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2017届高三数学一轮复习第三篇第2节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题基丛点练理


第三课时
【选题明细表】

利用导数证明不等式专题
题号 1,4 2 3 .

知识点、方法 构造法证明不等式 等价转化法证明不等式 赋值法证明不等式 1.(2015 高考福建卷)已知函数 f(x)=ln x-

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1; (3)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x-1). (1)解:f′(x)=-x+1= ,x∈(0,+∞),

由 f′(x)>0,得

解得 0<x<

.

故 f(x)的单调递增区间是(0,

).

(2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞), 则 F′(x)= .

当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以 F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即当 x>1 时,f(x)<x-1. (3)解:由(2)知,当 k=1 时,不存在 x0>1 满足题意. 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x-1<k(x-1), 则 f(x)<k(x-1), 从而不存在 x0>1 满足题意. 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), 则 G′(x)=-x+1-k=
2

,

由 G′(x)=0 得,-x +(1-k)x+1=0, 解得 x1= <0,

1

x2=

>1.

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在[1,x2)内单调递增,从而当 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0, 即 f(x)>k(x-1), 综上,k 的取值范围是(-∞,1). 2.(2015 皖南八校联考)已知函数 f(x)=xln x+mx(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率 为 2. (1)求实数 m 的值; (2)设 g(x)= ,讨论 g(x)的单调性;

(3)已知 m,n∈N 且 m>n>1,证明

*

>.

(1)解:因为 f(x)=xln x+mx, 所以 f′(x)=1+ln x+m. 由题意 f′(1)= 1+ln 1+m=2,得 m=1. (2)解:g(x)= = (x>0,x≠1),

所以 g′(x)=

.

设 h(x)=x-1-ln x,h′(x)=1-. 当 x>1 时,h′(x)=1->0,h(x)是增函数, h(x)>h(1)=0, 所以 g′(x)= >0,

故 g(x)在(1,+∞)上为增函数; 当 0<x<1 时,h′(x)= 1-<0,h(x)是减函数, h(x)>h(1)=0, 所以 g′(x)= >0,

故 g(x)在(0,1)上为增函数; 所以 g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上都是单调递增的. (3)证明:由已知可知要证 >,

即证

-

>ln n-ln m,

2

即证

ln m>

ln n,

即证

>

,

即证 g(m)>g(n), * 又 m>n>1(m,n∈N ),由(2)知 g(m)>g(n)成立, 所以 >.

3.(2016 东北三省四市教研联合体模拟)已知函数 f(x)=aln x-ax-3 (a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; 2 2 2 2 (2) 求 证 ln (2 +1)+ln (3 +1)+ln (4 +1)+ … +ln (n +1)<1+2ln n!(n ≥ 2,n ∈ * N )(n!=1×2×3×…×n). (1)解:f′(x)= (x>0),

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]. (2)证明:令 a=-1,此时 f(x)=-ln x+x-3, 所以 f(1)=- 2. 由(1)知 f(x)= -ln x+x-3 在(1,+∞)上单调递增, 所以当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1), 即-ln x+x-1>0, 所以 ln x<x-1 对一切 x∈(1,+∞)成立. * 因为 n≥2,n∈N , 则有 ln (+1)<<
2

=
2

-,
2 2 *

要证 ln (2 +1)+ln (3 +1)+ln (4 +1)+…+ln (n +1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N ), * 只需证 ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1)<1(n≥2,n∈N ), ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1) <(1-)+(-)+…+( 所以原不等式成立. 4.(2015 山西省四校第三次联考)函数 f(x)=
2

-)=1-<1,

,若曲线 f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线

e x-y+e=0 垂直(其中 e 为自然对数的 底数). (1)若 f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数 m 的取值范围;

3

(2)求证:当 x>1 时,

>

.

(1)解:因为 f′(x)= 由已知 f′(e)=-, 所以-=-.得 a=1. 所以 f(x)= .

,

f′(x)=-

(x>0).

当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数. 所以 x=1 是函数 f(x)的极大值点. 又 f(x)在(m,m+1)上存在极值, 所以 m<1<m+1,即 0<m<1. 故实数 m 的取值范围是(0,1). (2)证明: > ,

即为

>

,

令 g(x)=

,

则 g′(x)=

= 再令 ? (x)=x-ln x, 则 ? ′(x)=1-= .

因为 x>1, 所以 ? ′(x)>0, 所以 ? (x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 ? (x)> ? (1)=1>0, 所以 g′(x)>0,

4

所以 g(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 x>1 时,g(x)>g(1)=2. 故 > .

令 h(x)=

.

则 h′(x)=2

= 因为 x>1,所以 1-e <0, 所以 h′(x)<0. 即 h(x)在(1,+∞)上是减函数. 所以 x>1 时,h(x)<h(1)= .
x

所以

>h(x),



>

.

5


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