α ⊥β ,m⊥α

D.n⊥α ,n⊥β,m⊥α

5.已知 m,n,l 是不同的直线,α,β,γ 是不同的平面,给出下列命题:

①若 m∥n,n?α ,则 m∥α;②若 m⊥l,n⊥l,则 m∥n;

③若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β;④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β.

其中真命题有( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

提升训练

6.已知 α,β 是两个不同的平面,则 α∥β 的一个充分条件是( )

A.存在一条直线 l,l?α ,l∥β

B.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β

C.存在一条直线 l,l⊥α,l⊥β

D.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ∥β

7.设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中为真的是( )

A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β

B.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β

C.若 l⊥α,l∥β,则 α∥β

D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

8.在正方体中,二面角 A1?BD?A 的正切值是( )

A. 2

B.

2 2

C.2

D.12

9.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题:

①若 m⊥α,m?β ,则 α⊥β;

②若 m?α ,n?α ,m∥β,n∥β,则 α∥β;

③如果 m?α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交;

④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α,且 n∥β.

其中为真命题的是 ( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

10.如图 11-1 所示,在等边三角形 ABC 中,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC

的中点.现将△ACD 沿 CD 折起,使平面 ACD⊥平面 BCD,则下列结论中不正确的是( )
图 11-1 A.AB∥平面 DEF B.CD⊥平面 ABD C.EF⊥平面 ACD D.V 三棱锥 C?ABD=4V 三棱锥 C?DEF 11.如图 11-2 所示,已知三个平面 α,β,γ 互相平行,a,b 是异面直线,a 与 α,β,γ 分别交于 A,B,C 三点,b 与 α,β,γ 分别交于 D,E,F 三点,连接 AF 交平面 β 于点 G, 连接 CD 交平面 β 于点 H,则四边形 BGEH 必为________.
图 11-2 12.在三棱锥 C -ABD 中(如图 11-3 所示),△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形, O 为斜边 BD 的中点,AB=4,二面角 A-BD-C 的大小为 60°,并给出下面结论:①AC⊥BD; ②AD⊥CO;③△AOC 为正三角形;④ cos∠ADC= 43;⑤四面体 ABCD 的外接球的表面积 为 32π .其中正确的是________.
图 11-3 13.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且俯视图如图 11-4 所示.关 于该四棱锥的下列说法中: ①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形; ③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面; ④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形. 其中,所有正确说法的序号是________________.
图 11-4 14.如图 11-5 所示,在平面四边形 ABCD 中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC= 105°,AB=BD,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BDC,设点 F 为 AD 的

中点. (1)求证:DC⊥平面 ABC; (2)求直线 BF 与平面 ACD 所成角的余弦值. 图 11-5
15.已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,CD= 3,点 E 是线段 AB 的中点,G 为 CD 的中点,现沿 ED 将△AED 折起到△PED 位置,使 PE⊥EB.
(1)求证:平面 PEG⊥平面 PCD; (2)求点 A 到平面 PDC 的距离.
图 11-6

16.如图 11-7 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,AB∥DC, AB⊥BC,PA=AB=BC=12DC,点 E 在棱 PB 上,且P→E=λE→B(λ>0).
(1)当 λ=2 时,求证:PD∥平面 EAC; (2)若直线 PA 与平面 EAC 所成的角为 30°,求实数 λ 的值.
图 11-7

专题限时集训(十二)A

[第 12 讲 空间向量与立体几何]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.直线 l1 的方向向量 s1=(1,0,-2),直线 l2 的方向向量 s2=(-1,2,2),则直线 l1, l2 所成角的余弦值是( )

A.

5 3

B.-

5 3

C.23

D.-23

2.平面 α,β 的法向量分别是 n1=(1,1,1),n2=(-1,0,-1),则平面 α,β 所成锐 二面角的余弦值是( )

A.

3 3

B.-

3 3

C.

6 3

D.-

6 3

3.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的单位法向量是( )

A.±(1,1,1)

B.±??

22,

22,

2? 2?

C.±??

33,

33,

3? 3?

D.±??

33,-

33,

3? 3?

4.已知 a,b 是两个非零的向量,α,β 是两个平面,下列命题中正确的是( )

A.a∥b 的必要条件是 a,b 是共面向量

B.a,b 是共面向量,则 a∥b

C.a∥α,b∥β,则 α∥β

D.a∥α,b∥β,则 a,b 不是共面向量

5.若 a⊥b,a⊥c,l=αb+βc(α,β∈R),m∥a,则 m 与 l 一定( )

A.共线 B.相交 C.垂直 D.不共面

提升训练

6.如图 12-1 所示,三棱锥 A-BCD 的棱长全相等,E 为 AD 的中点,则直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )

图 12-1

A.

3 6

B.

3 2

33 C. 6

D.12

7.在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 所成角的余 弦值为( )

A.210

B.

10 10

C.-

10 10

D.-210

8.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,有O→P=xO→A+yO→B+zO→C(x,y,z∈R), 则 x=2,y=-3,z=2 是 P,A,B,C 四点共面的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.已知 O 点为空间直角坐标系的原点,向量O→A=(1,2,3),O→B=(2,1,2),O→P=(1,

1,2),且点 Q 在直线 OP 上运动,当Q→A·Q→B取得最小值时,O→Q=________. 10.在底面是直角梯形的四棱锥 S -ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB
=BC=1,AD=12,则平面 SCD 与平面 SBA 夹角的余弦值是_________. 11.平行四边形 ABCD 中,AB=1,AD= 2,且∠BAD=45°,以 BD 为折线,把△ABD
折起到△A1BD 的位置,使平面 A1BD⊥平面 BCD,连接 A1C. (1)求证:A1B⊥DC; (2)求二面角 B -A1C?D 的大小.
图 12-2

12.如图 12?3 所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,AB=2AD=4,BD

=2 3,PD⊥底面 ABCD.

(1)证明:平面 PBC ⊥平面 PBD;

(2)若二面角 P-BC-D 的大小为

π 4

,求

AP

与平面

PBC

所成角的正弦值.

图 12-3

13.如图 12-4①所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC, AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如 图 12-4②所示.
(1)求证:A1C⊥平面 BCDE. (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小. (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.
图 12-4

专题限时集训(十二)B
[第 12 讲 空间向量与立体几何] (时间:5 分钟+40 分钟)
基础演练
1.如图 12-5 所示,三棱锥 P-ABC 中,∠ACB=90°,PA⊥底面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 AC=BC=PA,M 是 PB 的中点,求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值.
图 12-5
2.如图 12-6 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是正方形,CD=PD,∠ADP =90°,∠CDP=120°,E,F,G 分别为 PB,BC,AP 的中点.
(1)求证:平面 EFG∥平面 PCD; (2)求二面角 D -EF-B 的平面角的大小.
图 12-6

提升训练
3.如图 12-7 所示,已知菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩BD=O,将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=3 2,得到三棱锥 B -ACD.
(1)若 M 是 BC 的中点,求证:在三棱锥 B-ACD 中,直线 OM 与平面 ABD 平行; (2)求二面角 A-BD-O 的余弦值; (3)设点 N 是线段 BD 上的一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN=4 2.
图 12-7
4.正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=12CD =2,点 M 在线段 EC 上,且不与 E,C 重合.
(1)当点 M 是 EC 的中点时,求证:BM∥平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角的余弦值为 66时,求三棱锥 M -BDE 的体积.
图 12-8

5.已知直角梯形 ABCD 中,AD⊥DC,AD⊥AB,△CDE 是边长为 2 的等边三角形,AB =5.沿 CE 将△BCE 折起,使 B 至 B′处,且 B′C⊥DE;然后再将△ADE 沿 DE 折起,使 A 至 A′处,且平面 A′DE⊥平面 CDE.△B′CE 和△A′DE 在平面 CDE 的同侧.
(1)求证:B′C⊥平面 CDE; (2)求平面 B′A′D 与平面 CDE 所构成的锐二面角的余弦值.
图 12-9

专题限时集训(十三)

[第 13 讲 直线与圆]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.圆 C 过坐标原点,在两坐标轴上截得的线段长相等,且与直线 x+y=4 相切,则圆 C

的方程不.可.能.是( )

A.(x+1)2+(y+1)2=18

B.(x-2)2+(y+2)2=8

C.(x-1)2+(y-1)2=2

D.(x+2)2+(y-2)2=8

2.直线 x+y=5 和圆 O:x2+y2-4y=0 的位置关系是( )

A.相离

B.相切

C.相交不过圆心

D.相交过圆心

3.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是( )

A.??-∞,-12??

B.(0,+∞)
C.??-12,0?? D.??-∞,-12??∪(0,+∞)
4.两条平行直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 之间的距离是__________. 5.已知圆 O:x2+y2=4,直线 l 的方程为 x+y=m,若圆 O 上恰有三个点到直线 l 的距 离为 1,则实数 m=________.
提升训练

6.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为抛物线 x2= 4y 的焦点,则直线 l 的方程为( )
A.2x+3y-3=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 7.过点 P(2,0)的直线 l 被圆 (x-2)2+(y-3)2=9 截得的线段长为 2 时,直线 l 的斜率 为( )

A.±

2 4

B.±

2 2

C.±1

D.±

3 3

8.已知点 A(-3,0),B(0,3),若点 P 在圆 x2+y2-2x=0 上运动,则△PAB 面积的最

小值为( )

A.6

B.6 2

C.6+32 2

D.6-3 2 2

9.若直线 y=x+t 被圆 x2+y2=8 截得的弦长大于等于43 2,则 t 的取值范围为(

)

A.??-8

3

2,8

3

2? ?

B.??-∞,8

3

2? ?

C.??83 2,+∞??

D.??-8

3

2,8

3

2? ?

10.若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为( )

A.12

B.1

C.

2 2

D. 2

11.以双曲线 y2-x32=1 的上焦点为圆心,与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为

________________.

12.已知直线 x+y-1=0 与圆 x2+y2=a 交于 A,B 两点,O 是原点,C 是圆上一点.若

O→A+O→B=O→C,则 a 的值为______________.

13.已知点 A(-3,0)和圆 O:x2+y2=9,AB 是圆 O 的直径,M 和 N 是 AB 的三等分点,

P(异于 A,B)是圆 O 上的动点,PD⊥AB 于点 D,P→E=λE→D(λ>0),直线 PA 与 BE 交于点 C,

则当 λ=________时,|CM|+|CN|为定值. 14.已知椭圆 C:x22+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,下顶点为 A,P 是椭圆上任意

一点,圆 M 是以 PF2 为直径的圆.

(1)当圆 M 的面积为π8 时,求 PA 所在直线的方程;

(2)当圆 M 与直线 AF1 相切时,求圆 M 的方程;

(3)求证:圆 M 总与某个定圆相切.

图 13-1

15.已知点 E(-2,0),F(2,0),曲线 C 上的动点 M 满足E→M·F→M=-3.定点 A(2,1), 由曲线 C 外一点 P(a,b)向曲线 C 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|.
(1)求曲线 C 的方程; (2)若以点 P 为圆心的圆和曲线 C 有公共点,求半径取最小值时圆 P 的标准方程.

16.在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(2,0),点 P 为平面内一动点,且满足 tan∠PAB·tan∠PBA=34.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 位于 y 轴左侧,过点 P 作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线分别交 y 轴于 M,N 两点,求|MN|的取值范围.

专题限时集训(十四)

[第 14 讲 椭圆、双曲线、抛物线]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.已知直线 2x-y+4=0 过椭圆 C:xm2+y22=1(m>0)的一个焦点,则椭圆 C 的长轴长为

()

A.2 6

B.2

C.3 2

D.4

2.直线 y=2x 为双曲线 C:ax22-by22=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率是

()

A. 5

B.

5 2

C. 3

D.

3 2

3.已知双曲线 ax22-y2=1(a>0)的实轴长为 2,则该双曲线的离心率为(

)

A.

2 2

B.

5 2

C. 5

D. 2

4.已知双曲线 x92-ym2=1(m>0)的一个焦点在圆 x2+y2-4x-5=0 上,则该双曲线的渐

近线方程为( )

A.y=±34x

B.y=±43x

C.y=±2

3

2 x

D.y=±3

4

2 x

5.长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴距

离的最小值是________.

提升训练

6.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使得 PF1⊥PF2,则椭圆的离心 率的取值范围是( )

A.?? 55,1??

B.?? 22,1??

C.??0,

5? 5?

D.??0,

2? 2?

7.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,则抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线

l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )

A.3 5 5

B.2

C.151

D.3

8.已知 F 是双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点,E 是双曲线的右顶点,过点 F 且垂

直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e

的取值范围为( )

A.(1,2)

B.(1, 2) C.(1,3)

D.(1, 3) 9.设 F1,F2 分别为双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线的右支上存

在点 P 满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心 率为( )

A.83

B.73

C.53

D.43

10.如图 14-1 所示,已知抛物线的方程为 x2=2py(p>0),过点 A(0,-1)作直线 l 与抛物

线相交于 P,Q 两点,点 B 的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设 QB,BP 与 x 轴分别相交于点

M,N.如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 的大小为( )

图 14-1

A.π2

B.π4

C.23π

D.π3

11.已知 F 为椭圆 C:x22+y2=1 的左焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,点 Q 的坐标为(4,3),

则|PQ|+|PF|取最大值时点 P 的坐标为______________.
12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1 和 C2 的方程分别为x42+y2=1 和 1y62 +x42=1,射

线 OA 与椭圆 C1 和 C2 分别交于 A,B 两点,且 O→B=2O→A,则射线 OA 的斜率为________. 13.设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心

率为________.

14.已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的焦距为 2

3,离心率为

3 2.

(1)求椭圆方程;

(2)如图 14-2 所示,设过椭圆顶点 B,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E, 且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求 k2 的值.

图 14-2

15.已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的一个焦点为

F(2,0),且离心率为

6 3.

(1)求椭圆的方程;

(2)斜率为 k 的直线 l 过点 F 且与椭圆交于 A,B 两点,P 为直线 x=3 上一点,若△ABP

为等边三角形,求直线 l 的方程.

16.已知椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率为 23,且过点?? 3,21??.
(1)求椭圆 E 的方程. (2)设直线 l:y=kx+t 与圆 C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于点 A,且直线 l 与椭圆 E 只有 一个公共点 B. ①求证:k2=R4-2-R12.
②当 R 为何值时,|AB|取得最大值?求出最大值.

专题限时集训(十五)A

[第 15 讲 圆锥曲线中的热点问题]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.到坐标原点的距离是到 x 轴距离的 2 倍的点的轨迹方程是( )

A.y=± 3x

B.y=

3 3x

C.x2-3y2=1

D.x2-3y2=0

2.以抛物线 y2=8x 上任意一点为圆心作与直线 x+2=0 相切的圆,这些圆必过一定点,

则这一定点的坐标是( )

A.(0,2)

B.(2,0)

C.(4,0)

D.(0,4)

3.若双曲线 x2-by22=1(b>0)的一条渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 至多有一个交点,则该双

曲线离心率的取值范围是( )

A.(1,2]

B.[2,+∞)

C.(1, 3]

D.[ 3,+∞) 4.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,M 为抛物线 C 上一点, 点 N 的坐标为(2,2),则 |MF|+|MN|的取值范围是________. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B 在抛物线 y2=4x 上,且满足O→A·O→B=-4,F 是抛物线的焦点,则 S△OFA·S△OFB=________.
提升训练

6.已知圆 A1:(x+2)2+y2=12 和点 A2(2,0),则过点 A2 且与圆 A1 相切的动圆圆心 P 的
轨迹方程为( ) A.x32-y2=1 B.x32+y2=1

C.x2-y2=2 D.1x22 +y82=1

7.已知点 Q 在椭圆 C:1x62 +1y02 =1 上,点 P 满足O→P=12(O→F1+O→Q)(其中 O 为坐标原点,

F1 为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为( )

A.圆

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆

8.已知 P 是椭圆 1x62 +y82=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐

| | 标原点.若

M

是∠F1PF2 的角平分线上一点,且F→1M·M→P=0,则

→ OM

的取值范围是(

)

A.(0,3)

B.(0,2 2)

C.(2 2,3)

D.(0,4)

9.已知椭圆 x92+ym2=1(0<m<3)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A,

B 两点.若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则 m 的值为( )

A.3

B.2

C.1

D. 3

10.F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点,O 为坐标原点.若 F 是△ABC 的重心,△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3,则 S21+S22+S32的值为________.
11.双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,左顶点为 A,以 F 为圆心且过点 A 的圆

交双曲线的一条渐近线于 P,Q 两点.若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的

取值范围为________. 12.已知动点 P(x,y)在椭圆 C:2x52 +1y62 =1 上,F 为椭圆 C 的右焦点.若点 M 满足|MF|

=1,且 MP⊥MF,则|PM|的最小值为________. 13.已知 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点,P 是抛物线准线上一动点,点 A 在

抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是__________.

14.已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且 C1 恰好与直线 l1:x-2y+3 5=0 相切.设 A
为圆上一动点, AM⊥x 轴于点 M,且动点 N 满足 O→N= 33O→A+??1- 33??O→M,设动点 N 的
轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B,D 两点,求△OBD 面积的最大值.
15.已知点 A 为圆(x+1)2+y2=8 的圆心,P 是圆上的动点,点 M 在圆的半径 AP 上,且 有点 B(1,0)和 BP 上的点 N 满足 M→N·B→P=0,B→P=2B→N.
(1)当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程; (2)若直线 y=kx+ k2+1(k>0)与(1)中所求的点 M 的轨迹交于不同的两点 F,H, O 为坐 标原点,且23≤O→F·O→H≤34,求 k 的取值范围.

图 15-1
16.设椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率为 22,且过点??-1,- 26??.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A,直线 l:x-my-t=0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M,N(M, N 均与 A 不重合),且以 MN 为直径的圆过点 A,试判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出 该定点的坐标.

专题限时集训(十五)B
[第 15 讲 圆锥曲线中的热点问题] (时间:5 分钟+40 分钟)
基础演练
1.如图 15-2 所示,已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相交于 A,B 两点.
图 15-2 (1)若线段 AB 的中点在直线 y=2 上,求直线 l 的方程;
(2)若|AB|=20,求直线 l 的方程.
2.设点 A(- 3,0),B( 3,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为-23. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F(1,0)且绕 F 旋转,l 与圆 O:x2+y2=5 相交于 P,Q 两点,l 与轨迹 C 相交于 R,S 两点,若|PQ|∈[4, 19],求△F′RS 的面积的最大值和最小值(F′为轨迹 C 的 左焦点).
3.已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率为 23,且经过点 A(0,-1). (1)求椭圆 C 的方程.
(2)如果过点??0,35??的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点(M,N 点与 A 点不重合).
①求A→M·A→N的值; ②当△AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.

提升训练
4.如图 15-3 所示,F1,F2 分别是离心率为 22的椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦 点,直线 l:x=-12将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1∶3.设 A,B 是椭圆 C 上的两个动 点,线段 AB 的中垂线与椭圆 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求F→2P·F→2Q的取值范围.

图 15-3

5.如图 15-4 所示,椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)经过点 P??1,32??,离心率 e=12,直线 l 的
方程为 x=4.
15?4 (1)求椭圆 C 的方程. (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若 不存在,说明理由.

专题限时集训(十六)

[第 16 讲 函数与方程思想、数形结合思想]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+S3=-4,a4=3,则公差为( )

A.-1

B.1

C.2

D.3

2.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 λ 为实数,(b+λa)⊥c,则 λ 的值为( )

A.-131

B.-131

C.12

D.35

3.设椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,且 PF2⊥

F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( )

A.

3 6

B.13

C.12

D.

3 3

4.设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0), 若 f(m)<0, 则 f(m-1)的值为( )

A.正数

B.负数

C.非负数

D.正数、负数和零都有可能

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin

B,则 A=____________ .

提升训练

6.函数 f(x)的定义域为(-1,1),且对定义域内的一切实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),

当 x>0 时,有 f(x)<0.若 f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数 a 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(0,2)

C.(-∞,0)∪(1,+∞)

D.(-2,1)

7.已知函数 f(x)=|x+a|(a∈R)在区间[-1,1]上的最大值为 M(a),则函数 g(x)=M(x)-

|x2-1|的零点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知点 A(2,1),B(1,3),直线 ax-by+1=0(a,b∈R+)与线段 AB 相交,则(a-1)2

+b2 的最小值为( )

A.

10 5

B.25

C.2 5 5

D.45

9.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 x>0 时,f(x)=??12??x,则函数 F(x)=f(x)-sin x 在区

间[-π ,π ]上的零点个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

10.对于函数 f(x),若存在区间 A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数 f(x)为

“可等域函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间”.

