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【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 3-7函数的图像检测试题(2)文


【状元之路】 (新课标,通用版)2015 届高考数学一轮复习 3-7 函数 的图像检测试题(2)文
一、选择题 1.若点(a,b)在 y=lgx 图像上,a≠1,则下列点也在此图像上的是( )

?1 ? A.? ,b? ?a ?
C.?

B.(10a,1-b) D. (a 2b)
2 2 2, 2,

?10,b+1? ? ?a ?

解析:当 x=a 时,y=lga =2lga=2b,所以点(a 2b)在函数 y=lgx 图像上. 答案:D 2.为了得到函数 y=lg

x+3
10

的图像,只需把函数 y=lgx 的图像上所有的点(

)

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 解析:y=lg 位长度而得到. 答案:C lg|x| 3.函数 y= 的图像大致是(

x+3
10

=lg(x+3)-1 可由 y=lgx 的图像向左平移 3 个单位长度,向下平移 1 个单

x

)

A

1

B

C

D 解析:显然该函数为奇函数,又 x>1 时 y>0,故选 D. 答案:D 4.函数 y=2 -x (x∈R)的图像为(
|x| 2

)

A

B

2

C

D 解析:易知该函数为偶函数,且当 x 足够大时 y>0,故选 A. 答案:A 5.y=x+cosx 的大致图像是( )

A

B

C
3

D π π π π 解析:当 x=0 时,y=1;当 x= 时,y= ;当 x=- 时,y=- ,观察各选项可知 B 正 2 2 2 2 确. 答案:B 6.方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( A.没有根 C.有且仅有两个根 ) B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

解析:如图所示,由图像可得两函数图像有两个交点,故方程有且仅有两个根.

答案:C 7.若对任意 x∈R,不等式|x|≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.a<-1 C.|a|<1 B.|a|≤1 D.a≥1 )

解析:如图所示,由图可知,当-1≤a≤1,即|a|≤1 时不等式恒成立.

答案:B 8.给出四个函数,分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+y)=g(x)·g(y),③h(x·y)=

h(x)+h(y),④m(x·y)=m(x)·m(y).又给出四个函数的图像,那么正确的匹配方案可以是(

)

4







丁 A.①甲,②乙,③丙,④丁 B.①乙,②丙,③甲,④丁 C.①丙,②甲,③乙,④丁 D.①丁,②甲,③乙,④丙 解析:图像甲是一个指数函数的图像,它应满足②;图像乙是一个对数函数的图像,它应满足 ③;图像丁是 y=x 的图像,满足①. 答案:D 9.[2014·石家庄质检一]函数 f(x)=sinx·ln|x|的部分图像为( )

5

A

B

C

D 解析: ∵f(x)的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), 且 f(-x)=sin(-x)·ln|-x|=-sinx·ln|x| =-f(x),∴f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,排除 C、D 两选项.又∵f(1)=0,且当 0<x< 1 时,f(x)<0,∴排除 B 选项,故选 A. 答案:A 10.函数 y=f(x)(x∈R)的图像如图所示,下列说法正确的是( )

①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x);

6

②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x). A.①③ C.①② B.②④ D.③④

解析:由图像可知,函数 f(x)为奇函数且关于直线 x=1 对称,所以 f(1+x)=f(1-x),所以

f[1+(x+1)]=f[1-(x+1)],即 f(x+2)=f(-x).故①②正确.
答案:C 二、填空题 11.函数 f(x)= 解析:f(x)=

x+1 图像的对称中心为__________. x

x+1 1 1 =1+ ,把函数 y= 的图像向上平移 1 个单位,即得函数 f(x)的图像.由 y x x x

1 = 的对称中心为(0,0),可得平移后的 f(x)图像的对称中心为(0,1).

x

答案:(0,1)

12. 如图, 定义在[-1, +∞)上的函数 f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成, 则 f(x) 的解析式为__________. 解析:当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b,
? ?-k+b=0, 则? ?b=1, ?

得?

? ?k=1, ?b=1. ?

∴y=x+1. 当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2) -1, ∵图像过点(4,0), 1 2 ∴0=a(4-2) -1,得 a= . 4
2

x+1,-1≤x≤0, ? ? 答案:f(x)=?1 2 ?x-2? -1,x>0 ? 4 ?

7

2 ? ? , x≥2, 13.已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3, x<2. 则实数 k 的取值范围是__________.

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,

解析:画出分段函数 f(x)的图像如图所示,结合图像可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的实根, 也即函数 y=f(x)的图像与 y=k 有两个不同的交点,k 的取值范围为(0,1). 答案:(0,1) 14.已知下列曲线:

A

B

C
8

D 以及编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0; ④|x|-y=0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编号__________. 解析:按图像逐个分析,注意 x、y 的取值范围. 答案:④②①③ 三、解答题 1 15.已知函数 f(x)的图像与函数 h(x)=x+ +2 的图像关于点 A(0,1)对称.

x

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)设 f(x)图像上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x) 1 的图像上,即 2-y=-x- +2,

a x

x

1 ∴y=f(x)=x+ (x≠0).

x

(2)g(x)=f(x)+ =x+

a x

a+1 a+1 ,g′(x)=1- 2 . x x

∵g(x)在(0,2]上为减函数, ∴1-

a+1 2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x 在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即 a≥3,故 a 的 x2

取值范围是[3,+∞). 1 答案:(1)f(x)=x+ (x≠0);(2)[3,+∞).

x

16.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式. 解析:(1)证明:设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x=2
9

的对称点为 P′(4-x0,y0). ∵f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0, ∴P′也在 y=f(x)的图像上, ∴函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], ∴f(-x)=-2x-1. 又∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], ∴f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7,而 f(4+x)=f(-x)=f(x), ∴f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
?2x+7,x∈[-4,-2], ? ∴f(x)=? ?-2x-1,x∈?-2,0]. ?

