当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届高三数学一轮复习第三篇第2节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题基丛点练理


第三课时
【选题明细表】

利用导数证明不等式专题
题号 1,4 2 3 .

知识点、方法 构造法证明不等式 等价转化法证明不等式 赋值法证明不等式 1.(2015 高考福建卷)已知函数 f(x)=ln x-

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1; (3)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x-1). (1)解:f′(x)=-x+1= ,x∈(0,+∞),

由 f′(x)>0,得

解得 0<x<

.

故 f(x)的单调递增区间是(0,

).

(2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞), 则 F′(x)= .

当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以 F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即当 x>1 时,f(x)<x-1. (3)解:由(2)知,当 k=1 时,不存在 x0>1 满足题意. 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x-1<k(x-1), 则 f(x)<k(x-1), 从而不存在 x0>1 满足题意. 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), 则 G′(x)=-x+1-k=
2

,

由 G′(x)=0 得,-x +(1-k)x+1=0, 解得 x1= <0,

1

x2=

>1.

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在[1,x2)内单调递增,从而当 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0, 即 f(x)>k(x-1), 综上,k 的取值范围是(-∞,1). 2.(2015 皖南八校联考)已知函数 f(x)=xln x+mx(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率 为 2. (1)求实数 m 的值; (2)设 g(x)= ,讨论 g(x)的单调性;

(3)已知 m,n∈N 且 m>n>1,证明

*

>.

(1)解:因为 f(x)=xln x+mx, 所以 f′(x)=1+ln x+m. 由题意 f′(1)= 1+ln 1+m=2,得 m=1. (2)解:g(x)= = (x>0,x≠1),

所以 g′(x)=

.

设 h(x)=x-1-ln x,h′(x)=1-. 当 x>1 时,h′(x)=1->0,h(x)是增函数, h(x)>h(1)=0, 所以 g′(x)= >0,

故 g(x)在(1,+∞)上为增函数; 当 0<x<1 时,h′(x)= 1-<0,h(x)是减函数, h(x)>h(1)=0, 所以 g′(x)= >0,

故 g(x)在(0,1)上为增函数; 所以 g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上都是单调递增的. (3)证明:由已知可知要证 >,

即证

-

>ln n-ln m,

2

即证

ln m>

ln n,

即证

>

,

即证 g(m)>g(n), * 又 m>n>1(m,n∈N ),由(2)知 g(m)>g(n)成立, 所以 >.

3.(2016 东北三省四市教研联合体模拟)已知函数 f(x)=aln x-ax-3 (a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; 2 2 2 2 (2) 求 证 ln (2 +1)+ln (3 +1)+ln (4 +1)+ … +ln (n +1)<1+2ln n!(n ≥ 2,n ∈ * N )(n!=1×2×3×…×n). (1)解:f′(x)= (x>0),

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]. (2)证明:令 a=-1,此时 f(x)=-ln x+x-3, 所以 f(1)=- 2. 由(1)知 f(x)= -ln x+x-3 在(1,+∞)上单调递增, 所以当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1), 即-ln x+x-1>0, 所以 ln x<x-1 对一切 x∈(1,+∞)成立. * 因为 n≥2,n∈N , 则有 ln (+1)<<
2

=
2

-,
2 2 *

要证 ln (2 +1)+ln (3 +1)+ln (4 +1)+…+ln (n +1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N ), * 只需证 ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1)<1(n≥2,n∈N ), ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1) <(1-)+(-)+…+( 所以原不等式成立. 4.(2015 山西省四校第三次联考)函数 f(x)=
2

-)=1-<1,

,若曲线 f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线

e x-y+e=0 垂直(其中 e 为自然对数的 底数). (1)若 f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数 m 的取值范围;

3

(2)求证:当 x>1 时,

>

.

(1)解:因为 f′(x)= 由已知 f′(e)=-, 所以-=-.得 a=1. 所以 f(x)= .

,

f′(x)=-

(x>0).

当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数. 所以 x=1 是函数 f(x)的极大值点. 又 f(x)在(m,m+1)上存在极值, 所以 m<1<m+1,即 0<m<1. 故实数 m 的取值范围是(0,1). (2)证明: > ,

即为

>

,

令 g(x)=

,

则 g′(x)=

= 再令 ? (x)=x-ln x, 则 ? ′(x)=1-= .

因为 x>1, 所以 ? ′(x)>0, 所以 ? (x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 ? (x)> ? (1)=1>0, 所以 g′(x)>0,

4

所以 g(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 x>1 时,g(x)>g(1)=2. 故 > .

令 h(x)=

.

则 h′(x)=2

= 因为 x>1,所以 1-e <0, 所以 h′(x)<0. 即 h(x)在(1,+∞)上是减函数. 所以 x>1 时,h(x)<h(1)= .
x

所以

>h(x),



>

.

5


赞助商链接
相关文章:
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第3...
【2016走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第3第2节 利用导数研究函数的性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【2016走向高考】高三数学一轮(...
...届高三数学一轮基础巩固 第3章 第2节 利用导数研究...
【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第3第2节 利用导数研究函数的性质...导数的应用—求函数的极值. x ) B.x=1 为 f(x)的极小值点 D.x=-1 ...
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第3...
【2016走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第3第2节 利用导数研究...1 为 f(x)的极大值点 [答案] D [解析] 本题考查了导数的应用—求函数...
...数学选修2-2:《导数在研究函数中的应用(第3课时)》...
人教课标版高中数学选修2-2:《导数在研究函数中的应用(第3课时)》教案[精]_...任务 2 复习如何运用导数研究函数的极值和最值. 2.预习自测 1.函数 f(x)=...
...数学选修2-2:《导数在研究函数中的应用(第3课时)》...
人教课标版高中数学选修2-2:《导数在研究函数中的应用(第3课时)》教案[精]_...任务 2 复习如何运用导数研究函数的极值和最值. 2.预习自测 1.函数 f(x)=...
...2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第1...
【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第三导数及其应用 第18课 利用导数研究函数的单调性 文_数学_高中教育_教育专区。第 18 课 利用导数研究函数的单调...
2017版数学大一轮复习练习3.4利用导数研究函数的最(极)...
2017数学大一轮复习练习3.4利用导数研究函数的最(极)值.doc_数学_高中教育_教育专区。第18课【自主学习】 利用导数研究函数的最(极)值 (本课时对应学生用书...
3.3《导数在研究函数中的应用》习题(1)
3.3导数在研究函数中的应用》习题(1)_理学_高等教育_教育专区。语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学...
高三数学总复习专题二—利用导数研究函数的性质.doc
高三数学总复习专题利用导数研究函数的性质.doc_数学_高中教育_教育专区。专题——利用导数研究函数的性质 2009-2-24 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新...
《导数在研究函数中的应用》复习课教学设计
导数在研究函数中的应用复习课教学设计 一、教材分析 本节课“导数在函数中的应用”是高中数学人教版教材选修 2-2 第一章第三节的内容,是 高中数学的新增...
更多相关文章:

相关文章