给出下列 4 个函数:

①f(x)=sin π2x;②f(x)=2x2-1;

③f(x)=|1-2x|;④f(x)=log2(2x-2). 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )

A.①②③

B.②③④

C.①③

D.②③

11.若函数 f(x)=4x与 g(x)=x3+t 图像的交点在直线 y=x 的两侧,则实数 t 的取值范围是

()

A.(-6,0]

B.(-6,6)

C.(-∞,-4)∪(4,+∞)

D.(-4,4)

??x-2y+1≥0,

12. 已知实数 x,y 满足?x<2,

z=|2x-2y-1|,则 z 的取值范围是__________.

??x+y-1≥0,

13.已知整数 x,y,z 满足 x>y>z,且 2x+3+2y+3+2z+3=37,则整数组(x,y,z)为________.

14.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,M 是 BC 的中点,且 AM

=2 3, asin A-bsin B=(a-c)sin C,则 BC+AB 的最大值是________.

15.已知等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=ana1n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
16.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F??0,p2??,准线为 l,P(x0,y0)(y0>p)为抛物线
C 上的一点,且△FOP 的外接圆圆心到准线 l 的距离为32.

图 16-1 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=1,过点 P 作圆 F 的两条切线分别交 x 轴于点 M,N, 求△PMN 的面积取得最小值时 y0 的值.

专题限时集训(十七)

[第 17 讲 分类与整合思想、化归与转化思想]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( )

A.0 或 3

B.0 或 3

C.1 或 3

D.1 或 3

2.sin

47°-sin 17°cos cos 17°

30°=(

)

A.-

3 2

B.-12

C.12

D.

3 2

3.已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+ym2=1 的离心率为(

)

A.

23或

5 2

B.

3 2

C. 5

D. 23或 5

4.已知△ABC 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 sin2A=sin2B+sin2C

+sin Bsin C,则 A=( )

A.π6

B.π3

C.23π

D.5π6

5.已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围 是______________.

提升训练

6.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则Sn+an64的最小值为(

)

A.7

B.8

C.125

D.127

7.已知 M=???(x,y)???yx- -32=3???,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且 M∩N=?,则 a=(

)

A.-6 或-2

B.-6

C.2 或-6

D.-2

8.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件:①对任意的 x∈R 都有 f(x+2)=

-f(x);②对任意的 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③y=f(x+2)的图像关于 y 轴对称.则下 列结论中正确的是( )

A.f(4.5)<f(6.5)<f(7)

B.f(4.5)<f(7)<f(6.5)

C.f(7)<f(4.5)<f(6.5)

D.f(7)<f(6.5)<f(4.5)

9.已知向量 α,β,γ 满足|α |=1,|α -β|=|β |,(α-γ)·(β-γ)=0.若对给定的 β,|γ |的

最大值和最小值分别为 m,n,则 m-n 的最小值是( )

A.12

B.1

C.2

D. 2

10.已知函数 f(x)=asinπ5 x+btanπ5 x(a,b 为常数),若 f(1)=1,则不等式 f(31)>log2x 的

解集为__________.

11 . 若 当

x∈

[1,2]



y∈

[2,3]





ax2+2y2 xy



1>0

恒成立,则

a

的取值范围是

_____________.

12.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意 x∈[a,a+2],不

等式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

13.在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S60=
________.

14.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=2x.若对任意的 x∈[a,a+2],

不等式 f(x+a)≥f2(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

15.如图 17-1 所示,在三棱柱 ABC -A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC⊥BC,E 在线段 B1C1 上,且 B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.
(1)求证:BC⊥AC1. (2)在 AC 上是否存在一点 F,满足 EF∥平面 A1ABB1?若存在,请指出点 F 的位置,并 给出证明;若不存在,说明理由.
图 17-1
16.已知椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率是 22,P1,P2 是椭圆 E 的长轴的两个端点
(P2 位于 P1 右侧),F 是椭圆 E 的右焦点,Q 是 x 轴上位于点 P2 右侧的一点,且满足|P11Q|+|P12Q|

=|F2Q|=2.
(1)求椭圆 E 的方程以及点 Q 的坐标. (2)过点 Q 的动直线 l 交椭圆 E 于 A,B 两点,连接 AF 并延长交椭圆 E 于点 C,连接 BF 并延长交椭圆 E 于点 D. ①求证:B,C 两点关于 x 轴对称; ②当四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程.

专题限时集训(十八)A

[第 18 讲 导数及其应用]

(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练

1.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)等于( )

A.0

B.-4

C.-2

D.2

2.已知函数 f(x)=ax-x3 对区间(0,1)上任意的 x1,x2,且 x1<x2,都有 f(x2)-f(x1)>x2-

x1 成立,则实数 a 的取值范围为( )

A.(0,1)

B.[4,+∞)

C.(0,4]

D.(1,4]

3.曲线 f(x)=x3+x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为( ) A.(1,0)

B.(2,8)

C.(2,8)或(-1,-4)

D.(1,0)或(-1,-4)

4.函数 f(x)=12x2-ln x 的最小值为(

)

A.12

B.1

C.-2

D.3

5.曲线 y=ln x-1 在 x=1 处的切线方程为____________.

提升训练

6.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0).若 1 和-1 是函数 f(x)的两个零点,x1 和 x2 是 f(x)

的两个极值点,则 x1x2 等于( )

A.-1

B.1

C.-13

D.13

7.已知函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线斜率为 3,数列???f(1n)???的前 n

项和为 Sn,则 S2013 的值为( A.22001110

) B.22001112

C.22001123

D.22001134

8.函数 f(x)=xcos x 的导函数 f′(x)在区间[-π ,π ]上的图像大致是( )

A

B

C

D

图 18-1

9.已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex,若 f(x)在区间[-1,1]上是减函数,则 a 的取值范

围是( )

A.0<a<34

B.12<a<34

C.a≥34

D.0<a<12

10.方程 f(x)=f′(x)的实数根 x0 叫作函数 f(x)的“新驻点”.如果函数 g(x)=x,h(x)=ln (x

+1),φ(x)=cos x??x∈??π2 ,π ????的“新驻点”分别为 α,β,γ,那么 α,β,γ 的大小关系是(

)

A.α <β <γ

B.α <γ <β

C.γ <α <β

D.β <α <γ

11.已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时取得极值 0,则 m+n=________.

12.函数 f(x)=2ln x+x2 在点 x=1 处的切线方程是________.

13.已知函数 f(x)=x2+2x,g(x)=xex.

(1)求 f(x)-g(x)的极值;

(2)当 x∈(-2,0)时,f(x)+1≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

14.已知函数 f(x)=xln x. (1)求 f(x)的单调区间和极值;
(2)设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),且 x1≠x2,证明:f(x2)x2--xf(1 x1)<f′??x1+2 x2??.

15.设函数 f(x)=ex-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0 恒成立,求 k 的最大值.

专题限时集训(十八)B
[第 18 讲 导数及其应用] (时间:5 分钟+40 分钟)
基础演练
1.已知 a 为给定的正实数,m 为实数,函数 f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1. (1)若 f (x)在区间(0,3)上无极值点,求 m 的值; (2)若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在区间[0,3]上的最值,求 m 的取值范围.
2.设函数 f(x)=ax2+ln x. (1)求 f(x)的单调区间; (2)设函数 g(x)=(2a+1)x,若当 x∈(1,+∞)时,f(x)<g(x)恒成立,求 a 的取值范围.

提升训练
3.已知函数 f(x)=xln x+ax(a∈R). (1)当 a=0 时,求 f(x)的最小值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ln x 在区间[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)过点 P(1,-3)恰好能作函数 y=f(x)图像的两条切线,并且两切线的倾斜角互补,求 实数 a 的取值范围.
4.已知函数 f(x)=(2x+2)e-x(e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的单调区间. (2)设函数 φ(x)=12xf(x)+12tf′(x)+e-x,是否存在实数 x1,x2∈[0,1],使得 2φ(x1)<φ(x2)? 若存在,求出实数 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.
5.已知函数 f(x)=x2+aln x(a≠0,a∈R). (1)若对任意 x∈[1,+∞),使得 f(x)≥(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)证明:对 n∈N*,不等式ln(n1+1)+ln(n1+2)+…+ln(n+12013)>n(n2+0123013) 成立.

专题限时集训(十九)A

[第 19 讲 复数、计数原理、二项式定理与概率]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

1.复数1+5i2i的虚部是(

)

A.1

B.-1

C.i

D.-i

2.二项式??2x+ 1x??6展开式中的常数项是(

)

A.15

B.60

C.120

D.240

3.我国第一艘航母“辽宁号”在某次航载机起降飞行训练中,有 5 架航载机准备着航.如

果甲、乙 2 架航载机必须相邻着航,而丙、丁 2 架航载机不能相邻着舰,那么不同的着航方

法有( )

A.12 种

B.18 种

C.24 种

D.48 种

4.有两张卡片,一张的正反面分别写着 0 和 1,另一张正反面分别写着 4 和 5,将两张

卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数能被 5 整除的概率是( )

A.18

B.38

C.16

D.12

5.若??x2-2x??n的展开式中的第 5 项是常数项,则中间项的系数为________.

提升训练

6.若复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则在复平面内 z 对应的点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

7.从 1,2,3,4,5 中不放地依次取两个数,记事件 A 为“第一次取到的是奇数”,

事件 B 为“第二次取到的是奇数”,则 P(B|A)=( )

A.15

B.130

C.25

D.12

8.6 个人站成一排,其中甲、乙必须站在两端,且丙、丁相邻,则不同站法的种数为( )

A.12

B.18

C.24

D.36

9.已知??3x- ?

1 ?n

3

? x?

的展开式中各项数系数之和为

A,所有偶数项的二项式系数为

B,若

A

+B=96,则展开式中含有 x2 的项的系数为( )

A.-540

B.180

C.540

D.180

10.从 0 到 9 这 10 数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数学的三位数,这个数能被 3

整除的概率为( )

A.287

B.1297

C.1594

D.3554

11.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(1+aib)+(i 1-i)=2-i,则 a+bi=________.

12.设(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则 a1+a2+…+a11= ________.

13.如果复数21- +b2ii(b∈R,i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,那么 b=________.

14.航天号拟在太空授课,准备进行标号为 0,1,2,3,4,5 的六项实验,其中 0 号实

验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则符合条件的实验顺序的

编排方法共有________种(用数字作答).

15.某校从 6 名教师中选派 3 名教师同时去 3 个地区支援,每个地区需 1 人,其中甲和

乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案有________种.

专题限时集训(十九)B

[第 19 讲 复数、计数原理、二项式定理与概率]

(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练

1.复数1-i i的共轭复数为(

)

A.-12+12i

B.12+12i

C.12-12i

D.-12-12i

2.甲和乙等五名志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至

少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )

A.110

B.190

C.14

D.64285

3.已知 i 为虚数单位,则复数 z=1-3+3ii的虚部为(

)

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.设常数 a∈R,若??x2+ax??5 的二项展开式中 x7 项的系数为-10,则 a=________.

提升训练

5.若复数a1+ -32ii(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为(

)

A.-2

B.4

C.-6

D.6

6.已知(a-i)2=-2i,其中 i 是虚数单位,则实数 a=( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

7.投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)2 为纯虚数的概率为( )

A.13

B.14

C.16

D.112

8.从 6 人中选 4 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览,要求每个城市有一

人游览,每人只游览一个城市,且在这 6 人中甲、乙不去哈尔滨游览,则不同的选择方案共

有( )

A.300 种

B.240 种

C.144 种

D.96 种

9









































1 2











{an}



使



an =

??1,第n次抛掷时出现正面,
?



??-1,第n次抛掷时出现反面.

Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则

S4=2

的概率为(

)

A.116

B.18

C.14

D.12

10.现需编制一个八位的序号,规定如下:①序号由 4 个数字和 2 个 x,1 个 y,1 个 z

组成;②2 个 x 不能连续出现,且 y 在 z 的前面;③数字在 0,1,2,…,9 之间任选,可重

复,且 4 个数字之积为 8.则符合条件的不同序号种数为( )

A.1 2600

B.6300

C.5040

D.2520

11.在(1-2x)·(1-3x)4 的展开式中,x2 的系数等于________.

12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,且分给

同一人的 2 张参观券要连号,那么不同的分法种数是________.

13.已知 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},u=logab,则 u 的不同取值个数为
________.

14.已知(1+x+x2)??x+x13??n(n∈N*)的展开式中没有常数项,且 2≤n≤8,则 n=________.

15.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3),从

乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中,放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率

记为 Pi(i=1,2),则 P1________P2.(填>或<)

专题限时集训(一)A
【基础演练】
1.C [解析] 因为?UA={2,3,4},所以 B∩(?UA)={2,4}∩{2,3,4}={2,4}. 2.C [解析] 全称命题的否定是特称命题,否定结论并改写量词.由题意知命题“对任 意 x∈R,都有 x3>x2”的否定是“存在 x0∈R,使得 x03≤x20”. 3.B [解析] 易知 p:x=3 或 x=4,q:x=3,可知 q?p,故 p 是 q 的必要不充分条件. 4.C [解析] ∵N={x|y=log2(x-1)}={x|x>1},∴M∩N={x|1<x<2}. 5.C [解析] 在三角形中,sin C>sin B 必有 C>B,但当 C>B 时,不一定有 sin C>sin B, 所以命题 p 为假;若 ac2>bc2,则 a>b,但当 a>b 时,不一定有 ac2>bc2,故命题 q 也为假, 所以“p∨q”为假.
【提升训练】
6.A [解析] 阴影部分表示的集合为 N∩(?IM),而?IM={1,2,6},N={1,2,3,4}, 所以阴影部分对应的集合 N∩(?IM)={1,2}.
7.C [解析] 集合 A={-1,1},所以满足 A∪B={-1,0,1}的集合 B 有{0},{0, 1},{0,-1},{0,-1,1},共 4 个.
8.D [解析] 否定的结论为条件,否定的条件为结论构成的命题为逆否命题,即“若 b2≠ac,则 a,b,c 不成等比数列”.
9.A [解析] ∵M={0,3},N={…,-1,1,3,…},∴M∩N={3}. 10.C [解析] 因为 A={y|y=sin x,x∈R}=[-1,1],B={x|y=lg x}=(0,+∞),所
以( A)∩B=(1,+∞). 11.A [解析] 当 a+b=1 时,ax2+by2-(ax+by)2=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2
+aby2-2abxy≥0,所以“a+b=1”是“不等式 ax2+by2≥(ax+by)2 对任意的 x,y∈R 恒成 立”的充分条件;当 x=y=0 时,原不等式恒成立,但 a+b 不一定为 1.因此“a+b=1”是 “不等式 ax2+by2≥(ax+by)2 对任意 x,y∈R 恒成立”的充分不必要条件.
12.D [解析] 由 ex>0 知 A 中命题为假;取 x=-2,由 2-2<(-2)2 知 B 中命题为假; 取 a=-2,b=-3,而 ab=6>1,故 C 中命题为假;令 t=sin2x,则 0<t≤1,因为 f(t)=t+2t (0<t≤1)在 t∈(0,1]上单调递减,所以 f(t)≥f(1)=3,故 D 中命题为真.
13.(1)2 (2)a≤0 或 a≥4 [解析] (1)因为 B={x|x≥3 或 x≤1},由题意得,a-1=1 且 a+1=3,所以 a=2.
(2)由题意得 a+1≤1 或 a-1≥3,所以 a 的取值范围为 a≤0 或 a≥4. 14.(-∞,-2)∪(2,+∞) [解析] 由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)·(x+a)=0, ∴x=a2或
x=-a,∴当命题 p 为真命题时,??a2??≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2.当命题 q 为真命题时,Δ=4a2
-8a=0,∴a=0 或 a=2.故命题“p∨q”为假命题时,a>2 或 a<-2,即 a 的取值范围为(- ∞,-2)∪(2,+∞).

专题限时集训(一)B

【基础演练】

1.D [解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0 或 x≥1},所以?U(A∪B)={x|0<x<1}. 2.B [解析] 因为 p 是 q 的必要非充分条件,所以 q 的解集是 p 的子集.因为 q=

{x|0<x<2},所以 a≤0.
3.B [解析] B={(1,1),(1,2),(2,1)},共三个元素. 4.(-1,0)∪(1,+∞) [解析] 由题得 A={x|x>1 或 x<0},B={x|x>-1},所以 A∩B =(-1,0)∪(1,+∞).

【提升训练】

5.B [解析] 3a>3b?a>b,但 a,b 不一定是正数,故不一定能得到 log3a>log3b;而 log3a>log3b?a>b>0?3a>3b.

6.B

[解析]

由于 A={x||x-2|≤1}={x|1≤x≤3},B=???
??

x???xx- -31

≥??0={x|x≥3 或 x<1},
?

显然 A∪B=R.

7.C [解析] 集合 A 表示直线 l:x+y-1=0 上的点的集合,集合 B 表示抛物线 C:y

=x2+1 上的点的集合.由?????xy+ =yx- 2+11=,0,消去 y 得 x2+x=0,由于 Δ>0,所以直线 l 与抛物

线 C 有两个交点,即 A∩B 有两个元素.

8.B [解析] 因为 A={x|y=2x}=R,B={y|y=2x}={y|y>0},所以 A∩B=(0,+∞).

9.A [解析] 当 a=1 时,f(x)=|x-1|,其单调递增区间是[1,+∞),所以 f(x)在区间[2,

+∞)上为增函数;但当 f(x)在区间[2,+∞)上为增函数时,只需 a≤2 即可,不一定有 a=1,

故“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.

10.C [解析] 函数 y=sin 2x 的最小正周期为22π =π ,故 p 为假命题;函数 y=cos x 的图像关于直线 x=kπ (k∈Z)对称,故命题 q 为假,因此 p∧q 为假.
11.???x-12<x≤1??? [解析] 根据交集的定义,易得答案为???x-12<x≤1???. 12.[0,+∞) [解析] 由 A?B,可知在数轴上,a 在 0 的右边,故 a 的取值范围是[0, +∞). 13.③ [解析] 命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题是“若方程 x2 +x-m=0 有实根,则 m>0”,而当该方程有实根时,Δ =1+4m≥0,得 m≥-14,但不一 定有 m>0,故原命题的逆命题是假命题.易知①②④正确. 14.(-∞,0]∪(2,+∞) [解析] 由题可知,集合 A={y|y>0},B={y|y≤2},所以 A -B={y|y>2},B-A={y|y≤0},所以 A⊕B=(-∞,0]∪(2,+∞).

专题限时集训(二)A

【基础演练】

1.D [解析] ①y=x+1 是非奇非偶函数;②y=-x2 是偶函数;③y=1x在其单调区间上 是减函数;易验证 y=x|x|既是奇函数也是增函数.
2.D [解析] a=21.2>21=2,b=0.50.8<0.50=1,1=log22<c=log23<log24=2,所以 a >c>b.
3.B [解析] 因为 y=f(2x)+x 是偶函数,所以 f(-2x)+(-x)=f(2x)+x,所以 f(-2x) =f(2x)+2x,令 x=1,则 f(-2)=f(2)+2=3.
4.(-1,1) [解析] 由题意得?????x-+x12->03,x+4>0,解得-1<x<1,所以所求函数的定义域 为(-1,1).
5.43 [解析] 由题意知 f??-43??=f??-43+1??=f??-13??=f??-13+1??=f??23??=2×23=43.
【提升训练】

6.A [解析] 由 f(x+2)=-f(1 x),得 f(x+4)=-f(x1+2)=f(x),所以 f(2014)=f(2).因

为 f(2+2)=-f(1 2),所以 f(2)=-f(14)=-2-1

=-2- 3

3.

7.B [解析] 令 F(x)=f(x)·g(x).∵函数 f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵函数

g(x)(x∈R)为偶函数,∴g(-x)=g(x),∴F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),故函数 f(x)·g(x)为奇函数.对于函数 y=f(x)+g(x),取 f(x)=x,g(x)=x2,则 f(x)+g(x)=x+x2,此时

函数 f(x)+g(x)为非奇非偶函数.

8.B [解析] 函数 f(x)=a|x|,由 0<|f(x)|≤1 得,0<a<1.当 x>0 时,y=loga??1x??=-logax,

其为单调增函数.又 y=loga??1x??为偶函数,其图像关于 y 轴对称.

9.B [解析] 根据对数函数的性质,当 y=|log2x|的值域为[0,2]时,其定义域的最大区
间为??14,4??,故区间[a,b]的长度的最大值为 4-14=145.