答案:(1)证明略;
? ?2x+7,x∈[-4,-2], (2)f(x)=? ?-2x-1,x∈?-2,0]. ?

创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 1.设函数 y=f(x)的定义域为 R,则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图像关于( A.直线 y=0 对称 C.直线 y=1 对称 B.直线 x=0 对称 D.直线 x=1 对称 )

解析:f(x-1)的图像是 f(x)的图像向右平移 1 个单位而得到的,又 f(1-x)=f[-(x-1)]的 图像是 f(x)的图像也向右平移 1 个单位而得到的,因 f(x)与 f(-x)的图像关于 y 轴(即直线 x=0) 对称,因此,f(x-1)与 f[-(x-1)]的图像关于直线 x=1 对称,故选 D 项. 答案:D
? ?2 -1?x≤0?, 2. f(x)的定义域为 R, 且 f(x)=? ? ?f?x-1??x>0?,
-x

若方程 f(x)=x+a 有两个不同实根,

则 a 的取值范围为( A.(-∞,1) C.(0,1)

) B.(-∞,1] D.(-∞,+∞)
-x -(x-1)

解析:x≤0 时,f(x)=2 -1,0<x≤1 时,-1<x-1≤0,f(x)=f(x-1)=2 >0 时,f(x)是周期函数.如图:

-1,故 x

10

欲使方程 f(x)=x+a 有两个不同的实数解,即函数 f(x)的图像与直线 y=x+a 有两个不同的 交点,故 a<1. 答案:A 3.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
? ?a,a-b≤1, ?b,a-b>1. ?

设函数 f(x)=(x -2)?(x-x ),x )

2

2

∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( 3? ? A.(-∞,-2]∪?-1, ? 2? ? 3? ? B.(-∞,-2]∪?-1,- ? 4? ? 1? ?1 ? ? C.?-1, ?∪? ,+∞? 4 ? ? ?4 ? 3? ?1 ? ? D.?-1,- ?∪? ,+∞? 4? ?4 ? ?

解析:由题意可知 f(x)=? 3 x -2,-1≤x≤ , ? ? 2 ? 3 x-x ,x<-1或x> . ? ? 2
2 2

?x -2,x -2-x+x ≤1, ? ? ?x-x ,x -2-x+x >1
2 2 2

2

2

2



3 作出图像,由图像可知 y=f(x)与 y=c 有两个交点时,c≤-2 或-1<c<- ,即函数 y=f(x) 4

11

3? ? -c 的图像与 x 轴恰有两个公共点时实数 c 的取值范围是(-∞,-2]∪?-1,- ?. 4? ? 答案:B 4.设 D={(x,y)|(x-y)(x+y)≤0},记“平面区域 D 夹在直线 y=-1 与 y=t(t∈[-1,1]) 之间的部分的面积”为 S,则函数 S=f(t)的图像的大致形状为( )

A

B

C

D

12

1 1 解析:如图平面区域 D 为阴影部分,当 t=-1 时,S=0,排除 D 项;当 t=- 时,S> Smax,排 2 4 除 A、B. 答案:C 5.若函数 f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与函数 f(x)的值域相同,则称变 换 T 是函数 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中变换 T 不属于函数 f(x)的 同值变换的是( )
2

A.f(x)=(x-1) ,变换 T 将函数 f(x)的图像关于 y 轴对称 B.f(x)=2
x-1

-1,变换 T 将函数 f(x)的图像关于 x 轴对称

C.f(x)=2x+3,变换 T 将函数 f(x)的图像关于点(-1,1)对称

? π? D.f(x)=sin?x+ ?,变换 T 将函数 f(x)的图像关于点(-1,0)对称 3? ?
解析:对于 A 项,与 f(x)=(x-1) 的图像关于 y 轴对称的图像对应的函数解析式为 g(x)=(-
2

x-1)2=(x+1)2,易知两者的值域都为[0,+∞);对于 B 项,函数 f(x)=2x-1-1 的值域为(-1,
+∞),与函数 f(x)的图像关于 x 轴对称的图像对应的函数解析式为 g(x)=-2
x-1

+1,其值域为(-

∞,1);对于 C 项,与 f(x)=2x+3 的图像关于点(-1,1)对称的图像对应的函数解析式为 2-g(x)

? π? =2(-2-x)+3, 即 g(x)=2x+3, 易知值域相同; 对于 D 项, 与 f(x)=sin?x+ ?的图像关于点(- 3? ? ? π ? 1,0)对称的图像对应的函数解析式为 g(x)=sin?x- +2?,其值域为[-1,1],易知两函数的值域 3 ? ?
相同. 答案:B

6.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图像如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2, 给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③

f?x1?+f?x2?
2

<f?

?x1+x2?. ? ? 2 ?

其中正确结论的序号是__________.(把所有正确结论的序号都填上)

13

解析:①错误,①即为

f?x2?-f ?x1? >1,在(0,1)上不恒成立;由题图知,0<x1<x2<1 时, x2-x1

f?x1? f?x2? > ,②正确;图像是上凸的,③正确. x1 x2
答案:②③

14


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