10.A [解析] 因为当 x∈(1,+∞)时,f(x)=logaxx- +11单调递减,由复合函数单调性知,

0<a<1.又函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),关于原点对称且 f(-x)=

loga???11+ -xx???=-f(x),故函数 f(x)为奇函数.又函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,由奇函

数图像特征得 f(x)在区间(-∞,-1)也单调递减,当 x∈(0,1)时,f(x)=loga1x+-1x.设 u=1x+-1x,

x∈(0,1).因为 u=1x+-1x单调递减,f(u)=logau 单调递减,故 f(x)单调递增,由于 f(x)是奇函

数,故 f(x)在(-1,1)上单调递增.综上可知选 A.

11.C [解析] 易知 f(x)是奇函数且 f(x)不具有周期性,故排除 A 选项;又因为在其定义

域上函数值正负相间反复变化,所以排除 D 选项;在区间(0,π )上函数值大于零,故排除 B

选项,因此只有选项 C 中的图像符合题意. 12.A [解析] 方法一:若 f(x)=2x,则 g(x)=f(x+a)-f(x)=2x+a-2x=2x(2a-1).因为 a
为正实数,所以 2a-1>0,所以函数 g(x)=f(x+a)-f(x)都是其定义域上的增函数,因此选项

A 正确.

方法二:根据导数的定义和几何意义可知,该问题等价于函数 f(x)的导数在其定义域内

是增函数,显然只有选项 A 中的函数的导数为定义域内的增函数. 13.y 轴 [解析] 因为 f(-x)=2-x+2x=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,其图像关于 y 轴

对称.

14.(-1,1) [解析] 若 m≥0,则 0≤m<1;若 m<0,则-m>0,故 f(m)=f(-m)<f(1),
得-m<1,即-1<m<0.综上可得-1<m<1. 15.[2,+∞) [解析] 因为函数 f(x)=(x-1)2 为[0,+∞)上的 m 高调函数,所以(x+m
-1)2≥(x-1)2 在区间[0,+∞)上恒成立,即 2mx+m2-2m≥0 在区间[0,+∞)上恒成立,
所以只需?????2mm2->02,m≥0,解得 m∈[2,+∞),所以实数 m 的取值范围是[2,+∞).
16.??-∞,-87?? [解析] 设 x>0,则-x<0,所以 f(-x)=-9x-ax2+7,即 x>0 时,f(x)
=9x+ax2-7.当 x=0 时,f(x)=0,要使 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则当 x=0 时,a+1≤0, a≤-1 成立;当 x>0 时,f(x)=9x+ax2-7≥2 9a2-7,即 a+1≤-6a-7,a≤-87成立.综
上可知,a∈??-∞,-87??.

专题限时集训(二)B

【基础演练】

1.解:若命题 p 为真,则 Δ=a2-4a≥0,解得 a≤0 或 a≥4;

若命题 q 为真,则a2≤1,解得 a≤2.



p



q

假,则???a≤0或a≥4,解得 ??a>2,

a≥4;



p



q

真,则???0<a<4,解得 ??a≤2,

0<a≤2.

综上可知,实数 a 的取值范围为(0,2]∪[4,+∞).

2.解:(1)要使函数 f(x)有意义,则?????22+ -xx>>00, ,解得-2<x<2.

∴函数 y=f(x)的定义域为{x|-2<x<2}.

(2)由(1)可知,函数 y=f(x)的定义域为{x|-2<x<2},关于原点对称,对任意 x∈(-2,2),

-x∈(-2,2),

∴f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=lg(2+x)+lg(2-x)=f(x),

∴函数 y=f(x)为偶函数.

(3)∵函数 f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),

∴由复合函数单调性判断法则知,当 0≤x<2 时,函数 y=f(x)为减函数.

又函数 y=f(x)为偶函数,∴不等式 f(m-2)<f(m)等价于|m|<|m-2|<2,

解得 0<m<1.

3.解:(1)∵f(1)=f(4),∴1+b=4+b4,解得 b=4,

∴f(x)=x+4x(x≠0),作出该函数的图像(草图)如图所示,

∵函数 F(x)=f(x)-k 有且仅有一个零点 x0,且 x0>0, ∴由图像可知,函数 y=f(x)的图像与直线 y=4 有且只有一个交点,且交点的横坐标为 2, ∴k=4. (2)若 b<0,则函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,满足题意; 若 b=0,则 f(x)=x(x≠0),也满足题意;
若 b>0,则函数 y=f(x)在区间(0, b)上单调递减,在区间( b,+∞)上单调递增,若要
满足函数 y=f(x)在区间(1,4)上为单调函数,则 b≤1 或 b≥4,得 0<b≤1 或 b≥16. 综上所述,b 的取值范围是 b≤1 或 b≥16.
【提升训练】
4.解:(1)由题意,对任意 x∈R,f(-x)=-f(x),即 a-x-(k-1)·ax=-ax+(k-1)a-x, 即(k-2)(ax+a-x)=0.因为 x 为任意实数,所以 k=2.

(2)由(1)知 f(x)=ax-a-x,因为 f(1)=32,所以 a-1a=32.

又由 a>0,得 a=2. 故 f(x)=2x-2-x,g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x),

令 t=2x-2-x,则 22x+2-2x=t2+2,由 x∈[1,+∞),得 t∈??32,+∞??,

所以 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈??32,+∞??.

当 m<32时,h(t)在区间??32,+∞??上是增函数,则 h??32??=-2,即94-3m+2=-2,解得 m

=2152(舍去);

当 m≥32时,则 f(m)=-2,即 2-m2=-2,解得 m=2 或 m=-2(舍去).

综上可知,m 的值是 2.

5.解:(1)方法一:由已知可知任取 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

即-(-x)2+2|-x-a|=-x2+2|x-a|恒成立,

∴|x-a|=|x+a|恒成立,两边平方得 x2-2ax+a2=x2+2ax+a2,∴a=0.

方法二(特殊值法):因为函数 y=f(x)为偶函数,所以 f(-1)=f(1),即|1-a|=|1+a|,解

得 a=0.

??? (2)若 a=12,则 f(x)=-x2+2??x-12??=

-x2-2x+1,x<21, -x2+2x-1,x≥12,

作出函数 f(x)的图像(如图所示).

由函数的图像可知,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],??12,1??.
(3)不等式 f(x-1)≥2f(x)化为-(x-1)2+2|x-1-a|≥-2x2+4|x-a|,即 4|x-a|-2|x-(1 +a)|≤x2+2x-1(*)对任意的 x∈[0,+∞)恒成立.
因为 a>0,所以分如下情况讨论: ①当 0≤x≤a 时,不等式(*)化为-4(x-a)+2[x-(1+a)]≤x2+2x-1,即 x2+4x+1- 2a≥0 对任意的 x∈[0,a]恒成立. 设 g(x)=x2+4x+1-2a,所以函数 g(x)=x2+4x+1-2a 在区间[0,a]上单调递增,所以
只需 g(0)≥0 即可,解得 a≤12,又 a>0,所以 0<a≤12. ②当 a<x≤1+a 时,不等式(*)化为 4(x-a)+2[x-(1+a)]≤x2+2x-1,即 x2-4x+1+
6a≥0 对任意的 x∈(a,1+a]恒成立.
由①知,0<a≤12,故函数 h(x)=x2-4x+1+6a 在区间(a,1+a]上单调递减,只需要 h(1
+a)≥0 即可,
即 a2+4a-2≥0,解得 a≤-2- 6或 a≥ 6-2.
因为 0< 6-2<12,所以由①得 6-2≤a≤12. ③当 x>1+a 时,不等式(*)化为 4(x-a)-2[x-(1+a)]≤x2+2x-1, 即 x2+2a-3≥0 对任意的 x∈(a+1,+∞)恒成立. 又因为函数 φ(x)=x2+2a-3 在区间(a+1,+∞)上单调递增,所以只需 φ(a+1)≥0 即可,

即 a2+4a≥0,解得 a≤-4 或 a≥0,由②得 6-2≤a≤12. 综上所述,a 的取值范围是 6-2≤a≤12.

专题限时集训(三)
【基础演练】
1.B [解析] f(x)的零点所在的范围即为函数 g(x)=ln x,h(x)=-x+2 的图像的交点的 横坐标所在的范围,作图如下:
由图可知函数 f(x)的零点所在区间为(1,2). 2.A [解析] 若 m<0,则方程 m+log2x=0(x≥1)有一解,即函数 f(x)存在零点;反之, 若函数 f(x)有零点,则 m≤0.所以“m<0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的充分 不必要条件.
3.B [解析] 画出函数 y=tan x,y=1x在区间??0,π2 ??上的图像(图略),由图可知,两个 函数的图像只有一个公共点,故函数 f(x)=tan x-1x在区间??0,π2 ??内零点的个数为 1.
4.B [解析] 已知函数 f(x)与 g(x)的图像在 R 上连续,由表可知,函数 f(x)在区间[0, 1]上的函数值由 3.011 变化到 5.432,而函数 g(x)在区间[0,1]上的函数值由 3.451 变化到 4.890, 所以这两个函数在区间(0,1)上有交点,即方程 f(x)=g(x)在区间(0,1)上有实数解.
5.-12 [解析] 因为函数 f(x)=ax+b 的零点为 x=2,所以 2a+b=0,即ba=-2.由 bx2 -ax=0,得 x=0 或 x=ab=-12.
【提升训练】
6.C [解析] 画出函数 y=f(x)和 y=-x+m 的图像,如图所示,则所求问题等价于两 个函数的图像有交点,由图易知 m?(0,1],故 m∈(-∞,0]∪(1,+∞).
7.C [解析] ∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,又当 x≤0 时,f(x)=2x-12 x+a,∴20+a=0,解得 a=-1,故当 x≤0 时,f(x)=2x-12x-1.令 f(x)=2x-12x-1=0,解 得 x=-1 或 x=0,故 f(-1)=0,则 f(1)=0.综上所述,函数 f(x)的零点的个数是 3.
8.D [解析] 由 2=4-a12,可得 a=4,即 f(x)=4-4x,其零点 x1=1;由 2=4-logb12,
得 b= 12= 22,即 g(x)=4-log 22x,其零点 x2=14;由 2=4-??12??c,得 c=-1,所以 h(x)
=4-x-1,其零点 x3=14.故 x1+x2+x3=1+14+14=32.
9.B [解析] 根据题意可知只需作出函数 y=??12??x(x>0)的图像关于原点对称的图像,确
定它与函数 y=-x2-4x(x≤0)的图像的交点个数即可,由图可知,只有一个交点,故选 B.

10.D [解析] 令 f(x)=??x+1x??-??x-1x??,易知函数 f(x)=??x+1x??-??x-1x??是偶函数,且 当 x>0 时,f(x)=??x+1x??-??x-1x??=?????22x, x,x> 0<1, x≤1.令 g(x)=kx+1,画出函数 f(x)和 g(x)的图像,
如图所示.
设曲线 y=-2x(x<-1)上任意一点的坐标为??x0,-x20??,y′=x22,所以曲线 y=-2x(x<- 1)在点??x0,-x20??处的切线方程为 y+x20=x220(x-x0),当该切线过点(0,1)时,有 1+x20=x220(0- x0),得 x0=-4,此时切线的斜率 k=18.由图易知当直线 g(x)=kx+1 的斜率 k∈??0,18??时,g(x)
与 f(x)的图像有五个交点.根据对称性可得当-18<k<0 时,g(x)和 f(x)的图像也有五个交点,
则 k∈??-18,0??∪??0,18??. 11.C [解析] 当 x∈??0,18??时,0≤2x<14,0≤4x<12,0≤8x<1,
f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0;
当 x∈??18,28??时,14≤2x<12,12≤4x<1,1≤8x<2,
f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1.
同理可得,x∈??28,38??时,f(x)=0+1+2=3; x∈??38,48??时,f(x)=0+1+3=4; x∈??48,58??时,f(x)=1+2+4=7; x∈??58,68??时,f(x)=1+2+5=8; x∈??68,78??时,f(x)=1+3+6=10; x∈??78,1??时,f(x)=1+3+7=11;x=1 时,
f(1)=2+4+8=14. 故 A 中所有元素的和为 0+1+3+4+7+8+10+11+14=58.

12.(1,+∞) [解析] 函数 f(x)有三个零点等价于方程x+1 2=m|x|有且仅有三个实根. 由 x+1 2=m|x|,得m1 =|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图像,如图所示,由图像可知,m 应满足 0<m1 <1,故 m>1.
13.x=12 [解析] 依题意,令 f(x)-log2x=a,a 是常数,则 f(a)=1,所以 log2a=1-a, 解得 a=1,所以 f(x)=1+log2x.令 f(x)=0,解得 x=12.
14.3 [解析] 当 x>1 时,ln x>0,此时 f(x)=2x+1-x2,令 x2-2x-1=0,解得 x=2+2 8 =1+ 2;当 x=1 时,ln x=0,此时 f(x)=1-x2,令 1-x2=0,解得 x=1;当 0<x<1 时, ln x<0,此时 f(x)=-2x+1-x2,令 x2+2x-1=0,解得 x=-2+2 8=-1+ 2.综上可知, 函数 f(x)=2x·g(ln x)+1-x2 有 3 个零点.
15.0 [解析] 作出函数 f(x),g(x)的图像如下图所示,由图知两交点的横坐标互为相反 数,因此 m=0.
16.34 [解析] 解方程|log0.5x|=2,得 x=14或 x=4.令 y=0,即|log0.5x|=0,得 x=1.由于 函数 y=|log0.5x|在定义域[a,b]上的值域为[0,2],则必有 a=14或 b=4.
①当 a=14时,则 1≤b≤4,此时区间[a,b]的长度的最小值为 1-14=34; ②当 b=4 时,则14≤a≤1,此时区间[a,b]的长度的最小值为 4-1=3. 综上所述,区间[a,b]的长度的最小值为34.

专题限时集训(四)A
【基础演练】
1.B [解析] 集合 B=(-∞,-1)∪(1,+∞),所以 A∩B=(1,2). 2.B [解析] 集合 M=(-1,1),集合 N=(0,1),显然 N?M,B 正确. 3.B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的几何意 义,可得在点(1,0)处目标函数取得最大值 1.

4.A [解析] 对于选项 A 中的不等式,a-1 b-1a=a(ab-b)<0,故选项 A 中的不等式 不成立;根据不等式的性质,其余选项中的不等式均成立.

5.C

[解析] ?? ?

xx++yy???2=x+yx++2y

xy≥x+xy++yx+y=12,当且仅当 x=y 时,等号成立,

所以?? ?

xx++yy???min=

12=

2 2.

【提升训练】

6.B [解析] 集合 A=(-1,3),集合 B=(-1,+∞),所以?BA=[3,+∞). 7.D [解析] 集合 A=[1,5],集合 B=(2,+∞),所以 A∩B=(2,5].
8.B [解析] 根据已知可得 2m=1-n,即 2m+n=1.故m1 +1n=(2m+n)??m1 +1n??=3+mn +
2nm≥3+2 mn ·2nm=3+2 2,当且仅当 n= 2m,即 m=2-2 2,n= 2-1 时等号成立. 9.D [解析] 由余弦定理得 cos C=a2+2ba2b-c2=23(a22a+bb2)≥23×2a2bab=23,当且仅当 a
=b 时等号成立. 10.2 [解析] 图中阴影部分即是不等式组所表示的平面区域,由图知 z=x-y 在直线 x
-3y=0 和 2x+3y-9=0 的交点(3,1)处取得最大值 2.

11.2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.直线 x +2y-a=0 与 x 轴交于点 A(a,0),目标函数为 z=3x+y,当直线 y=-3x+z 过可行域内点 A(a,0)时,z 恰好取得最大值 6,即 zmax=3a+0=6,得 a=2,即直线 x+2y-a=0 过点(2, 0),故 a=2.

12.9 [解析] 因为 x,y 均为正实数,所以 x+y≥2 xy,所以 xy=x+y+3 可化为 xy≥2 xy +3,即( xy-3)( xy+1)≥0,所以 xy≥3,即 xy≥9,当且仅当 x=y 时等号成立.
13.9 [解析] 由 2ab=a+b+12,得 2ab≥2 ab+12,当且仅当 a=b 时取等号,化简 得( ab-3)( ab+2)≥0,则 ab≥9,所以 ab 的最小值是 9.
14.8 2 [解析] 因为 f(x)=x3-(a+b)x2+abx,所以 f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab,所以 f′(0) =ab=4,所以 a2+2b2≥2 2ab=8 2,当且仅当 a= 2b 时等号成立.

15.4

??2x-y+2≥0, 8x-y-4≤0,

? [解析] 作出不等式组 x≥0, ??y≥0

所表示的平面区域如图中阴影部分所示,

直线 2x-y+2=0 与直线 8x-y-4=0 交于点 A(1,4).作直线 l:z=ax+by,由于 a>0,所

以 z 可视为直线 l 在 x 轴上的截距的 a 倍,当直线 l 经过可行域内的点 A 时,直线 l 在 x 轴上

的截距最大,此时 z 取最大值,即 zmax=a·1+b·4=a+4b=8,因此 ab=14·a·4b≤14·??a+24b??

2=14×??82??2=4,当且仅当 a=4b,即 a=4,b=1 时等号成立.

专题限时集训(四)B
【基础演练】
1.B [解析] 作出约束条件对应的可行域如图所示.当直线 z=2x+y 过可行域上的点 A(2,2)时,z 取得最大值 6;当直线 z=2x+y 过可行域上的点 B(1,1)时,z 取得最小值 3.故 最大值与最小值的比值为 2.
2.C [解析] 由已知 x+y+1x+1y=5,得 x+y+x+xyy=5. ∵xy≤(x+4y)2,∴x1y≥(x+4y)2,即x+xyy≥x+4 y,∴x+y+x+4 y≤5. 设 x+y=t,则有 t+4t ≤5,即 t2-5t+4≤0,解得 1≤t≤4, ∴x+y 的最大值是 4. 3.C [解析] 不等式组所表示的平面区域如图所示的,根据目标函数的几何意义可得, 在点 B(1,6)处目标函数取得最大值,且 zmax=61=6.

4.[-2,4] [解析] 由绝对值的几何意义可知 a 到 1 的距离小于等于 3,即|a-1|≤3, 解得-2≤a≤4,即 a∈[-2,4].
【提升训练】

5.D

x-y≥0,
??2x+y≤2, ? [解析] 不等式组 y≥0, 中前三个不等式所表示的平面区域的三个顶点分别
??x+y≤a

为(0,0),(1,0),??23,23??,第四个不等式 x+y≤a 表示的是斜率为-1 的直线 x+y-a=0 的

下方.由图①可知,当 0<a≤1 时,不等式组所表示的平面区域是一个三角形;由图②可知,

当 a≥43时,不等式组所表示的平面区域也是一个三角形,故选 D.





6.A [解析] ??a+1b??-??b+1a??=(a-b)+??1b-1a??=(a-b)+aa-bb=(a-b)a(b ab+1).∵

a>b>0,∴a-b>0,ab>0,∴ab+1>1>0,∴(a-b)a(b ab+1)>0,∴a+1b>b+1a,选项 A

正确;对于选项 B,取 a=1,b=12,则 a+1a=1+11=2,b+1b=12+2=52,故 a+1a>b+1b不成

立;对于选项 C,若ba>ba+ +11成立,则有 b(a+1)>a(b+1),即 ab+b>ab+a?b>a,这与已知

条件矛盾,故选项 C 错误;对于选项 D,若有 b-1b>a-1a,则有 b+1a>a+1b,这与选项 A 矛

盾,故选项 D 错误.

7.A

[解析]

由图知直线

ax+by+c=0

经过

A,B

两点,即???2a+2b+c=0,解得 ??a-b+c=0,

???bc==--34a3a,?bc=4.

8.D [解析] 平面区域如图所示,其中 O(0,0),A(2,0),B(1,2),C(0,1),目标函 数的几何意义是区域内的点(x,y)到点(-1,-1)的距离的平方,显然在平面区域的顶点处取 得最大值,分别代入计算可知其最大值为 13.

9.C [解析] 由题知O→P=(3,3),O→M=(x,y),O→Q=(3,-3),则?????||OO→→QP··OO→→MM||≤≤1122?

???|x+y|≤4????-4≤x+y≤4,则点 ??|x-y|≤4 ??-4≤x-y≤4,

M

所构成的正方形平面区域如图所示,其面积为(4

2)2=

32.

10.C [解析] 设 A 型车和 B 型车的辆数分别为 x,y,则租金为 z=1600x+2400y 元, 依题意,x,y 还需满足:x+y≤21,y≤x+7,36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条
x+y≤21,
??y≤x+7, ? 件 36x+60y≥900, 的目标函数 z=1600x+2400y 的最小值.
??x,y≥0,x,y∈N
可行域如图所示,
可行域的三个顶点分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由图可知,目标函数 z=1600x+2400y 在 P(5,12)处,取得最小值,且 zmin=1600×5+ 2400×12=36 800(元). 11.[-1,7] [解析] 原不等式可化为 x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7. 12.(-3,21) [解析] S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d),由待定系数法得 x=3,y =6.因为-3<3a3<3,0<6a6<18,两式相加即得-3<S9<21. 13.2π [解析] 由 f(x)+f(y)=x2-2x+y2-2y≤2,可得(x-1)2+(y-1)2≤4,所以点集 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2}就是以(1,1)为圆心,以 2 为半径的圆面的 f(x)-f(y)=x2-2x-y2+ 2y≥0,可得(x-y)(x+y-2)≥0,即?????xx- +yy≥ -02, ≥0或?????xx- +yy≤ -02, ≤0,所以点集 N={(x,y)|f(x)- f(y)≥0}就是上述两个不等式组所表示的平面区域. 故 M∩N 所构成平面区域如图阴影部分所示,其面积 S=12·π ·22=2π .

14. ??13,+∞??

[解析]



x2+ax+7+a x+1



4



x∈N*











(x+1)2+(x+a-1 2)x+6+a≥4 恒成立,

即(x+1)2+(ax-+21)(x+1)+8=x+1+a-2+x+8 1≥4 恒成立,

则 a≥6-??(x+1)+x+8 1??恒成立.因为 6-(x+1)+x+8 1的最大值为 6-4 2,当且仅

当 x=2 2-1 时取得最大值,且 x∈N*,所以易知当 x=2 时,6-??(x+1)+x+8 1??取得最

大值13,故 a≥13.

15.[-1,+∞) [解析] 由题意,不等式 a≥yx-2??yx??2,x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立.令 t=yx,则 1≤t≤3,所以 a≥t-2t2 在[1,3]上恒成立.令 h(t)=t-2t2=-2??t-14??2+18,则 h(t)max
=h(1)=-1,所以 a≥-1.

专题限时集训(五)

【基础演练】

1.C [解析] y=sin xcos x=12sin 2x,故其最小正周期为22π =π .
2.B [解析] 把函数 y=sin??x+π6 ??(x∈R)的图像上所有的点向左平移π4 个单位长度, 得到函数 y=sin??x+π4 +π6 ??=sinx+51π2 (x∈R)的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到 原来的 2 倍,得到函数 y=sin??12x+51π2 ??(x∈R)的图像.
3.C [解析] y=cos??2x+π3 ??=sin??π2 +??2x+π3 ????=sin??2x+56π ??,所以只需把函数 y= sin 2x 的图像向左平移51π2 个单位长度即可得到函数 y=cos??2x+π3 ??的图像.
4.-23 [解析] 由 a∥b,可得-3sin θ =2cos θ ,又易知 cos θ ≠0,所以 tan θ =- 2 3.
5.-2 3 2 [解析] ∵α∈??π2 ,π ??,sin α = 33, ∴cos α =- 1-sin2α =- 1-?? 33??2=- 36,

∴sin



=2sinα

cosα

=2×

33×??-

36??=-2

3

2 .

【提升训练】

6.B [解析] 由题知 xB-xA=3=T2,所以 T=6,xA=-1,y 轴左侧距离 y 轴最近的最 低点的横坐标为-4,所以 f(x)的单调递增区间是[6k-4,6k-1](k∈Z).
7.D [解析] 当 0≤θ<π2 时,d=2cosθ ;当π2 <θ<π 时,d=2cos(π -θ)=-2cos θ . 故选 D.
8.A [解析] 函数 f(x)=sin(2x+φ)向左平移π6 个单位得函数 y=sin??2??x+π6 ??+φ??的图
像,又其为奇函数,故π3 +φ=kπ ,k∈Z,解得φ =kπ -π3 ,k∈Z.又|φ|<π2 ,所以 φ=-π3 ,
所以 f(x)=sin??2x-π3 ??.因为 x∈??0,π2 ??,所以 sin ??2x-π3 ??∈??- 23,1??,易知当 x=0 时,

f(x)min=-

3 2.

9.A [解析] 由题意知 A=1,T=4??71π2 -π3 ??=π ,ω=2Tπ =2,所以 f(x)=sin(2x+φ).又

π |φ|< 2

,将点??π3

,0??代入

f(x)=sin(2x+φ),得

φ=π3 ,故

f(x)=sin??2x+π3 ??=sin

2??x+π6 ??,

因此可以将 f(x)的图像向右平移π6 个单位长度得到函数 g(x)=sin 2x 的图像.

10.B [解析] 将 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin??2x-π6 ??的图像向左平移 m 个单位,得

到函数 g(x)=2sin??2x+2m-π6 ??的图像,由题意得 2×π6 +2m-π6 =kπ +π2 (k∈Z),即 m=kπ2

+π6 (k∈Z).又∵m>-π2 ,∴当 k=-1 时,m 取得最小值-π3 .

11.2 5 5 [解析] 由 f(x)=sin x+2cos x,可得 f(x)= 5sin(x+φ),其中 tanφ =2,当 x

+φ=π2

+2kπ

(k∈Z)时,函数

f(x)取得最大值,所以

cosθ

=cos??π2

-φ+2kπ

??=sinφ

=2

5

5 .

12.-

2 2

[解析] g(x)=sin??3??x-π3 ??+π4 ??=sin??3x-34π ??,由π3 ≤x≤2π3 ,得π4 ≤3x-34π

≤5π4 ,所以当 3x-3π4 =54π ,即 x=23π 时,g(x)取得最小值,且 g(x)min=sin5π4 =- 22.

13.-43

[解析]

由???ssiinn2αα

+3cos +cos2α

α = 5, =1,

??? ??? 解得

cos α = 55, 或
sin α =2 5 5

cos sin

α α

=2 5 5, 所以
=- 55,

tanα

=2

或-12.

当 tanα =-12时,tan 2α =2×1-??-1421??=-43;

当 tanα =2 时,tan 2α =21× -24=-43.故 tan 2α =-43.

14.解:(1)∵f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1=2sin??2x+π6 ??+1,

∴f??43π ??=2sin??83π +π6 ??+1=2sin56π +1=2sinπ6 +1=2.

(2)由(1)知 f(x)=2sin??2x+π6 ??+1.

∵x∈??0,π2 ??,∴2x+π6 ∈??π6 ,76π ??,

∴-12≤sin??2x+π6 ??≤1,

∴0≤2sin??2x+π6 ??+1≤3.

故当 x∈??0,π2 ??时,函数 f(x)的值域是[0,3].

15.解:(1)∵??π6 ,1??和??2π3 ,-3??分别是函数 f(x)图像上相邻的最高点和最低点,

?????∴

T2=2π3 ω=2Tπ
2sin??π6

-π6 , , ω +π6

??T=π , 解得?c=-1,

??+c=1,

??ω=2,

∴f(x)=2sin??2x+π6 ??-1.

由 2kπ -π2 ≤2x+π6 ≤2kπ +π2 ,k∈Z,解得 kπ -π3 ≤x≤kπ +π6 ,k∈Z,

∴函数 f(x)的单调递增区间是??kπ -π3 ,kπ +π6 ??,k∈Z.

(2)在△ABC 中,A→B·B→C=-12ac,

∴accos(π -B)=-12ac.又 0<B<π ,∴B=π3 ,

∴A+C=23π

.又

0<C<π

,则

2π 0<A< 3



∴M=??0,23π ??.



x∈M

时,π6

<2x+π6

3π <2

∴-1<sin??2x+π6 ??≤1,

∴-3<f(x)≤1,即函数 f(x)的值域是(-3,1].

16.解:(1)f(x)=λsin xcos x-cos2x+sin2x=12λ sin 2x-cos 2x.

∵f??-π3 ??=f(0),

∴λ =2 3,

∴f(x)=2sin??2x-π6 ??,

故函数 f(x)的图像的对称轴为 x=kπ2 +π3 (k∈Z),

函数 f(x)的单调递减区间为??kπ +π3 ,kπ +56π ??(k∈Z).

cos (2)cos

AB=-b+a2c,由正弦定理,可变形为

sin(A+B)=

-2cos Asin C.又 0<C<π ,∴sin C≠0,

∴cos A=-12,∴A=23π ,

∴x∈??0,23π ??,∴-12≤sin??2x-π6 ??≤1,

∴f(x)∈[-1,2].

专题限时集训(六)A

【基础演练】

1.C [解析]

由siAnBC=sAinCB,即sin3C=11,得 sin C= 23,所以 C=120°(C=60° 2

舍去).又

B=30°,所以

A=30°,所以

S△ABC=12AB·AC

sin

A=

3 4.

2.B [解析] 易知 C=30°.由正弦定理得sin 425°=sin 3c0°,所以 c=1.

3.B

[解析]

f(x)=sin

2x-12sin

2x-

3 2 cos

2x=12sin

2x-

3 2

cos

2x=sin??2x-π3 ??,易知

f(x)的最小值为-1.

4.C [解析] sin4θ +cos4θ =(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =1-12sin22θ =1-12(1-

cos22θ )=1-12??1-19??=59.

5.π6 [解析]

由正弦定理及已知,得 a2+c2-b2= 3ac,

∴a2+2ca2c-b2= 23,即 cos B= 23,∴B=π6 .

【提升训练】

6.C

[解析]

cos2??α

-π4

??=1+cos??22α

-π2

? ?=1+si2n





1+2 13=23.

1

π

7.B [解析] 由题意得2CAπ·C×B·1s2in 3 =34π3,所以 CA·CB=3.在△AOB 中,由 OA=OB



1,

O→A · O→B =

-12,

得 ∠AOB =

2π 3

,所以

AB =

3.由余弦定理得 AB2=CA2+CB2-

2CA·CB·cosπ3 ,即 CA2+CB2=6,结合 CA·CB=3,得 CA=CB= 3,所以△ABC 为等边

三角形.

8.A [解析] 依题意得 sin2A-sin2B= 2sin Asin C-sin2 C,

∴由正弦定理可得 a2-b2= 2ac-c2,∴a2+c2-b2= 2ac, ∴cos B=a2+2ca2c-b2= 22,∴B=π4 .

9.C [解析] 设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由已知条件可知 bccos A=7,

a=6.根据余弦定理可得 36=b2+c2-14,所以 b2+c2=50,所以 bc≤25.S△ABC=12bcsin A=12

bc 1-cos2A=12bc 1-(b4c9)2=12 (bc)2-49≤12 252-49=12,当且仅当 b=c=5 时等
号成立,故所求最大值为 12. 10.A [解析] 由于 G 为△ABC 的重心,所以G→A+G→B+G→C=0,即G→C=-G→A-G→B,
所以??a- 33c??G→A+??b- 33c??G→B=0,所以 a=b= 33c,所以 cos A=b2+2cb2c-a2=132c×2+3c32-c·31cc2

= 23.又 0<A<π ,所以 A=π6 .

11.-274 [解析] 因为 α∈??-π2 ,0??,cos(π -α)=-45,所以 sinα =-35,tanα =-34,

所以 tan 2α =12-tatnanα2α =-274.

12. 11 [解析] △ABC 的面积 S=12× 3×43=23 3,又 S=12AC·BC·sin C= 43AC·BC,

所 以 AC·BC=83.根据余弦定理有 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=(AC+BC)2-3AC·BC,

所以(AC+BC)2=3+3×83=11,所以 AC+BC= 11.

13. 2

[解析] 设△ABC 外接圆的半径为 R,则 2R=sin B12C0°=

a2+b2-2abcos 120° 3

2

= (a+b)2-ab≥ 3 2

4-??a+2 b??2=2,当且仅当 a=b=1 时等号成立.
3 2

14.解:(1)由已知可得 1+cos B= 3sin B,∴sin??B-π6 ??=12.

又 0<B<π ,∴B=π3 ,∴C=π -A-B=π4 ,

∴c=sinb B·sin

C=

6 3.

(2)由(1)知 B=π3 ,∴由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B.



a=2c,∴c2=13,∴△ABC

的面积

S=12acsin

B=

3 6.

15.解:(1)证明:∵acos2C2+ccos2A2=a·1+c2os C+c·1+c2os A=32b,

+cos A)=3b,

∴由正弦定理可得

即 a(1+cos C)+c(1

sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C=3sin B, 即 sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B, ∴sin A+sin C=2sin B. ∴由正弦定理可得 a+c=2b, 故 a,b,c 成等差数列. (2)由 B=60°,b=4 及余弦定理得 42=a2+c2-2accos 60°, ∴(a+c)2-3ac=16.
又由(1)知 a+c=2b, ∴有 4b2-3ac=16,即 64-3ac=16, 解得 ac=16,
∴△ABC 的面积 S=12acsin B=12acsin 60°=4 3.

专题限时集训(六)B

【基础演练】

1.解:(1)f(x)=2 3sin x·cos x+2cos2x+m=2sin??2x+π6 ??+m+1. 因为 x∈??0,π3 ??,所以 2x+π6 ∈??π6 ,56π ??, 所以当 2x+π6 =π2 ,即 x=π6 时,函数 f(x)在区间??0,π3 ??上取得最大值, 此时,f(x)max=f??π6 ??=m+3=2,得 m=-1. (2)因为 f(A)=1,所以 2sin??2A+π6 ??=1, 即 sin??2A+π6 ??=12,又 0<A<π ,所以 A=π3 .
因为 sin B=3sin C,sina A=sinb B=sinc C,所以 b=3c.①

因为△ABC 的面积为9 4 3,所以 S=12bcsin A=12bc· 23=9 4 3,即 bc=9.②

由①②,得 b=3 3,c= 3. 因为 a2=b2+c2-2bccos A=21,所以 a= 21. 2.解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又 A=π -(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.
又 0<C<π ,所以 sin B=cos B.又 B∈(0,π ),所以 B=π4 .

(2)△ABC 的面积 S=12acsin B= 42ac,

由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accosπ4 ,

又 a2+c2≥2ac,故 ac≤2-4

,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2

因此△ABC 的面积的最大值为 2+1. 3.解: (1)f(x)=(sin x+ 3cos x)cos x=sin xcos x+ 3cos 2x

=12sin

2x+

3 2 cos

2x+

23=sin??2x+π3

??+

23,

所以函数 f(x)的值域是??? 32-2, 32+2???.

(2) 由 f(A)=sin??2A+π3 ??+ 23= 23,得 sin??2A+π3 ??=0.

又 A 为锐角,所以 A=π3 .又 b=2,c=3,

所以 a2=4+9-2×2×3×cos

π 3

=7,a=

7.

由sina A=sinb B,得 sin B=

37.又

b<a,从而

B<A,则

cos

B=

2, 7

所以

cos(A-B)=cos

Acos

B+sin

Asin

B=12×

2+ 7

23×

37=5147.

【提升训练】

4.解:(1)∵f(x)=

3 2 sin

2x+cos2x-32=

3 2 sin

2x+1+c2os

2x-32=sin??2x+π6

??-1,

∴f(x)的最小正周期 T=22π =π .

∵x∈??0,π2 ??,∴2x+π6 ∈??π6 ,76π ??,

∴sin??2x+π6 ??∈??-12,1??,∴f(x)的最大值为 0.

(2)由 f(A)=-12,得 sin??2A+π6 ??=12.

又∵π6

<2A+π6

13π <6

,∴2A+π6

=56π

,∴A=π3

.

方法一:由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-

3(b+4 c)2=(b+4 c)2,当且仅当 b=c=2 时取等号即 b+c≤ 4a2=4,

∴a+b+c≤6,∴L=6.

方法二:由正弦定理得

2 π

=sinb

B=sinc

C,即

b=4

3 3 sin

B,c=4

3

3 sin

C,

sin 3

∴b+c=4

3

3 (sin

B+sin

C)=43 3??sin B+sin??2π3

-B????=4sin??B+π6 ??.∵0<B<23π

,∴π6

<B+π6

5π <6



∴12<sin??B+π6 ??≤1,∴b+c≤4,∴a+b+c≤6,∴L=6.

5.解:(1)证明:由题意知,2ωπ =43π ,解得 ω=32.

∵sin

B+sin sin A

C=2-cocsoBs-A cos

C,

∴sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A,

∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,

∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,

∴sin C+sin B=2sin A,故 b+c=2a.

(2)∵b+c=2a,b=c,∴a=b=c,∴△ABC 为等边三角形.

S

四边形

OACB



S



OAB



S



ABC



1 2

OA

·

OBsin

θ



3 4

AB2



sin

θ



3 4

(OA2



OB2



2OA·OBcos

θ

)=sinθ -

3cosθ

+54 3=2sin??θ

-π3

??+5

4

3 .

∵θ ∈(0,π ),∴θ-π3 ∈??-π3 ,2π3 ??,

当且仅当

θ-π3

=π2

,即

θ=56π



S

四边形

OACB

取最大值,故

S

四边形

OACB

的最大值为

2+5

4

3 .

专题限时集训(七)

【基础演练】

1.D [解析] 因为向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos〈a,b〉,又

cos〈a,b〉=|aa|··|bb|=2×1 1=12,所以|a|cos〈a,b〉=1. 2.A [解析] 由题意得 a·c=a·(a+b)=a2+a·b=1+|a|·|b|cos 120°=1-1=0,则 c⊥a. 3.A [解析] 由A→B·B→C>0,可得角 B 为钝角,此时△ABC 是钝角三角形,条件是充 分的;反之,当△ABC 是钝角三角形时,角 B 不一定为钝角,故不一定有A→B·B→C>0,条件 是不必要的.故“A→B·B→C>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件. 4.C [解析] 易知|a|=5,cos〈a,b〉=a|a·||bb|=5-×52=-12,即向量 a 与 b 的夹角为2π3 .

5.4 60° [解析] 由|a-b|= 13,平方得 a2-2a·b+b2=13,代入已知条件得 b2=16,

得|b|=4,所以 cos〈a,b〉=|aa|·|bb|=3×6 4=12,所以〈a,b〉=60°.

【提升训练】

6.B [解析] |A→B|= cos218°+cos272°= cos218°+sin218°=1, |B→C|= 4cos263°+4cos227°= 4cos263°+4sin263°=2, A→B·B→C=2cos 18°·cos 63°+2cos 72°·cos 27°=2cos 18°·cos 63°+2sin 18°·sin 63°=2cos 45°= 2.设A→B与B→C的夹角为 α, 所以 cos α =|A→A→BB|· ·B|→B→CC|= 22,得α =45°,所以三角形的内角 B=135°,因此△ABC

的面积

S=12|A→B|·|B→C|·sin

135°=

2 2.

7.B [解析] 设外接圆的圆心为 O,C→O与O→P的夹角为 θ(θ∈[0,π ]),在正三角形 ABC

中,易知|O→A|=|O→B|=|O→C|=|O→P|=1,则A→P·P→B=(O→P-O→A)·(O→B-O→P)=O→P·(O→A+O→B)-O→P

2-O→A·O→B=O→P·C→O-12=|O→P|·|C→O|cosθ -12=coθ -12,所以A→P·P→B的取值范围为??-32,12??.

8.C [解析] 如图所示,由于B→C=C→D,点 O 在线段 CD 上,故存在实数λ ∈(0,1), 使得C→O=λC→D,
∴A→O=A→C+C→O=A→C+λC→D=A→C+λB→C=A→C+λ(A→C-A→B)=-λA→B+(1+λ)A→C.又A→O= xA→B+(1-x)A→C,∴x=-λ.又 0<λ <1,∴-1<-λ<0,即-1<x<0.

9.B [解析] 显然 AC⊥BC,以点 C 为坐标原点,射线 CA,CB 分别为 x 轴、y 轴的正 方向建立平面直角坐标系,则 C(0,0),A(3,0),B(0,4).设C→P=C→A+λA→B=(3,0)+λ(-3, 4)=(3-3λ,4λ),其中 0≤λ≤1,则C→P·(B→A-B→C)=C→P·C→A=(3-3λ,4λ)·(3,0)=9-9λ ≤9,故C→P·(B→A-B→C)的最大值为 9.
10.D [解析] 由 a·(a+2b)=0 且|a|=1,得 a·b=-12,得〈a,b〉=120°.在平面直角

坐标系中,设 a=(1,0),b=??-12, 23??,则 a+2b=(0, 3).设 c=(x,y),由|c-a-2b|

=1 得 x2+(y- 3)2=1,即向量 c 的终点在圆 x2+(y- 3)2=1 上,所以|c|的最大值为 3+1. 11. 61 [解析] 由|4a-b|2=16a2-8a·b+b2=16-8×5cos 120°+25=61,得|4a-b|

= 61. 12.2+i [解析] (1+aib)+(i 1-i)=2-i?(1+ai)(1-i)=(2-i)·(b+i)?1+a+(a-

1)i=2b+1+(2-b)i,所以?????1a+ -a1= =22b-+b1,,解得?????ab==21,. 13.-2 [解析] 由O→P=O→A+λ(A→B+A→C),得A→P=λ(A→B+A→C),当λ =12时,由|A→P|=2,
得A→B+A→C=2A→P,所以|A→B+A→C|=4. 又P→A·P→B+P→A·P→C=P→A·(P→B+P→C)=P→A·(A→B-A→P+A→C-A→P)=-λ(A→B+A→C)·[A→B+A→C
-2λ(A→B+A→C)]=λ(2λ-1)·(A→B+A→C)2=16(2λ2-λ),当 λ=14时上式有最小值-2.
14.解:(1)a+tb=(2t-3,2+t),|a+tb|2=(2t-3)2+(2+t)2=5t2-8t+13=5??t-45??2+459,



t=45时,|a+tb|取得最小值7

5

5 .

(2)a-tb=(-3-2t,2-t),因为 a-tb 与 c 共线,所以 3+2t-6+3t=0,即 t=35. 15.解:(1)原式=A→P1·(A→B+A→P2)=2A→P21=183.

(2)(i)写 0 到12??0可取到,12取不到??之间的任何一个值均可.
理由是:此时向量P→A与P→C之间的夹角为锐角. (ii)P→A·P→C=|P→C||P→A|cos∠APC. ①当 P 在线段 BP2 上时,P→A·P→C≥0; ②当 P 在线段 P2C 上时,P→A·P→C≤0. 要使P→A·P→C最小,则 P 必在线段 P2C 上,设|P→C|=x,则P→A·P→C=|P→C||P→A|cos∠APC=|P→C |·(-|P→P2|)=x2-12x. 当 x=14,即当 P 在 P3 时,P→A·P→C最小,此时 cos∠PAB=256 13.

16.解:(1)∵m=(1,sin 2x),n=(cos 2x, 3),f(x)=m·n,

∴f(x)=cos 2x+ 3sin 2x=2sin??2x+π6 ??.

∵f(A)=1,∴2sin??2A+π6 ??=1.



0<A<π

,∴π6

<2A+π6

13π <6



∴2A+π6 =56π ,∴A=π3 . (2)由余弦定理知 cos A=b2+2cb2c-a2=12.
∵a= 3,∴b2+c2-bc=3. ∵b+c=3,∴bc=2,

∴S△ABC=12bcsin

A=

3 2.

专题限时集训(八)

【基础演练】

1.C [解析] 由 a5=a1+4d=8,S3=3a1+3×2 2d=6,解得 a1=0,d=2,所以 a9=0+
8×2=16. 2.C [解析] 设数列{an}的公比为 q.易知 a5 是 a2 和 a8 的等比中项,因此 a25=a2a8=1×64
=64.又由于aa52=q3,所以 a5 与 a2 的符号可能相同,也可能不相同,因此 a5=±8. 3.C [解析] 由 a3+a4-a5+a6=8,得 a3+a5=8,所以 a1+a7=8,所以 S7=7×(a21+a7)
=28.

4.B [解析] 在等差数列{an}中,因为 a1+a7+a13=π ,所以 a7=π3 ,所以 a2+a12=23π ,

所以 tan(a2+a12)=- 3. 5.2 [解析] 由已知可得 2(anq2-an)=3anq,即 2q2-3q-2=0,解得 q=2 或 q=-12.
又 an+1>an,所以 q=2.
【提升训练】

6.B [解析] 由 a2+a4+a9=24,得 3a1+12d=24,即 a1+4d=8,即 a5=8,所以 S9 =a1+2 a9×9=9a5=72.

7.D [解析] 由 Sn+2-Sn=36,得 an+2+an+1=36,即 a1+(n+1)d+a1+nd=36.又 a1 =1,d=2,所以 n=8.

8.C

[解析]











??a1q=2, ???2a1q2+a1q3=16,





??a1=1,
?
??q=2



???a1=-12, ??q=-4.



an > 0 ,

∴?????aq1==21,,∴a5=a1q4=16. 9.B [解析] 根据等比中项的概念,得 am+1am-1=a2m,所以 a2m=2am(m≥2).又 am>0,
所以 am=2.由于数列{an}为等比数列,故 a1=2,即对任意正整数 m,am=2.T2k-1=2×22k-2
=512,解得 k=5.

10.C [解析] 因为 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以 a4=33,a5=31,所以数列 {an}是以 39 为首项,-2 为公差的等差数列.对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立,而在数列{an} 中,a20=1>0,a21=-1<0,故 S20≥Sn 对任意 n∈N*都成立.
11.-20 [解析] 设数列{an}的公差为 d,则依题意有?????SS911==91a11a+1+365d5=d=119,,两式相减,
得 2a1+19d=-2,∴S20=20a1+190d=-20. 12.512 [解析] 由 a3a4a8=8,得 a31q12=8,即 a1q4=2,即 a5=2,所以 T9=a1a2…a9
=a95=512.
13.解:(1)证明:∵对任意正整数 n,有 n,an,Sn 成等差数列, ∴2an=n+Sn(n∈N*). 又 an=Sn-Sn-1(n≥2 且 n∈N*),
∴2(Sn-Sn-1)=n+Sn,即 Sn=2Sn-1+n,
∴Sn+n+2=2Sn-1+2n+2,∴Sn+n+2=2[Sn-1+(n-1)+2],
即Sn-1+Sn(+nn-+12)+2=2(n≥2 且 n∈N*),

∴{Sn+n+2}为等比数列.

(2)由(1)知{Sn+n+2}是首项为 S1+3=a1+3=4,公比为 2 的等比数列,
∴Sn+n+2=4×2n-1=2n+1.

又 2an=n+Sn, ∴2an+2=2n+1, ∴an=2n-1. 14.解:(1)当 n=1 时,a1=1,3an+1+2Sn=3a2+2a1=3?a2=13;
当 n≥2 时,3an+1+2Sn=3,3an+2Sn-1=3,两式相减可得 3(an+1-an)+2(Sn-Sn-1)
=0,即 3an+1-an=0,即aan+n 1=13. 故数列{an}是首项为 1,公比为13的等比数列,
所以 an=??13??n-1. (2)因为?n∈N*,32k≤Sn 恒成立,且 Sn=32??1-??13??n??,即32k≤32??1-??13??n??, 所以 k≤1- ??13??n. 当 n=1 时,1-??13??n取得最小值23,所以 k≤23,故实数 k 的最大值为23.
15.解:(1)当 n=1 时,a1=S1=14.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n42-(n-41)2=2n4-1, 当 n=1 时,a1=2×41-1=14.
an=2n4-1,n∈N*.
(2)证明:3(bn-an)-(bn-1-an-1)=(3bn-bn-1)-3an+an-1=n-n=0, 所以(bn-an)=13(bn-1-an-1),且 b1-a1≠0,所以{bn-an}是以 b1-a1 为首项,13为公比
的等比数列.
(3)bn=2n4-1+??b1-14??×??13??n-1.
因为数列{Tn}中只有 T3 最小,所以?????bb34<>00, ,解得-47<b1<-11,
此时,bn+1-bn=12-2×??b1-14??×??13??n>0,于是{bn}为递增数列,
所以 n≤3 时 bn<0,n≥4 时 bn>0,符合题意,故-47<b1<-11.

专题限时集训(九)

【基础演练】

1.B [解析] 因为等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,所以 Sn=n2+2n,所以Snn=n

+2,所以???Snn???的前 10 项和为 3+4+5+…+12=75.

2.B [解析] 根据等比数列的性质得 a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以 a5a6=9,所以 log3a1 +log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=5 log39=10 .

3.C [解析] a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8,而 S15=15a8,所以 S15 为定值.

4.D

[解析]

因为

an



1 n(n+2)



1 2

??1n-n+1 2??







S10



a1



a2







a10



1 2

??1-13+12-14+…+110-112??=121+12-111-112=127654.

5.6 [解析] 设数列{an}的公比为 q,因为 an>0,所以 q>0.又 a1=1,a3=4=a1q2=q2, 所以 q=2.又 Sk=11--22k=63,即 2k=64,所以 k=6.

【提升训练】

6.A [解析] 由 S35=S3992,得 a36+a37+…+a3992=(a36+a3992)+(a37+a3991)+…+(a2013 +a2015)+a2014=2a2014+2a2014+…+2a2014+a2014=3957a2014=0,所以 a2014=0,所以 a·b= 2014+ana2014=2014.
7.A [解析] 把 P,Q 的坐标代入一次函数 f(x)的解析式得 k=2,b=0,故 f(x)=2x,

所以 an=2n·2(n+1),a1n=14??1n-n+1 1??,所以 Sn=14??1-12+12-13+…+1n-n+1 1??=141-n+1 1=

4(nn+1)=265,解得 n=24.

8.B [解析] 设 f(x)=xα ,则有 2=4α ,解得 α=12,所以 f(x)=x12,所以 an= n+1+ n,

1= an

1 n+1+

= n

n+1-

n,所以 Sn=(

2-1)+(

3-

2)+…+(

n+1-

n)=

n+1-1

=10,解得 n=120.

9.D [解析] 当 n≥2 时,aann-·1-an-an1=aann· -aann++11,即aann·-1-an-a1n=aann·-aann++11,即a1n-an1-1=an1+1

-a1n.又a12-a11=12,所以数列???a1n???是以12为首项,12为公差的等差数列,所以a1n=n2,所以 an=2n, 故 a100=510.

10.D [解析] 由 an+1=4an-3n+1 可得 an+1-n-1=4an-4n,即 an+1-(n+1)=4(an -n),故数列{an-n}是首项为 a1-1=1,公比为 4 的等比数列,所以 an-n=4n-1,所以 an =4n-1+n.因为 40+41+…+4n-1=4n-3 1=(1+33)n-1=C0n3n-1+C1n3n-2+…+Cnn-130=

n

n

n

i∑=1Cin-13n-i,1+2+…+n=i∑=1i,所以数列{an}的前

n

项和可以表示为∑ i=1

(Cni-13n-i+i).

11.22001145 [解析] 直线与两坐标轴的交点坐标分别为?? n2,0??,???0,n+21???,故 Sn=

n(n1+1)=1n-n+1 1,所以 S1+S2+…+S2014=1-20115=22001145.

12.2600 [解析] 由已知可得,当 n 为奇数时,an+2-an=0;当 n 为偶数时,an+2-an =2.故当 n 为奇数时,{an}为常数数列,an=1;当 n 为偶数时,{an}是首项为 2,公差为 2 的 等差数列.

故 S100=S 奇+S 偶=50×1+50×2102=2600.
13.1306 [解析] ∵an=n-a2n,an=a2n+1-1,∴a2n+1+a2n=n+1,∴a1+(a2+a3)+(a4 +a5)+…+(a98+a99)=1+2+3+…+50=1275.又 a100=50-a50=50-(25-a25)=25+a12+ 1=26+(6-a6)=32-(3-a3)=29+(a1+1)=31,∴a1+a2+a3+…+a100=1275+31=1306.
14.解:(1)因为对任意正整数 n 有 an+1-an=2, 所以{an}是公差为 2 的等差数列.
又因为 a1=3,所以 an=2n+1. 当 n=1 时,b1=S1=4;
当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1, 对 b1=4 不成 立.
所以数列{bn}的通项公式为 bn=?????42,n+n=1,1,n≥2,n∈N*. (2)由(1)知当 n=1 时,T1=b11b2=210;
当 n≥2 时,bnb1n+1=(2n+1)1(2n+3)=12??2n1+1-2n1+3??.
所以 Tn=210+12????15-17??+??17-19??+…+
??2n1+1-2n1+3????=210+12??15-2n1+3??=210+10nn-+115,n≥2,
当 n=1 时上式仍成立, 故 Tn=210+10nn-+115,n∈N*.
15.解:(1)证明:由 2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 得an1+1-a1n=12,a11=1,
∴数列???a1n???是首项为 1,公差为12的等差数列, ∴a1n=1+12(n-1)=n+2 1 ,
故 an=n+2 1(n∈N*).
(2)b1=2,当 n≥2 时,bn=f??an1-1??=f??n2??=2n,
当 n=1 时,b1=2,也符合上式, ∴bn=2n(n∈N*), ∴bann=(n+1)2n-1, ∴Tn=2×20+3×21+4×22+…+(n+1)×2n-1,① 2Tn=2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n.② ①-②得-Tn=-n·2n, ∴Tn=n·2n. 16.解:(1)由 an+1=ana+n 3,得an1+1=ana+n 3=1+a3n,
即an1+1+12=3??a1n+12??.
又a11+12=32, ∴数列???a1n+12???是以32为首项,3 为公比的等比数列,

∴a1n+12=32×3n-1=32n,∴an=3n-2 1. (2)由(1)知 bn=2nn-1, ∴Tn=1×210+2×211+3×212+…+(n-1)×2n1-2+n×2n1-1, T2n=1×211+2×212+…+(n-1)×2n1-1+n×21n, 两式相减,得 ∴T2n=210+211+212+…+2n1-1-n×21n=2-n+2n 2, ∴Tn=4-n2+n-21 , ∴(-1)nλ <4-2n2-1对一切 n∈N*恒成立. 若 n 为偶数,则 λ<4-2n2-1,∴λ<3; 若 n 为奇数,则-λ<4-2n2-1,∴-λ<2,∴λ>-2. 综上,-2<λ<3.

专题限时集训(十)A
【基础演练】
1.C [解析] 该几何体的直观图如图所示,所以 V=13×??12×2×2??×2=43(cm3).

2.C [解析] 易知该几何体是一个直径为 2,高为 3 的圆柱上部挖去一个直径为 2 的 半球后剩下的部分,故该几何体的表面积为π ·12+2π ·3+12(4π ·12)=9π .
3.C [解析] 蚂蚁的爬行路线最短时,只能经过 A1B1,BB1,BC,CD,DD1,A1D1 的 中点,且在侧面上沿直线爬行,故正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图可能是②④,其中② 为经过 BB1 的中点的情况,④为经过 CD 的中点的情况.
4.23 3 [解析] 由三视图知该三棱锥的底面是一个顶角为 120°的等腰三角形,且该三 角形的底边长为 2 3,底边上的高为 1,则该三棱锥的底面积 S=12×2 3×1= 3,该三棱锥

的高 h=2,故该三棱锥的体积 V=13Sh=13×

3×2=2

3

3 .

【提升训练】

5.B [解析] 由题知,三棱柱的侧视图是边长分别为 3,2 的矩形,其面积为 2 3. 6.A [解析] 由三视图知,原几何体为一个正方体和正四棱锥的组合体,其中正方体的 棱长为 2,正四棱锥的底面边长为 2,高为 22-12= 3,所以该几何体的体积 V=23+13×4

×

3=8+4

3

3 .

7.B [解析] 由三视图知,该几何体为在一个直三棱柱上面截去一个三棱锥后剩下的部

分,且直三棱柱的底面是直角边分别为 3,4 的直角三角形,高为 5,所以该几何体的体积 V

=12×3×4×5-13×12×3×4×5=20(cm3).

8.D [解析] 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为 6,4,1 的长方体和一个

底面积为12×4×5=10,高为 2 的三棱柱组合而成的,其体积 V=1×4×6+10×2=44.

9.C [解析] 该几何体为底面半径为 2,母线长为 3 的圆柱的六分之一,故所求侧面积

为16×2π ×2×3+2×2×3=2π +12.

10.B [解析] 易知四面体 A′EFD 的三条侧棱 A′E,A′F,A′D 两两垂直,且 A′E=1,

A′F=1,A′D=2,把四面体 A′EFD 补成棱长分别为 1,1,2 的一个长方体,则该长方体的外

接球即为四面体 A′EFD 的外接球,所以所求球的半径 r=12

12+12+22=

6 2.

43 11. 3

[解析] 设球心到平面 ABC 的距离为 h,球的半径为 R,则球面上的点到平面

ABC 的最大距离为 h+R,由题知 R= 3.又 h=

3-??2



23×23??2=

33,所以

h+R=4

3

3 .

专题限时集训(十)B
【基础演练】
1.B [解析] 由三视图可知,该几何体的体积为12×2×2×4=8. 2.B [解析] 由三视图知该几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为 2的正 方形,四棱锥的高为 1,所以该几何体的体积 V=13× 2× 2×1=23. 3.D [解析] 由三视图知,原几何体是三棱柱和球的组合体.其中三棱柱的侧棱长为 3,
底面为边长为 2 的正三角形.球的直径为 1,则该几何体的体积为 43×22×3+43π ×??12??3=
3 3+π6 . 4.π3 [解析] 根据三视图可知该几何体是一个底面圆的半径为 1,高为 2 的圆锥的一半,
所以其体积 V=12×13·π ·12×2=π3 .
【提升训练】
5.A [解析] 该几何体为正六棱锥,其侧视图是底边长为 3,高为 3的等腰三角形, 其面积为12× 3× 3=32.
6.B [解析] 此几何体的直观图如图所示,易知其体积 V=13×12(1+4)×4×4=430.

7.B [解析] 由三视图知,该几何体为一个圆柱内挖去一个圆锥后剩下的部分,其体积 V=π ×12×1-13π ×12×1=23π .
8.C [解析] 由题可知,该几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示,该四棱锥的高为 3,底面是边长分别为 3,6 的矩形,故其体积为13×3×6×3=18.

9.

3+

6 3

[解析] 由题意可知,蛋托的高为 3,且折起的三个小三角形的顶点构成边

长为 1 的等边三角形,记为 A′B′C′,球心到平面 A′B′C′的距离 d= 1-?? 33??2= 36,所以鸡

蛋中心与蛋托底面的距离为

3+

6 3.

10.20π [解析] 设半径为 R 的球的内接直三棱柱 ABC-A1B1C1 的上、下底面外接圆的 圆心分别为 O1,O2,则球心 O 在线段 O1O2 的中点处.连接 OO1,OA,O1A,则 R2=OA2=

OO12+O1A2=1+O1A2.在△ABC 中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴ BC=2

3.又sin

BC ∠BAC

=2O1A,∴ O1A=2sin2∠3BAC=2,∴ R= 5,∴此球的表面积为 4π R2=20π .

11.π6 [解析] 根据题意知,平面 ACD1 是边长为 2的正三角形,球 O 与以点 D 为公

共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1 三边的中点,故所求截面的面积是该正三角形的内切

圆的面积.易知△ACD1 内切圆的半径是 2× 23×13= 66,则所求的截面圆的面积是π ×

? ?

66??2=π6

.

专题限时集训(十一)

【基础演练】

1.D [解析] 两点、三点或无数个点都可以是同一直线上的点,而共圆的四个公共点一 定不共线,所以正确选项为 D.
2.C [解析] 因为 b∥α,所以在 α 中必有一条直线 c 与 b 平行.因为 a⊥α,所以 a⊥c, 所以 a⊥b.
3.D [解析] ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b 或 a,b 相交或 a,b 异面;②若 b?M,a∥b, 则 a∥M 或 a?M;③a⊥c,b⊥c,则 a,b 可能平行、相交或异面;④a⊥M,b⊥M,则 a∥b.
4.D [解析] 在选项 A 中的已知条件下直线 m 与平面 β 的位置关系不确定,推不出 m⊥β; 选项 B 中,如果 α,β 不垂直,推不出 m⊥β;选项 C 中,α⊥β,m⊥α,只能推出 m∥β 或 m?β ,推不出 m⊥β;选项 D 中,因为 n⊥α,n⊥β,所以 β∥α,又 m⊥α,所以 m⊥β.故选

D. 5.A [解析] ①中,也可能直线 m?α ;②中,m,n 也可能相交或异面;③中,平面 α,
β 的关系不确定;④中,与一个平面同时垂直的两个平面也可能相交.
【提升训练】

6.C [解析] 在选项 A 的条件下,α,β 也可能相交;在选项 B 的条件下,α,β 也可能

相交;在选项 C 的条件下,由垂直于同一条直线的两个平面平行知 α∥β;在选项 D 的条件

下,α⊥β.

7.B [解析] 在选项 A 中,当 l 平行于平面 α,β 的交线时,也符合已知条件,此时 α,

β 不平行;在选项 B 中,垂直于同一条直线的两个平面平行;在选项 C 中,若 l⊥α,l∥β,

则 α⊥β;在选项 D 中,在已知条件下,l 与 β 的位置关系不确定.

8.A [解析] 如图所示,取 BD 的中点 O,连接 AO,A1O,则∠AOA1 即为二面角 A1?BD

?A

的平面角,易知

tan∠AOA1=

1= 2

2.

2

9.D [解析] ①若 m⊥α,m?β ,则 α⊥β;②若 m?α ,n?α ,m∥β,n∥β,此时只 有当 m,n 相交,α∥β; ③如果 m?α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 可能相交或 平行;④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α ,n?β ,则 n∥α 且 n∥β .
10.C [解析] 由题知 AB∥EF,EF?平面 DEF,AB?平面 DEF,所以 AB∥平面 DEF, 故 A 正确;因为 CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,所以 CD⊥平面 DAB,故 B 正确;因为 AB∥EF,AB 与 AD 显然不垂直,所以 EF 与 AD 也不垂直,所以 EF 与平面 ACD 不垂直, 故 C 错误;易知 AD⊥平面 BCD,所以 V 三棱锥 C -ABD=13S△BCD×AD=13×2×S△DFC×AD,V 三棱锥 C -DEF=13S△CDF×12×AD,所以 V 三棱锥 C -ABD=4V 三棱锥 C -DEF,故 D 正确.
11.平行四边形 [解析] 由 α∥β∥γ,BG?平面 ACF,CF?γ ,可得 BG∥CF.同理有 HE∥CF,所以 BG∥HE.同理可得,BH∥GE,所以四边形 BGEH 为平行四边形.
12.①③⑤ [解析] 因为 OA⊥BD,OC⊥BD,OA∩OC=0,所以 BD⊥平面 AOC,所 以 AC⊥BD,所以①正确;由于 CO⊥BD,若 AD⊥CO,所以 CO⊥平面 ABD,所以平面 CBD⊥ 平面 ABD,所以二面角 A-BD-C 的大小为 90°,与已知矛盾,所以②错误;由于 OC=OA=
2 2,∠AOC=60°,所以△AOC 为正三角形,所以③正确;由题知 AC=2 2,AD=CD=4, 所以 cos ∠ADC=126×+41×6-48=34≠ 43,所以④错误;由题知 O 为四面体 ABCD 的外接球的

球心,球的半径为 2 2,故其表面积是 4π (2 2)2=32π ,所以⑤正确. 13.①②③ [解析] 四棱锥 P-ABCD 的直观图如图所示,其中顶点 P 在底面上的射影为
底面正方形的 BC 边的中点.由 AB⊥BC,可得侧面 PAB⊥侧面 PBC,同理,侧面 PCD⊥侧 面 PBC,故①正确.
根据①,侧面 PAB,PCD 均为直角三角形,调整四棱锥的高,侧面 PBC 也可能为等腰 直角三角形,所以侧面中可能有三个直角三角形,故②正确.
侧面 PAD 与侧面 PBC 不可能垂直,证明如下: 假设侧面 PAD 与侧面 PBC 垂直.取 BC 中点为 E,连接 PE.因为 BC∥AD,所以 BC∥平 面 PAD.设平面 PAD∩平面 PBC=l,根据直线与平面平行的性质定理可得 BC∥l.又 PE⊥BC, 所以 PE⊥l,根据两个平面垂直的性质定理,得 PE⊥平面 PAD.又 PE⊥平面 ABCD,所以平 面 PAD∥平面 ABCD,与平面 PAD∩平面 ABCD=AD 矛盾,所以假设不成立,故侧面 PAD 与侧面 PBC 不可能垂直,③中的结论是正确的. 若 PB=2,则四棱锥的四个侧面均是等腰三角形,故④中的结论不正确.

14.解:(1)证明:∵AB=BD,且∠A=45°,∴∠ADB=45°, ∴∠ABD=90°,即 AB⊥BD.又∵平面 ABD⊥平面 BDC,且平面 ABD∩平面 BDC=BD, ∴AB⊥平面 BDC,∴AB⊥CD. 又∠DCB=90°,即 DC⊥BC,且 AB∩BC=B, ∴DC⊥平面 ABC. (2)作 BE⊥AC,垂足为点 E,连接 EF. 由(1)知平面 ABC⊥平面 ACD,又平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴BE⊥平面 ADC, ∴∠BFE 即为直线 BF 与平面 ACD 所成角.

设 CD=a,则 AB=BD=2a,BC= 3a,AC= 7a,

∴BE=2 3a,BF= 2a,FE= 2 a,

7

14

2

a

∴cos∠BFE=

14 2a



77,

∴直线

BF

与平面

ACD

所成角的余弦值为

7 7.

15.解:(1)证明:连接 BD.

在△BCD 中,BD= DC2+BC2=2=AD, 所以△ABD 为等腰三角形. 又因为点 E 是线段 AB 的中点, 所以 DE⊥AB,所以 DE⊥PE. 又因为 PE⊥EB,DE∩EB=E,所以 PE⊥平面 BCDE. 因为 CD?平面 BCDE,所以 PE⊥CD. 因为 EG 为梯形 ABCD 的中位线,且 CD⊥AD, 所以 CD⊥EG, 又 PE∩EG=E, 所以 CD⊥平面 PEG. 又因为 CD?平面 PCD,所以平面 PEG⊥平面 PCD.

(2)由(1)知平面 PEG⊥平面 PCD,

且平面 PEG∩平面 PCD=PG,

所以在 Rt△PEG 中点 E 到 PG 的距离 EM 即为点 E 到平面 PDC 的距离.因为 PE⊥平面

ABCD,所以 PE⊥EG,所以 EM=EPP·GEG=

1×32 =
12+??32??2

3 .
13

故点

A

到平面

PDC

的距离为AEDG·EM=4

13 13 .

16.解:(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 M,连接 ME.

∵AB∥DC,∴MMDB =CADB =12,

当 λ=2 时,BEEP=12.∴MMDB=BEEP,∴EM∥PD.

又∵PD?平面 EAC,EM?平面 EAC,∴PD∥平面 EAC.

(2)取 CD 的中点 N,连接 AN,建立如图所示的空间直角坐标系,设 DC=2,则 A(0,0,

0),C(1,1,0),B(0,1,0),P(0,0,1).

由P→E=λE→B,可得 E 点的坐标为??0,1+λ λ,1+1 λ??,

∴A→C=(1,1,0),A→E=??0,1+λ λ,1+1 λ??.

??x+y=0, 设平面 EAC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有???1+λ λ·y+1+1 λ·z=0,令 z=λ,则 y=-

1,x=1,所以 n=(1,-1,λ).

∵A→P=(0,0,1),∴由直线 PA 与平面 EAC 所成的角为 30°,可得|cos|<

A→P,

→ n

>|

=cos 60°=

|λ | ,解得 2+λ2

λ=

6 3.

专题限时集训(十二)A

【基础演练】

1.A 2.C

[解析] [解析]

cos

〈s1,s2〉=s|s11·||ss22|=3-55=-

35,故直线

l1,l2 所成角的余弦值是

5 3.

cos

〈n1,n2〉=n|n11·||nn22|=

-2 =- 3· 2

36,故平面

α,β

所成的锐二面角

的余弦值是

6 3.

3.C [解析] 易得平面 ABC 的一个法向量是(1,1,1),单位化得±?? 33, 33, 33??.
4.A [解析] 选项 B 中,a,b 共面不一定平行;选项 C 中,根据 a∥α,b∥β 不能得出 α,β 的关系;选项 D 中,a,b 可能共面.
5.C [解析] 因为 m∥a,所以 m=λa,m·l=λa·(α b+βc)=λ α a·b+λ β a·c=0,故
m⊥l.
【提升训练】

6.A [解析] 设棱长为 a,则|C→E|= 23a,C→E·B→D=12(C→A+C→D)·(B→C+C→D)=a42,所以 a2

cos〈C→E,B→D〉=

4 →→



|CE||BD|

63,所以直线

CE



BD

所成角的余弦值为

3 6.

7.B [解析] 设正方体棱长为 1 ,以 D 为原点建立空间直角坐标系如图所示,则
D(0,0,0),E??0,12,1??,A(1,0,0),C(0,1,0),

所以D→E=??0,12,1??,A→C=(-1,1,0),所以 cos 〈D→E,A→C〉=D→→E·→A→C=
|DE||AC|

1 2
14+1× 2



1100,则异面直线

DE



AC

所成角的余弦值为

10 10 .

8.B [解析] 当 x=2,y=-3,z=2 时,O→P=2O→A-3O→B+2O→C,则A→P-A→O=2O→A-

3(A→B-A→O)+2(A→C-A→O),即A→P=-3A→B+2A→C,所以 P,A,B,C 四点共面;反之当 P,A,

B,C 四点共面时,有A→P=mA→B+nA→C,即O→P-O→A=m(O→B-O→A)+n(O→C-O→A),即O→P=(1-

m-n)O→A+mO→B+nO→C,即 x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止 2,-3,2.故是充分

不必要条件.

9.??43,43,83?? [解析] 设 Q 点坐标为(λ,λ,2λ),其中 λ 为实数,则Q→A=(1-λ,2-λ,

3-2λ),Q→B=(2-λ,1-λ,2-2λ),Q→A·Q→B=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)
=6λ2-16λ +10=6??λ -43??2-23,当且仅当 λ=43时,Q→A·Q→B取得最小值-23,此时O→Q=

??43,43,83??.

10.36 [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,依题意可知 D??12,0,0??,C(1,1,0),

S(0,0,1),则A→D=??12,0,0??,易知A→D是平面 SAB 的一个法向量.

设平面 SCD 的一个法向量为 n2=(x,y,z).由 S→D=??12,0,-1??, D→C=??12,1,0??,

??? ?????nn22· ·DS→→DC==00,,得

2x-z=0, 2x+y=0,

令 x=2,则 y=-1,z=1,所以 n2=(2,-1,1).

设平面

SCD

与平面

SBA

的夹角为

θ,则

cosθ

=A→→D·n2=

6 3.

|AD||n2|

11.解:(1)证明:在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos 45°=1,∴BD=1,易得 AB⊥BD.
又平面 A1BD⊥平面 BDC,平面 A1BD∩平面 BDC=BD, ∴A1B⊥平面 BDC.又 DC?平面 BDC,∴ AB⊥DC. (2)在四面体 A1BCD 中,以 D 为原点,DB 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴, 过点 D 且垂直于平面 BDC 的直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), B(1,0,0),C(0,1,0),A1(1,0,1).
设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z),而B→A1=(0,0,1),B→C=(-1,1,0),
由?????nn··BB→→AC1==00,,得?????z-=x0+,y=0,令 x=1,则 y=1,∴n=(1,1,0).
设平面 DA1C 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),而D→A1=(1,0,1),D→C=(0,1,0),
由?????mm· ·DD→→AC1==00,,得?????xy11+=z01,=0,令 x1=1,则 z1=-1,
∴m=(1,0,-1).

∴cos〈n,m〉=n|n·||mm| =12,∴二面角 B -A1C?D 的大小是 60°. 12.解:(1)证明:∵CD2=BC2+BD2,∴BC⊥BD. 又∵PD⊥底面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC. 又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面 PBD. 又 BC?平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PBD.
(2)由(1)知,BC⊥平面 PBD ,∴∠PBD 即为二面角 P-BC-D 的平面角,∴∠PBD=π4 .
又 BD=2 3,PD⊥BD,∴PD=2 3. ∵底面 ABCD 为平行四边形,∴DA⊥DB. 分别以 DA,DB,DP 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示),

则 A(2,0,0),B(0,2 3,0),C(-2,2 3,0), P(0,0,2 3),

∴A→P=(-2,0,2 3),B→C=(-2,0,0),B→P=(0,-2 3,2 3).

设平面 PBC 的一个法向量为 n=(a,b,c),则有?????nn··BB→→CP==00,,即???- -22a=3b0+,2 3c=0,

令 b=1,则 c=-1,∴n=(0,1,1),



AP

与平面

PBC

所成角的正弦值为|A→ |A→PP·||nn| |=42×

3= 2

6 4.

13.解:(1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, ∴DE⊥平面 A1CD. 又∵A1C?平面 A1CD,∴A1C⊥DE.

又 A1C⊥CD,CD∩DE=D,∴A1C⊥平面 BCDE.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,2 3), B(0,3,0),E(-2,2,0),

∴A→1B=(0,3,-2 3),A→1E=(-2,2,-2 3). 设平面 A1BE 的一个法向量为 n=(x,y,z),
则有?????AA→ →11BE··nn==00,,∴???3-y-2x2+23yz-=20,3z=0,令 z= 3,则 x=-1,y=2,∴n=(-1,2,

3).

又∵M(-1,0, 3),∴C→M=(-1,0, 3),

∴cos〈C→M·n〉=C|→C→MM·||nn| =2×42

= 2

22,

∴CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 45°

(3)设线段 BC 上存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.设 P 点的坐标为(0,a,0), 则 a∈[0,3].
易知A→1P=(0,a,-2 3),D→P=(2,a,0). 设平面 A1DP 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),
则有???a2yx11- +2ay13=z10=,0,令 y1=6,则 x1=-3a,z1= 3a,∴n1=(-3a,6, 3a).
∵平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直, ∴n1·n=0, 即 3a+12+3a=0,∴a=-2. 又∵0≤a≤3, ∴线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.

专题限时集训(十二)B
【基础演练】
1.解:(1)证明:因为 PA⊥底面 ABC,所以 BC⊥PA. 又因为∠ACB=90°,所以 BC⊥AC. 因为 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. 又 BC?平面 PBC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC.
(2)取 PC 中点 D,连接 AD,DM,则 AD⊥PC. 又平面 PAC⊥平面 PBC,平面 PAC∩平面 PBC=PC, 所以 AD⊥平面 PBC, 则∠AMD 就是 AM 与平面 PBC 所成的角. 设 AC=BC=PA=a,则 AD= 22a,DM=12BC=12a, 所以 tan∠AMD=DADM= 2. 2.解:(1)证明:因为 E,G 分别为 BP,AP 的中点,所以 EG∥AB. 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AB∥CD, 所以 EG∥CD,所以 EG∥平面 PCD. 因为 E,F 分别为 BP,BC 的中点,所以 EF∥PC, 所以 EF∥平面 PCD. 又因为 EF∩EG=E,所以平面 EFG∥平面 PCD. (2)方法一:易知 AD⊥CD,又 AD⊥PD,所以 AD⊥平面 PCD. 故以 D 为原点,以 DC,DA 为 x 轴、z 轴,垂直于平面 ABCD 的直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系(如图所示).
不妨设 AD=CD=PD=2, 则 B(2,0,2),F(2,0,1),P(-1, 3,0),
所以 E??12, 23,1??,F→B=(0,0,1),E→F=??32,- 23,0??,F→D=(2,0,1).
设 m=(x1,y1,z1)是平面 BEF 的一个法向量,则
??F→B·m=0, ??z1=0, ???E→F·m=0, 所以???32x1- 23y1=0.
令 x1=1,则 y1= 3,z1=0,即 m=(1, 3,0). 设 n=(x2,y2,z2)是平面 DEF 的一个法向量,则

??F→D·n=0, ??2x2+z2=0, ???E→F·n=0, 所以???23x2- 23y2=0.

令 x2=1,则 y2= 3,z2=-2,即 n=(1, 3,-2). 设二面角 D -EF-B 的平面角的大小为 θ,



cos〈m,n〉=|mm|·|nn|=2×1+2 3

= 2

2 2.

由图可知,cos θ =- 22,故二面角 D -EF-B 的平面角的大小为34π . 方法二:取 PC 的中点 M,连接 EM,DM,则 EM∥BC,又易知 AD⊥平面 PCD,AD∥ BC,所以 BC⊥平面 PCD,所以 EM⊥平面 PCD,所以 EM⊥DM,EM⊥PC. 因为 CD=DP,所以 DM⊥PC,又 EM∩PC=M, 所以 DM⊥平面 PCB. 又因为 EF∥PC,所以 EF⊥EM, 所以∠DEM 就是二面角 D -EF-B 的平面角的补角.

不妨设 AD=CD=PD=2,则 EM=1,DM=1,
所以∠DEM=π4 , 所以二面角 D -EF-B 的平面角的大小为34π ,
【提升训练】
3.解:(1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点, 又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是△ABC 的中位线,OM∥AB. 因为 OM?平面 ABD,AB?平面 ABD, 所以 OM∥平面 ABD. (2)由题意可知,OB=OD=3.
因为 BD=3 2,所以∠BOD=90°,即 OB⊥OD, 又因为 OB⊥AC,OD⊥AC, 所以可建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,

则 A(3 3,0,0),D(0,3,0),B(0,0,3),

所以A→B=(-3 3,0,3),A→D=(-3 3,3,0).

设平面 ABD 的一个法向量为 n=(x,y,z),

??A→B·n=0, ?-3 3x+3z=0,

则有???A→D·n=0,

即? ?-3

3x+3y=0,

令 x=1,则 y= 3,z= 3,所以 n=(1, 3, 3).

因为 AC⊥OB,AC⊥OD,所以 AC⊥平面 BOD,

所以平面 BOD 的法向量与 AC 平行,

所以平面 BOD 的一个法向量为 n0=(1,0,0).

cos〈n0,n〉

=n|n00·||nn| =1×1

= 7

77,

因为二面角 A-BD-O 是锐角,

所以二面角

A-BD-O

的余弦值为

7 7.

(3)设 N(x1,y1,z1).因为 N 是线段 BD 上的一个动点,所以B→N=λ B→D,即(x1,y1,z1 -3)=λ(0,3,-3),

所以 x1=0,y1=3λ,z1=3-3λ, 则 N(0,3λ,3-3λ),由 C(-3 3,0,0),得C→N=(3 3,3λ,3-3λ).

由 CN=4 2,得 27+9λ2+(3-3λ)2=4 2, 即 9λ2-9λ+2=0,解得 λ=13或 λ=23, 所以 N 点的坐标为(0,1,2)或(0,2,1). 4.解:(1)证明:以 D 为原点,以 DA,DC,DE 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 (如图所示),

则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1), ∴B→M=(-2,0,1),平面 ADEF 的一个法向量D→C=(0,4,0). ∵B→M·D→C=0,∴B→M⊥D→C,即 BM∥平面 ADEF.

(2)依题意设 M??0,t,2-2t??(0<t<4).

设平面 BDM 的一个法向量为 n1=(x,y,z),
则D→B·n1=2x+2y=0,D→M·n1=ty+??2-2t ??z=0.

令 y=-1,则 n1=??1,-1,42-t t??.

平面 ABF 的一个法向量为 n2=(1,0,0),

∵|cos〈n1,n2〉|

|=|n|n11·||nn22| |=

2+(1 44-t2t)2= 66,解得 t=2,

∴M(0,2,1)为 EC 的中点,∴S△DEM=12S△CDE=2,

又点 B 到平面 DEM 的距离 h=2,

∴V 三棱锥 M-BDE=13S△DEM·h=43.

5.解:(1)证明:在直角梯形 ABCD 中,可算得 AD= 3,BC=2 3,CE=2,EB=4. 根据勾股定理可得 BC⊥EC,即 B′C⊥EC,

又 B′C⊥DE,DE∩CE=E,所以 B′C⊥平面 CDE. (2)以 C 为原点,CE 为 y 轴,CB′为 z 轴,垂直于平面 B′CE 的直线为 x 轴建立空间直角 坐标系,如图所示,则 C(0,0,0),B′(0,0,2 3),D( 3,1,0),E(0,2,0). 作 A′H⊥DE 并交 DE 于点 H.因为平面 A′DE⊥平面 CDE,所以 A′H⊥平面 CDE,且 A′H
= 23,

所以 H?? 43,74,0??,A′?? 43,74, 23??.

易知平面 CDE 一个的法向量为 n1=(0,0,1). 设平面 B′A′D 的一个法向量为 n2=(x,y,z),

又B′→D=( 3,1,-2 3),B′→A′=?? 43,74,-32 3??,

?? 3x+y-2 3z=0,

所以? ??

43x+74y-3 2

3z=0,令

z=

3,则 x=43 3,y=2,

所以 n2=??43 3,2, 3??,

故 cos〈n1,n2〉=|nn11|··|nn22|=337 37.

故平面 B′A′D 与平面 CDE 所构成的锐二面角的余弦值为337 37.

专题限时集训(十三)

【基础演练】

1.A [解析] 根据圆 C 过坐标原点,可知一定不是选项 A 中的方程. 2.A [解析] 圆 O 的圆心坐标为(0,2),半径为 2,圆心到直线 x+y=5 的距离 d= 3 =
2

92> 4=2,故直线与圆的位置关系是相离. 3.D [解析] 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90°,符合要求;当 a≠-1 时,直线 l
的斜率为-a+a 1,只要-a+a 1>1 或-a+a 1<0 即可,解得-1<a<-12或 a<-1 或 a>0.

综上可知,实数 a 的取值范围是??-∞,-12??∪(0,+∞).
4.1 [解析] 由直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 平行可得 a=6,所以 l2 的方 程为 3x+4y+1=0,故两条直线间的距离 d=|-342+-412|=1.

5.± 2 [解析] 因为圆 O 上恰有三个点到直线 l 的距离为 1,所以圆心(0,0)到直线 x

+y=m 的距离为 1,即 m=± 2.
【提升训练】

6.D [解析] 抛物线 x2=4y 的焦点坐标为(0,1).根据圆的性质可知,直线 l 垂直于点 (0,1)与圆心(-1,2)的连线,点(0,1)与点(-1,2)的连线的斜率为-1,所以直线 l 的斜率 为 1,又直线 l 过点(0,1),所以其方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.
7.A [解析] 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-2),即 kx-y-2k=0.圆

心(2,3)到直线 l 的距离 d=

3 ,故 k2+1

2=2

9-k2+9 1,解得

k=±

2 4.

8.D [解析] 圆 x2+y2-2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1,直线 AB 的方程为 x-y+3

=0.圆心到直线 AB 的距离 d=2 2,故圆 x2+y2-2x=0 上的点到直线 AB 的距离的最小值为

2

2-1.因为|AB|=3

2,所以△PAB 面积的最小值为12×(2

2-1)×3

2=6-3

2

2 .

9.D [解析] 由题意可知,圆心(0,0)到直线 y=x+t 的距离 d= |t| .设所截的弦长为 l, 2

则??2l ??2+d2=8,故

l2=32-2t2≥??4

3

2??2=392,解得-8

3

2≤t≤8

3

2 .

10.D

[解析] 由题意可知,圆心到直线的距离 d=

|c| = a2+b2

22.设所截的弦长为

l,则

??2l ??2+d2=12,即 l=2 12-d2= 2.

11.x2+(y-2)2=3 [解析] 易知双曲线的上焦点坐标为(0,2),渐近线方程为 x± 3y=

0.根据题意,所求圆的半径 r=2 2 3= 3,故所求圆的方程为 x2+(y-2)2=3.
| | 12.2 [解析] 由 A,B,C 均在圆上,且O→A+O→B=O→C,知四边形 OACB 为菱形.又 O→B



a,所以圆心到直线

x+y-1=0

的距离等于

2a,即

1= 2

2a,解得

a=2.

13.18 [解析] 设 P(x0,y0),则 E??x0,1+1 λy0??,直线 PA 的方程为 y=x0y+0 3(x+3)①,
1 直线 BE 的方程为 y=1x+0-λy30(x-3)②.

由①②得 y2=(λ+1)y(20 x20-9)(x2-9).

将 y20=9-x20代入,得x92+

y2 9

=1.

1+λ

故点 C 在以 AB 为长轴的椭圆上,当 M,N 为此椭圆的焦点时,|CM|+|CN|为定值 2a=6,

此时,a=3,c=1,b= 1+9 λ,

由 a2-b2=c2 得 9-1+9 λ=1,解得 λ=18.
14.解:由已知易得 F1(-1,0),F2(1,0),A(0,-1).设点 P(x1,y1), 则|PF2|2=(x1-1)2+y21=(x1-1)2+1-x221=12(x1-2)2,∴|PF2|= 2- 22x1,- 2≤x1≤ 2.

(1)圆 M 的面积为π8 ,∴π8 =π8 (x1-2)2, 解得 x1=1,或 x1=3(舍去),
∴P??1, 22??或 P??1,- 22??,

∴PA 所在直线的方程为 y=??1+ 22??x-1 或 y=??1- 22??x-1.

(2)∵ 直 线 AF1 的 方 程 为 x + y + 1 = 0 , ∴ 点 M ??x1+2 1,y21?? 到 直 线 AF1 的 距 离 为

??x1+2 1+y21+1??=
2

22-

2 4

x1



化简得

y1=-

1



2x1

,联立

??y1=-1-2x1, ???x221+y12=1, 解得

???x1=0,或 ??y1=1

?x1=-89, ??y1=79.

当 x1=0 时,可得 M??12,-12??,

∴圆 M 的方程为??x-12??2+??y+12??2=12;

当 x1=-89时,可得 M??118,178??,

∴圆 M 的方程为??x-118??2+??y-178??2=116692.

(3)圆 M 始终与以原点为圆心,半径为 r1= 2(长半轴)的圆(记作圆 O)相切. 证明:∵|OM|= (x1+4 1)2+y412= (x1+4 1)2+14-x821= 22+ 42x1,

又圆 M 的半径 r2=|MF2|= 22- 42x1,∴|OM|=r1-r2,
∴圆 M 与圆 O 相内切. 15.解:(1)设 M(x,y),则E→M=(x+2,y),F→M=(x-2,y), ∴ E→M·F→M=(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=-3, 故曲线 C 的方程为 x2+y2=1. (2)∵Q 为切点,∴PQ⊥OQ. 由勾股定理,得|PQ|2=|OP|2-|OQ|2. 由|PQ|=|PA|,得(a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)2, 化简得 2a+b-3=0,即 b=-2a+3.

设圆 P 的半径为 R,∵圆 P 与曲线 C 有公共点, ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,即 R≥||OP|-1|且 R≤|OP|+1.
|OP|= a2+b2= a2+(-2a+3)2= 5??a-65??2+95,
故当 a=65时,|OP|min=3 5 5,此时 b=-2a+3=35,
Rmin=3 5 5-1,
故所求圆 P 的标准方程为??x-65??2+??y-35??2=??35 5-1??2.
16.解:(1)设动点 P(x,y).因为 tan∠PAB·tan∠PBA=34,
所以-x+y 2·x-y 2=34(x≠±2), 整理得x42+y32=1(x≠±2). 故动点 P 的轨迹方程为x42+y32=1(x≠±2). (2)设点 P(x0,y0),则x420+y302=1(-2<x0<0). 设切线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,则过点 P 的圆 C 的切线 PM 的方程是 y-y0=k1(x -x0), 令 x=0,得 yM=y0-k1x0,同理可得 yN=y0-k2x0. 设过点 P 的圆 C 的切线斜率为 k,则|k(1-1x+0)k2+y0|=1, 即 k2(x02-2x0)+2ky0(1-x0)+y20-1=0, 所以 k1+k2=-2yx020(-12-x0x0),k1·k2=xy20-20-21x0, 所以|MN|=|yM-yN|=|x0||k1-k2|=
|x0| (k1+k2)2-4k1k2= xx00--62= 1-x0-4 2.
因为-2<x0<0,所以|MN|的取值范围是( 2, 3).

专题限时集训(十四)

【基础演练】

1.A [解析] 由题意易知椭圆的焦点在 x 轴上,可求得椭圆的一个焦点为(-2,0),则 m=22+2=6,故椭圆 C 的长轴长为 2 6.

2.A

[解析] 由题意知ba=2,所以 e=ac=

a2+b2= a

1+??ba??2= 5.

3.D [解析] 易知 2a=2,即 a=1,所以 c= 2,所以该双曲线的离心率 e=ac= 2.
4.B [解析] 易知圆 x2+y2-4x-5=0 与 x 轴的交点为(-1,0),(5,0).由于双曲线 中 c>a=3,所以 c=5,所以 m=25-9=16,所以双曲线方程为x92-1y62 =1,故其渐近线方程

为 y=±43x.

5.34 [解析] 设抛物线的焦点为 F,要使线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离最小,则|BH|

+|AE|最小,即|AF|+|BF|最小,又|AF|+|BF|≥|AB|=2,当且仅当 A,B,F 共线时取等号, 所以当线段 AB 过焦点 F 时,AB 的中点 M 到 y 轴的距离最小,最小值为|A2B|-14=1-14=34.

【提升训练】

6.B [解析] 设椭圆方程为ax22+by22=1(a>b>0),且 F1(c,0),F2(-c,0),c2=a2-b2.设 点 P(x,y),由 PF1⊥PF2 得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得 x2+y2=c2,与ax22+by22=1(a>b>0)

联立得 x2=(2c2-a2)ac22≥0,解得 e2≥12.又 0<e<1,所以 22≤e<1.

7.B [解析] 由题可知,直线 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线.设抛物线的焦点为
F(1,0),则动点 P 到直线 l2 的距离等于|PF|,故动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最
小值即为焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是|4-05+6|=2. 8.A [解析] 由△ABE 为锐角三角形可知,只需∠AEF<45°即可,即|AF|<|EF|?ba2<a+c,

化简得 e2-e-2<0?1<e<2.

9.C [解析] 取 PF1 的中点 M,连接 MF2.∵ |PF2|=|F1F2|,

∴ F2M⊥PF1,∴ |PM|2+|F2M|2=|PF2|2.∵ |PF1|-|PF2|=2a,∴ |PF1|=2a+2c,∴ (a+

c)2+(2a)2=(2c)2,易得 c=53a,∴ e=53.

10.D [解析] 设 P 点坐标为??xp,2x2Pp??,Q 点坐标为??xQ,2xP2Q??,

∵A,P,Q 三点共线,∴kPA=kQA,即2xp2Px+P 1=2x2Qpx+Q 1,



0



2x2Pp+1 xP



2x2Qp+1 xQ



x2P+2p 2pxP



x2Q+2p 2pxQ



x2PxQ+2pxQ-xpxQ2 -2pxP 2pxPxQ



(xP-xQ)2p(xpxxQPxQ-2p).

∵xP≠xQ,∴xPxQ-2p=0,



kPB



kQB



2xp2P -1 xP



2x2Qp-1 xQ



x2P-2p 2pxP



x2Q-2p 2pxQ



x2PxQ-2pxQ+xPx2Q-2pxP 2pxPxQ



(xP+xQ)2p(xPxxQPxQ-2p)=0.又 kBP·kBQ=-3,∴kBP= 3,kBQ=- 3,∴∠BNM=∠BMN

=π3 ,

∴∠MBN=π3 .

11.(0,-1) [解析] 易知 F(-1,0),设右焦点为 E(1,0).根据椭圆定义知,|PF|= 2a-|PE|,所以|PQ|+|PF|=|PQ|+(2a-|PE|)=2a+(|PQ|-|PE|).易知当 P 为 QE 的延长线与 椭圆的交点时,|PQ|-|PE|取最大值,即|PQ|+|PF|取最大值.此时直线 QE 的方程为 y=x-1,
与椭圆方程联立,解得 x=0 或 x=43(舍去),所以点 P 的坐标为(0,-1).

12.±1 [解析] 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),
由O→B=2O→A,得 x2=2x1,y2=2y1. ∵点 B 在椭圆 C2 上,∴1y622 +x422=1,∴y421+x21=1①. 又∵点 A 在椭圆 C1 上,∴x421+y21=1②.
由①②可得yx11=±1,∴射线 OA 的斜率为±1.
13. 5 [解析] 设切点为 P(x0,x20+1),斜率为 y′=2x0,则切线方程为 y-x20-1=2x0(x -x0),整理得 y=2x0x-x20+1.因为双曲线的焦点在 x 轴上,切线与双曲线的渐近线重合,所 以切线过原点,将(0,0)代入切线方程得 x0=±1,所以切线的斜率 k=±2,所以ba=2,所以

e=ac= 1+??ba??2= 1+4= 5.

14.解:(1)由已知得 2c=2 3,ac= 23,

解得 a=2,c= 3,所以 b2=a2-c2=1, 故椭圆的方程为x42+y2=1.
(2)由(1)得,过 B 点的直线方程为 y=kx+1.
由???x42+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0, ??y=kx+1,
所以 xD=-1+8k4k2,所以 yD=11- +44kk22,

依题意知 k≠0 且 k≠±12. 因为|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,所以|BE|2=|BD|·|DE|, 所以 b2=(1-yD)·|yD|,即(1-yD)·|yD|=1. 当 yD>0 时,y2D-yD+1=0,无解;
当 yD<0 时,y2D-yD-1=0,解得 yD=1-2 5,

所以11- +44kk22=1-2

5,解得 k2=2+4

5 .

故当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,k2=2+4

5 .

15.解:(1)依题意有 c=2,ac= 36,可得 a2=6,b2=2. 故椭圆方程为x62+y22=1.

(2)易知直线 l 的方程为 y=k(x-2).

??y=k(x-2),

联立???x62+y22=1,

消去 y 并整理得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=31k22+k21,x1x2=132kk22+-16,

故|AB|=

1+k2|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=2

6(k2+1) 3k2+1 .

设 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0=3k62k+2 1,y0=-3k22+k 1.

因为直线

MP











1 k





k2k+2 1·3(3kk22++11).

xP = 3 , 所 以 |MP| =

1+k12 · |x0-xP| =

因为△ABP 为等边三角形,所以|MP|= 23|AB|,

即 k2k+2 1·3(3kk22++11)= 23·2 63(k2k+2+1 1), 解得 k=±1. 故直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0.

?ac= 23,

?? 16.解:(1)由题意得

a32+41b2=1,解得 a=2,b=1. a2=b2+c2,

故椭圆 E 的方程为x42+y2=1.

(2)①证明:因为直线 l 与圆 C: x2+y2=R2(1<R<2)相切于点 A,

所以 R=

|t| , 1+k2

即 t2=R2(1+k2)(☆).

??y=kx+t, 联立???x42+y2=1,消去 y 并整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,

因为直线 l 与椭圆 E 只有一个公共点 B,所以 Δ=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2

+1)=0,

即 4k2-t2+1=0(★).

由(☆)(★)得 k2=R4-2-R12.

②设 B(x0,y0),由 k2=R4-2-R12,得 t2=43-RR2 2,

由韦达定理得,x02=14+t2-4k42=16R32R-2 16.

因为点 B(x0,y0)在椭圆 E 上, 所以 y20=1-14x20=4- 3RR2 2,
所以|OB|2=x20+y20=5-R42. 在直角三角形 OAB 中, |AB|2=|OB|2-|OA|2=5-R42-R2=5-??R42+R2??.
因为R42+R2≥4,当且仅当 R= 2∈(1,2)时取等号,
所以|AB|2≤1,所以|AB|max=1.

专题限时集训(十五)A
【基础演练】
1.D [解析] 设满足条件的点的坐标为(x,y),则 x2+y2=2|y|,整理得 x2-3y2=0.
2.B [解析] 直线 x+2=0 为抛物线 y2=8x 的准线,根据抛物线的定义知,所作圆的圆 心到准线的距离等于圆心到焦点的距离,故这些圆必过定点(2,0).
3.A [解析] 设双曲线的一条渐近线方程为 bx+y=0,根据题意有 12+b2≥1,即 1+b2 ≤2,所以双曲线的离心率 e=ac= 1+b2≤2,又 e>1,所以该双曲线离心率的取值范围是(1, 2].
4.[3,+∞) [解析] 如图所示,过 M 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为 P.根据抛物线
的定义知,|MF|=|MP|.|MF|+|MN|=|MP|+|MN|≥|M0P0|+|M0N|=|P0N|=3,故|MF|+|MN|的
取值范围是 [3,+∞).
5.2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y21=4x1,y22=4x2.故O→A·O→B=x1x2+y1y2=(y11y62)2
+y1y2=-4,即(y1y2)2+16y1y2+64=0,解得 y1y2=-8.故 S△OFA·S△OFB=12|y1|×12|y2|=14|y1y2|
=2.
【提升训练】
6.A [解析] 根据题意有||PA1|-|PA2||=2 3<|A1A2|=4,所以圆心 P 的轨迹是以 A1(-2, 0),A2(2,0)为焦点,实轴长为 2 3的双曲线,所以 b2=c2-a2=1,故所求轨迹方程为x32-y2 =1.
7.D [解析] 易知 F1(- 6,0).设 Q(x0,y0),P(x,y),则(x,y)=12(x0- 6,y0),得 x0=2x+ 6,y0=2y.代入已知椭圆方程得(2x+16 6)2+(21y0)2=1,此方程即为点 P 的轨迹 方程,该方程表示的曲线是椭圆,故点 P 的轨迹为椭圆.
8.B [解析] 设直线 F1M 与 PF2 交于点 N,如图所示,由于F→1M·M→P=0,所以 F1M⊥
PM,故点 F1,N 关于直线 PM 对称,所以 M 为线段 F1N 的中点,且|PN|=|PF1|.在△F1F2N
中,|OM|=12|NF2|=12||PN|-|PF2||=12||PF1|-|PF2||=12|8-2|PF2||=|4-|PF2||.由于 4-2 2<|PF2|
| | <4+2 2且|PF2|≠4,所以 0<|4-|PF2||<2 2,即 O→M 的取值范围是(0,2 2).

9.A [解析] 根据椭圆定义,|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=12.|AF2|+|BF2|的最大值为 10, 则|AB|的最小值为 2,故|AB|min=2ab2=23m=2,解得 m=3.
10.3 [解析] 易知 F(1,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).根据已知可得x1+x32+x3

=1,即 x1+x2+x3=3.故 S12+S22+S23=14(y21+y22+y23)=14(4x1+4x2+4x3)=3.

11.(1,3] [解析] 设 F(c,0),A(-a,0),则圆心坐标为(c,0),半径为 a+c.设双曲

线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该渐近线的距离 d=

|bc| = b2+a2

b,故|PQ|



2 (a+c)2-b2≥2b,整理得(a+c)2≥2b2,即 c2-2ac-3a2≤0,不等式两边同时除以 a2, 得 e2-2e-3≤0,解得-1≤e≤3.又 e>1,所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3].

12. 3 [解析] 由已知得点 M 在以 F 为圆心,半径为 1 的圆上,MP 为该圆的切线,如

图所示,|PM|= |PF|2-|MF|2= |PF|2-1.因为|PF|的最小值为 2,所以|PM|的最小值为 3.

13.2 13 [解析] 抛物线 y2=-8x 的准线方程为 x=2,设点 O 关于直线 x=2 的对称点
为 B(4,0),则|PO|=|PB|,所以|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|.设 A(x0,y0),则|AF|=2-x0=4, 得 x0=-2,代入抛物线方程得 y0=±4,即 A(-2,±4),所以|AB|= (-2-4)2+(±4-0)2
= 52=2 13.故|PA|+|PO|的最小值是 2 13. 14.解:(1)设动点 N(x,y),A(x0,y0).因为 AM⊥x 轴于点 M,所以 M(x0,0).
设圆 C1 的方程为 x2+y2=r2,由题意得 r= |31+5|4=3,所以圆 C1 的方程为 x2+y2=9.
因为O→N= 33O→A+??1- 33??O→M,
所以(x,y)= 33(x0,y0)+??1- 33??(x0,0), 所以?????xy= =x303,y0,即???xy00= =x,3y.
将 A(x, 3y)代入圆 C1 的方程 x2+y2=9,得动点 N 的轨迹方程x92+y32=1. (2)由题意可设直线 l:2x+y+m=0,设直线 l 与椭圆x92+y32=1 交于 B(x1,y1),D(x2,y2) 两点. 联立?????yx= 2+-3y22x=-9m,,得 13x2+12mx+3m2-9=0,

所以

Δ = 144m2 - 4×13(3m2 - 9)>0 , 解 得

m2<39 , 故

x1



2

= -12m±

468-12m2 26



-6m± 117-3m2

13

.

又因为点 O 到直线 l 的距离 d=|m|,BD= 5

5·|x1-x2|=

5×2

117-3m2, 13

所以

S△OBD

=12×|m5|× 5×2 11173-3m2= m2(11173-3m2)= 3m2(1339-m2)≤32 3(当且仅当 m2=39 -m2,即 m2=329时等号成立),

所以△OBD

面积的最大值为3

2

3 .

15.解:(1)连接 BP.由题意知 MN 是线段 BP 的垂直平分线,于是|AP|=|AM|+|MP|=|MA|

+|MB|=2 2>|AB|=2,
所以点 M 的轨迹是以点 A,B 为焦点,半焦距 c=1,长半轴 a= 2的椭圆,则短半轴 b = a2-c2=1,故点 M 的轨迹方程是x22+y2=1.
(2)设 F(x1,y1),H(x2,y2).由???x22+y2=1, ??y=kx+ k2+1(k>0),

消去 y 得(2k2+1)x2+4k k2+1x+2k2=0,则 Δ=8k2>0,
x1+x2=-4k2k2k+2+1 1,x1x2=2k22k+2 1. O→F·O→H=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ k2+1)(kx2+ k2+1)=(k2+1)x1x2+k +k2+1=
(k2+1)2k22k+2 1-k k2+1·4k2k2k+2+1 1+k2+1=2kk22++11, 故有23≤2kk22++11≤34,即12≤k2≤1,

k2+1(x1+x2)

又由 k>0,解得 22≤k≤1.
16.解:(1)由 e2=ac22=a2-a2 b2=12,可得 a2=2b2, 所以椭圆 E 的方程为2xb22+by22=1.

代入点??-1,- 26??,可得 b2=2,所以 a2=4,
故椭圆 E 的方程为x42+y22=1.
(2)由 x-my-t=0,得 x=my+t,把它代入椭圆 E 的方程得
(m2+2)y2+2mty+t2-4=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
y1+y2=-m22m+t2,y1y2=mt22-+42,

故 x1+x2=m(y1+y2)+2t=m24+t 2, x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=2tm2-2+4m2 2.
因为以 MN 为直径的圆过点 A,所以 AM⊥AN,





→ AM

·

→ AN



(x1+2,y1)

·

(x2+2,y2)



x1x2



2

(x1+x2)



4



y1y2



2t2-4m2 m2+2



2×m24+t 2+4+mt22-+42=3t2m+2+8t+2 4=(t+m2)2(+3t2+2)=0.

又因为 M,N 均与 A 不重合,所以 t≠-2,所以 t=-23,

故直线 l 的方程是 x-my+23=0,直线 l 过定点 T??-23,0??.由于点 T 在椭圆内部,所以满

足判别式大于 0,所以直线 l 过定点 T??-23,0??.

专题限时集训(十五)B

【基础演练】

1.解:(1)由已知得抛物线 C 的焦点 F(1,0),易知直线 l 的斜率存在,

设直线 l 的斜率为 k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

AB 的中点为 M(x0,y0),

??? 则

xy00= =xy11+ +22 xy22, . 由?????yy1222= =44xx12, ,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),

所以 2y0k=4.又 y0=2,所以 k=1. 故直线 l 的方程是 y=x-1.

(2)设直线 l 的方程为 x=my+1,

与抛物线的方程联立得?????xy= 2=m4yx+,1, 整理得 y2-4my-4=0, 所以有 y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0,

|AB|= m2+1|y1-y2|= m2+1 (y1+y2)2-4y1y2=4(m2+1), 所以 4(m2+1)=20,解得 m=±2,

所以直线 l 的方程为 x=±2y+1,即 x±2y-1=0.

2.解:(1)设 M(x,y),则 kMA·kMB=x+y 3·x-y 3=-23(x≠± 3), 化简得x32+y22=1,∴轨迹 C 的方程为x32+y22=1(x≠± 3).

(2)设 l:x=my+1,O 到 l 的距离 d=

1, 1+m2

∴|PQ|=2 5-1+1m2∈[4, 19], ∴0≤m2≤3. 将 x=my+1 代入轨迹 C 的方程并整理得(2m2+3)y2+4my-4=0. 设 R(x1,y1),S(x2,y2),则 y1+y2=-2m42m+3,y1y2=-2m24+3, ∴|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= (2m162+m23)2+2m126+3,

∴S△F′RS=12|y1-y2|·|FF′|=4

3(m2+1) (2m2+3)2.

设 m2+1=t∈[1,4],则 f(t)=4t+1t 在区间[1,4]上单调递增,

∴f(t)∈??5,645??,

∴S△F′RS=4

(2t+3t 1)2=

43 ,
4+??4t+1t ??

∴△F′RS

的面积的最小值为8

9

3,最大值为4

3

3 .

3.解:(1)因为椭圆 C 经过点 A(0,-1),所以 b=1.

因为 e=ac=

a2-1= a

23,所以

a=2,

所以椭圆 C 的方程为x42+y2=1.

(2)①若过点??0,35??的直线的斜率不存在,此时 M,N 两点中有一点与 A 点重合,不满足
条件,所以直线 MN 的斜率存在. 设直线 MN 的斜率为 k,则直线 MN 的方程为 y=kx+35. 把 y=kx+35代入椭圆 C 的方程得(1+4k2)x2+524 kx-6245=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),
则 x1+x2=-5(12+4k4k2),x1·x2=

-25(16+4 4k2),所以 y1+y2=k(x1+x2)+65=5(1+6 4k2), y1·y2=k2x1·x2+35k(x1+x2)+295=2-5(1010+k24+k29). 因为 A(0,-1),所以A→M·A→N=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)=x1x2+y1y2+(y1+y2)+1=- 25(16+4 4k2)+2- 5(101+0k24+k29)+5(1+6 4k2)+1=0. ②由①知∠MAN=90°,如果△AMN 为等腰直角三角形,设 MN 的中点为 P,则 AP⊥MN,
且 P??-5(11+2k4k2),5(1+3 4k2)??. 若 k=0,则 P??0,35??,显然满足 AP⊥MN,此时直线 MN 的方程为 y=35;
若 k≠0,则 kAP=-201k22+k 8=-1k,解得 k=± 55,所以直线 MN 的方程为 y=± 55x+35,
即 5x-5y+3=0 或 5x+5y-3=0. 综上所述,直线 MN 的方程为 y=35或 5x-5y+3=0 或 5x+5y-3=0.
【提升训练】

4.解:(1)设 F2(c,0),则cc- +1212=13,所以 c=1.

又因为离心率 e=ac= 22,则 b=1,所以 a= 2,则 b=1, 所以椭圆 C 的方程为x22+y2=1.

(2)由(1)知 F2(1,0). 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程为 x=-12,

此时 P(- 2,0),Q( 2,0),所以F→2P·F→2Q=-1. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,

M??-12,m??(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

??? 由

xx221222+ +yy2122= =11, ,得(x1+x2)+2(y1+y2)·yx11- -yx22=0,

即-1+4mk=0,故 k=41m.

此时,直线 PQ 斜率为-4m,

则直线 PQ 的方程为 y-m=-4m??x+12??,即 y=-4mx-m.设 P(x3,y3),Q(x4,y4).

??y=-4mx-m,

联立???x22+y2=1,

消去 y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0,

所以 x3+x4=-321m62m+2 1,x3x4=322mm22-+21,

所以F→2P·F→2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)+(4mx4+m)=(1+ 16m2)x3x4+(4m2-1)(x3+x4)+1+m2=(1+16m322m)2(+21m2-2)+(4m2-312)m2(+-1 16m2)+1
+m2=1392mm22- +11.

令 t=1+32m2,则F→2P·F→2Q=3129-3521t.

将 x=-12代入椭圆 C 的方程得 y2=78,故 m2<78,所以 1<t<29,所以-1<F→2P·F→2Q<213225.

综上所述,F→2P·F→2Q的取值范围为??-1,122352??.

5.解:(1)由 P??1,32??在椭圆 C 上,得a12+49b2=1.
由题知 a=2c,则 a2=4c2,b2=3c2,
所以 c2=1,a2=4,b2=3. 故椭圆 C 的方程为x42+y32=1.

(2)由题意可设 AB 的斜率为 k,
则直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 将 y=k(x-1)代入 3x2+4y2=12 并整理, 得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 x1+x2=4k82k+2 3,x1x2=4(4kk22+-33).

在方程 y=k(x-1)中令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k),

从而 k1=xy11--213,k2=yx22- -231,k3=34k--132=k-12.

因为 A,F,B 三点共线,所以有 k=kAF=kBF,

即x1y-1 1=x2y-2 1=k,

所以

k1



k2



y1-23 x1-1



y2-23 x2-1



y1 x1-1



y2 x2-1



3 2

??x1-1 1+x2-1 1??



2k



32·x1x2-x(1+x1x+2-x22)+1=2k- 32·4(4kk22+-433k8)2k+2-3-4k822k+2 3+1=2k-1.

又 k3=k-12,所以 k1+k2=2k3.

故存在常数 λ=2,使得 k1+k2=λk3.

专题限时集训(十六)

【基础演练】

1.C 2.A

[解析]

由???a2+S3=4a1+4d=-4,解得???a1=-3,

??a4=a1+3d=3,

??d=2.

[解析] ∵b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),又(b+λa)⊥c,∴ (b+λa)·c=0,

即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ =0,解得 λ=-131.

3.D [解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=2x,2c=|F1F2|= 3x.由椭圆定义得 3x=2a,所以 e

=22ac=

33xx=

3 3.

4.A [解析] 因为函数 f(x)=x2-x+a(a>0)的对称轴为 x=12,所以 f(0)=a>0,画出函数 f(x)的图像,如图所示.由 f(m)<0?0<m<1?m-1<0?f(m-1)>0.

5.30° [解析] 根据正弦定理得 c=2 3b,将其代入 a2-b2= 3bc,得 a= 7b.根据余 弦定理得 cos A=b2+2cb2c-a2=b2+2b1·2b22-3b7b2= 23.又 0°<A<180°,所以 A=30°.
【提升训练】
6.A [解析] 令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),则 f(0)=0.再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(- x),∴f(-x)=-f(x),
又定义域关于原点对称,∴f(x)为奇函数. 设-1<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x)为奇减函数. ∵f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2). ∵f(x)为函数,∴f(1-a)<f(a2-1). 又∵f(x)在区间(-1,1)上为减函数,
??1-a>a2-1, ∴?-1<1-a<1,解得0<a<1.
??-1<a2-1<1,
7.C [解析] 易知当 x∈(-∞,-a)时,函数 f(x)单调递减,当 x∈(-a,+∞)时,函
数 f(x)单调递增,x=-a 为 f(x)的最小值点.所以,当 a≥0 时,M(a)=f(1)=|1+a|=1+a; 当 a<0 时,M(a)=f(-1)=|-1+a|=-(-1+a)=1-a.所以 M(x)=?????11- +xx, ,xx<≥00,. 在同一坐标 系中画出 y=M(x)和 y=|x2-1|的图像,如图所示,由图像可知两个函数的图像有 3 个不同的
公共点,所以函数 g(x)有 3 个零点.

8.B

????? [解析] 由已知有

2a-b+1≥0,

a-3b+1≤0,

a>0,

作出可行域(如图所示).

b>0,

令 d= (a-1)2+b2,则 d 的最小值为点(1,0)到直线 a-3b+1=0 的距离,此时 dmin= 510,所以(a-1)2+b2 的最小值为25.

9.D [解析] 易知 F(x)为奇函数,则零点关于 y 轴左右对称,而函数 y=f(x)的图像与函 数 y=sin x 的图像在区间(0,π ]上有 2 个交点,所以在区间[-π ,0)上也有 2 个交点.又 F(0) =0,所以函数 F(x)在区间[-π ,π ]上的零点个数为 5.
10.D [解析] 对于①,区间[-1,0],[0,1]为 f(x)=sinπ2 x 的两个“可等域区间”; 对于②,根据图像可判断区间[-1,1]是其唯一的“可等域区间”;对于③,根据图像可判 断区间[0,1]是其唯一的“可等域区间”;④f(x)=log2(2x-2)无“可等域区间”.
11.B [解析] 当函数 g(x)=x3+t 过点(2,2)和点(-2,-2)时是两种极端情况,分别求 出 t=-6,t=6,所以 t 的取值范围是(-6,6).
12.[0,5) [解析] 由 x,y 的约束条件作出可行域,如图中阴影区域所示.令 u=2x- 2y-1,则 y=x-u+2 1,先画出直线 y=x,再平移直线 y=x,易知当直线分别经过点 A(2,
-1),B??13,23??时,u 取得最大值与最小值.又 x<2,所以-53≤u<5,故 z=|u|∈[0,5).

13.(2,-1,-3) [解析] 因为 37=36+1=4+32+1=22+25+20,所以 x+3=5,y +3=2,z+3=0,即得整数组(x,y,z)为(2,-1,-3).
14.4 7 [解析] 根据正弦定理和 asin A-bsin B=(a-c)sin C,得 a2-b2=(a-c)c,即

a2+c2-b2=ac,所以 cos B=a2+2ca2c-b2=12,所以 B=60°.在△ABM 中,设∠BAM=θ(0°<

θ <120°),根据正弦定理得sinA6M0°=siBnMθ ,所以 BM=4sin θ ,所以 BC=2BM=8sin θ .

再根据正弦定理得sin(120A°B -θ )=sinA6M0°,所以 AB=4sin(120°-θ),故 BC+AB=8sin

θ +4sin(120°-θ)=10sin θ +2 3cos θ =4 7sin(θ+φ),其中 tan φ = 53,所以 BC+AB

的最大值为 4 7.
15.解:(1)设数列{an}的公差为 d,由?????aa11+ +2(d=a1+3,3d)=5,
解得???a1=1, ??d=1,
所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n. (2)因为 an=n,所以 bn=n(n1+1)=1n-n+1 1,

所以 Sn=??1-12??+??12-13??+??13-14??+…+??1n-n+1 1??=1-n+1 1=n+n 1.

16.解:(1)△FOP 的外接圆圆心为 OF,FP 的中垂线的交点,且 OF 的中垂线为直线 y

=p4,则圆心的纵坐标为p4,

所以有p2+p4=32,

从而得 p=2,故抛物线 C 的方程为 x2=4y.

(2)设过点 P(x0,y0)且斜率存在的直线为 y-y0=k(x-x0), 则点 F(0,1)到该直线的距离 d=|y0-kk2x+0-1 1|.

令 d=1,则|y0-kk2x+0-1 1|=1,所以(x20-1)k2-2x0(y0-1)k+y20-2y0=0.

设两条切线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2=2x0(x20y-0-1 1),k1k2=yx20-20-21y0.

直线 PM:y-y0=k1(x-x0),直线 PN:y-y0=k2(x-x0),
故 M??x0-yk01,0??,N??x0-yk02,0??, 因此|MN|=??yk02-yk01??=y0??k1k-1k2k2??=

y0

(k1+(kk21)k22)-24k1k2=

(8yy00-+24)y20 2,

所以 S△PMN=12·|MN|·y0=

y20((y20y-0+2)y20)2 .

设 f(t)=t2((t2-t+2)t2)2 (t>0),则 f′(t)=2t2((t2t- -32t)-36).



t2-3t-6=0,则

t=3-2

33(舍)或

t=3+2

33 .

易知 f(t)在区间???2,3+2 33???上单调递减,在区间???3+2 33,+∞???上单调递增,因此 f(t)min =f???3+2 33???,
从而当 y0=3+2 33时 S△PMN 取得最小值.

专题限时集训(十七)

【基础演练】

1.A [解析] 因为 A∪B=A?B?A,所以 m=3 或 m= m,解得 m=3 或 m=0 或 m=

1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以 m=0 或 3.

2.C [解析]

sin 47°-sin 17°cos 30° cos 17°

=sin(30°+17c°os)17-°sin 17°cos 30°

=sin

30°cos

17°+cos

30°sin 17°-sin cos 17°

17°cos

30°

=sin

30°cos 17° cos 17°

=sin 30°

=12. 3.D

[解析] 根据题意,得 m2=16,解得 m=±4.当 m=4 时,圆锥曲线 x2+y42=1 是椭

圆,其离心率为 23;当 m=-4 时,圆锥曲线 x2-y42=1 是双曲线,其离心率为 5. 4.C [解析] 根据正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,又 cos A=b2+2cb2c-a2=-12,0<A<

π ,所以 A=23π .

5.(-1,0)∪(1,+∞) [解析] 当 x>0 时,由 log2x>0 可得 x>1.根据函数 f(x)是奇函数, 其图像关于坐标原点对称可得,当 x<0 时,f(x)>0 的解集为(-1,0),所以 x 的取值范围是(-

1,0)∪(1,+∞).

【提升训练】

6.D [解析] 由已知易得公差 d=2,首项 a1=2,所以Sn+an64=n2+2nn+64=n2+3n2+12≥

2 n2·3n2+12=127,

当且仅当 n=8 时,等号成立.

7.A [解析] 由题意可知,①当 N 中(x,y)≠(2,3)时,直线 ax+2y+a=0 的斜率为 3,

且不与 y-3=3(x-2)重合,此时-a2=3,即 a=-6;②当直线 ax+2y+a=0 过点(2,3)时,

2a+6+a=0,解得 a=-2.

8.B [解析] 由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 4 是函数 y=f(x)的一个

周期;由②可知函数 y=f(x)在区间[0,2]上单调递增;由③可知函数 y=f(x)的图像关于直线

x=2 对称.所以 f(4.5)=f(0.5),f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),

f(7)=f(3)=f(1),故 f(4.5)<f(7)<f(6.5).

9.A [解析] 把向量 α,β,γ 的起点放在点 O,终点分别记作 A,B,C.根据|α -β|=|β |

可知点 B 在 OA 的垂直平分线上,根据

(α-γ)·(β-γ)=0 可知点 C 在以 AB 为直径的圆上,故 m-n 等于圆的直径.因为|OB|=|AB|,

所以当|OB|最小时,m-n 的值最小,结合图形,易知当点 B 为 OA 的中点时|OB|最小,即圆

的直径最小,最小直径为12,故 m-n 的最小值为12.

10.(0,2) [解析] 由题易知函数 f(x)为奇函数且周期为 10,故由 f(31)=f(1)=1>log2x, 得 0<x<2.
11.(-1,+∞) [解析] ax2+xy2y2-1>0?ax2>xy-2y2?a>-2??yx??2+yx.令 t=yx∈[1,3],
则 a>-2t2+t.令 g(t)=-2t2+t,t∈[1,3],则 g(t)=-2t2+t≤-1.要使 a>-2t2+t 恒成立, 则 a>[g(t)]max=-1,所以 a 的取值范围是(-1,+∞).
12.(-∞,-5] [解析] 当 x≥0 时,f(x)=x2,此时函数 f(x)单调递增.∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴函数 f(x)在 R 上单调递增.若对任意 x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥f(3x +1)恒成立,则 x+a≥3x+1 恒成立,即 a≥2x+1 恒成立.
∵x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5, ∴a≥2a+5,解得 a≤-5, 即实数 a 的取值范围是(-∞,-5]. 13.480 [解析] 当 n=2k(k∈N*)时,a2k+2+a2k=1;当 n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1=a2k- 1+1,所以 a2k-1=1+(k-1)×1=k. 所以 S60=(a1+a3+…+a59)+(a2+a4+…+a60)=1+230×30+15=32×15=480. 14.a≤-32 [解析] 由题易知函数 f(x)=2|x|,故 f(x+a)≥
f2(x)即为 2|x+a|≥(2|x|)2=22|x|,即|x+a|≥2|x|,即 3x2-2ax-a2≤0 对任意的 x∈[a,a+2]恒
成立.令 g(x)=3x2-2ax-a2,只要 g(a)≤0 且 g(a+2)≤0 即可.又 g(a)=0,所以令 g(a+2) =3(a+2)2-2a(a+2)-a2=8a+12≤0,解得 a≤-32.
15.解: (1)证明:∵ AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴ BC⊥AA1. 又∵ BC⊥AC,AA1,AC?平面 AA1C1C,AA1∩AC=A, ∴ BC⊥平面 AA1C1C. 又 AC1?平面 AA1C1C,∴ BC⊥AC1. (2)方法一:当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1. 理由如下:在平面 A1B1C1 内过点 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于点 G,连接 AG,EF. ∵ B1E=3EC1,EG∥A1C1,∴ EG=34A1C1. 又 AF∥A1C1 且 AF=34A1C1, ∴ AF∥EG 且 AF=EG, ∴ 四边形 AFEG 为平行四边形,∴ EF∥AG. 又 EF?平面 A1ABB1,AG?平面 A1ABB1, ∴ EF∥平面 A1ABB1.
方法二:当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1.

理由如下: 在平面 BCC1B1 内过点 E 作 EG∥BB1 交 BC 于点 G,连接 FG,EF. ∵ EG∥BB1,EG?平面 A1ABB1,BB1?平面 A1ABB1, ∴ EG∥平面 A1ABB1.∵ B1E=3EC1,∴ BG=3GC, ∴ FG∥AB.又 AB?平面 A1ABB1,FG ?平面 A1ABB1,
∴ FG∥平面 A1ABB1. 又 EG?平面 EFG,FG?平面 EFG,EG∩FG=G, ∴ 平面 EFG∥平面 A1ABB1. ∵ EF?平面 EFG, ∴ EF∥平面 A1ABB1. 16.解:(1)设点 F(c,0),Q(x,0)(x>a).
由|P11Q|+|P12Q|=|F2Q|=2,
可得x+1 a+x-1 a=x-2 c=2,解得 x=ac2.
又|FQ|=1,所以ac2-c=bc2=1.
又因为ac= 22,b2=a2-c2,所以 a= 2,b=c=1. 故椭圆 E 的方程是x22+y2=1,点 Q 的坐标是(2,0). (2)①证明:设直线 l 的方程为 x=my+2,代入椭圆 E 的方程可得(2+m2)y2+4my+2= 0.

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